Что такое позиционная система счисления кратко

Обновлено: 30.06.2024

Малыш загибает пальчики на руке. Нечесаный, закутанный в шкуры человек рисует углем черточки на камне. Одетый в белоснежное жрец выводит изящные круги и завитушки на листе папируса… Я нажимаю NumLock на клавиатуре и набираю 12345… Что общего между мной и тем дикарем, выводящим черточку за черточкой? Мы записываем числа. Только я делаю это быстрее. И не только потому, что мой инструмент – компьютер – более совершенен. Я использую более удобный и совершенный принцип записи числа – другую, нежели он, систему счисления.

Что же такое система счисления?

Определение таково: символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Или: совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков.

Итак, есть некие символы, необязательно цифры, и правила, определяющие то, как надо трактовать последовательность этих символов – число.

Какими они бывают

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционной системе счисления величина, обозначаемая символом, фиксирована и не зависит от его положения в записи числа.

Самая простая и самая древняя непозиционная система счисления – унарная. Помните нашего дикаря? В качестве базового символа в такой системе могло использоваться все что угодно: единичная линия, камешек, отдельный узелок на веревке. Сколько узелков (черточек, камешков) – такова величина числа. Недостаток очевиден: слишком длинная запись числа получается. Если я пишу про 10 коров – еще терпимо, а если про 100?

Чтобы сделать запись числа короче, додумались ввести отдельные обозначения еще для нескольких величин. В Древнем Египте это были числа, кратные 10:

В Древнем Риме: 1, 5, 1*10, 5*10 и т. д.

На Руси: 1, 2, … 9, 1 * 10, 2 * 10, … 9 * 10, 1 * 100 и т. д. Как и в Древнем Риме, для обозначения чисел использовались буквы со специальным символом – титло – над ними.

Недостатки, правда, у такой идеи прежние:

слишком длинная запись, например, число 73 в римской системе записывалось как LXXIII;
не самые простые правила трактовки записи;
неудобно производить арифметические операции над числами.

А что с позиционной системой?

Давайте разберемся, как это работает, на примере современной десятичной системы счисления. Пусть мы имеем запись числа, например: 12345. Что это означает:

5 * 100 + 4 * 101 + 3 * 102 + 2 * 103 + 1 * 104?

10 – основание системы счисления; степень, в которую возводится десятка, – номер разряда – позиции цифры в записи числа. Вот эта 10n и есть вес.

Позиционную систему счисления можно построить по любому основанию. Принцип один и тот же: основание и набор цифр. Однако наибольшее практическое значение имеют двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Причем последние две используются в основном не для вычислений, а для представления двоичного кода в форме, удобной для человека.

Зная, как устроены системы счисления, можно сформулировать правила перевода из одной системы в другую. Проще всего осуществлять перевод между системами, у которых

основания – степень одного числа: двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной. Сложнее переходить от десятичной записи к двоичной и т. п. и наоборот. Впрочем, это тема для отдельного разговора.

Позиционной называют систему счисления, в которой положение (позиция) цифры определяет вес числа. Основные виды позиционных систем:

Немного истории

Первыми в истории человечества позиционную систему счисления применяли индейцы майя примерно 500 лет до нашей эры. Она использовалась для составления календарей и имела в основании число 20.

Современная позиционная система счисления уходит корнями в Индию, в V век нашей эры. И несмотря на то, что в ней используются арабские цифры, именно индусы стали ее основоположниками. А за счет удобных форм записи и выполнения арифметических действий, создание позиционной системы дало мощный толчок развитию математики.

Основание и алфавит

Алфавит позиционной системы счисления состоит из десяти цифр от 0 до 9, а также букв латинского алфавита. При этом размерность (мощность) алфавита, то есть количество используемых знаков, называют основанием . В написании числа его указывают как нижний индекс:

Например, с помощью трех цифр 0, 1 и 2 можно составить троичную систему счисления. Все правила построения чисел будут при этом соответствовать другим позиционным системам: двоичной, десятичной и так далее. А ее основание будет равно трем:

Разряд числа

Разряд — это место, позиция цифры в записи числа. Например, в 125: цифра 5 относится к разряду единиц, 2 — к разряду десятков, 5 — к разряду сотен. Данное число можно также представить в виде суммы 100 + 20 + 5 и выделить основание системы в каждом слагаемом в той или иной степени:

125₁₀ = 1 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1 = 1 ∙ 10 2 + 2 ∙ 10 1 + 5 ∙ 10 0

Если обратить внимание на показатели степени, то наблюдается закономерность — соответствие порядковому номеру цифры слева направо, начиная с нуля:

Цифра	1	2	5
Порядковый номер слева направо	2	1	0
Показатель степени основания	2	1	0

Развернутая форма записи числа

Данный способ записи числа действует и для любой другой позиционной системы счисления и называется развернутой формой:

где A — число, q — основание системы счисления, а n — количество разрядов числа. При этом свернутой формой будет запись вида:

Например, развернутая форма числа 753 в восьмеричной системе счисления будет иметь следующий вид:

753₈ = 7 ∙ 8 2 + 5 ∙ 8 1 + 3 ∙ 8 0

Последовательность степеней, задающих разряд числа, называют базисом . А если базис является геометрической прогрессией натуральных чисел, больших 1, а алфавит — целые неотрицательные числа, то такую систему называют традиционной системой счисления .

Представление дробей

Если же необходимо представить в развернутой форме дробь, то формула будет следующей:

где A — число, q — основание системы счисления, n — количество целых разрядов, а m — количество дробных разрядов числа. Свернутой формой, соответственно, является запись вида:

Например, для 1001,101 в двоичной системе счисления развернутая форма будет выглядеть так:

1001.101₂ = 1 ∙ 2 3 + 0 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 1 + 1 ∙ 2 0 + 1 ∙ 2 -1 + 0 ∙ 2 -2 + 1 ∙ 2 -3

Плюсы и минусы позиционных систем

Главным удобством позиционной системы счисления является то, что запись больших чисел имеет краткую и удобную форму. Это также стало причиной их использования в программировании: большие числа занимают в данной форме меньшее количество памяти ЭВМ.

Позиционная система счисления представляет собой такую систему счисления, у которой значение любой цифры в числе зависит от ее положения в ряду цифр, изображающих это число.

Основными достоинствами позиционных систем счисления являются:

простое выполнение арифметических операций;

при записи числа используется малое количество символов.

Данная система записи чисел отличается удобством и экономичностью, причем не только для фиксирования чисел на бумажных носителях и для выполнения действий с ними, но и для механического представления чисел. Так, например, в счетах каждому разряду числа соответствует металлический стержень, являющийся своеобразной направляющей, по которой можно передвигать костяшки, и они могут занимать одну из десяти позиций.

С практической точки зрения можно использовать (что и делалось в прошлом веке) и другие варианты физического представления чисел:

С помощью нескольких колес, каждое из которых фиксируется в одном из десяти возможных положений.

В вычислительных машинах первых поколений широко использовались перфокарты, своеобразные карточки, размеченные рядами цифр, которые при записи программ пробивались в определенных позициях, т.е. кодировались. Одна программа, которую считывала машина, могла состоять из десятков и даже сотен перфокарт.

Все подобные представления можно объединить общим фактом. Это то, что физический носитель состоит из определенного числа однородных элементов, которые, в свою очередь, могут находиться в одном из десяти состояний. Эти состояния можно назвать разрядами, т.е. это позиции цифр в числе.

Важной характеристикой любых позиционных систем счисления является основание, которое представляет собой количество различных цифр, использующихся для отображения чисел в данной системе.

В качестве основания используются натуральные числа — $2$, $8$, $10$ и др., в результате с использованием любого нового числа образовывается новая позиционная система: двоичная, восьмеричная, десятичная и . т.д.

Готовые работы на аналогичную тему

Позиционная система счисления определяется путем группировки целых и дробных чисел, при этом получается вещественное число, которое можно представить в виде:

$q$ – основание системы счисления:

$ai$ – цифры данной системы счисления;

$n$ – число разрядов целой части числа;

$m$ – число разрядов дробной части.

Расписать в соответствии с приведенной выше формулой число $A_ = 8754,32$.

Решение:

$A_ = 8\cdot 10^3 + 7\cdot 10^2 + 5\cdot 10^1 + 4\cdot 10^0 + 3\cdot 10^ + 2\cdot 10^ = 8754, 32$

Данных систем большое количество, поскольку за основание системы счисления можно принять любое число не менее $2$.

Позиционные системы счисления классифицируют по основанию на:

Двоичные (имеют в основании две цифры $0$ и $1$).
Восьмеричные (в основании цифры от $0$ до $7$).
Десятичные (в основании цифры от $0$ до $9$).
Шестнадцатеричные (в основании цифры от $0$ до $9$ и буквы $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$).
Пятеричная (в основании цифры от $0$ до $4$, используется в Китае и в настоящее время).
Двенадцатеричная (в основании цифры от $0$ до $9$ и буквы $A$, $B$ устаревшая, использовалась в начале $XX$ века).
Шестидесятеричная.
Двадцатеричная.

В настоящее время используются: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная системы и при измерении времени и углов шестидесятеричная система.

Другие же приведенные выше системы счисления устарели и не используются.

Рассмотрим примеры некоторых из них.

Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная

В древнем Вавилоне примерно во $II$ тысячелетие до нашей эры использовалась система счисления, в которой числа менее $60$ обозначались с помощью двух знаков:

Рисунок 1. для единиц,

Рисунок 2. для десятков

Они имели клинообразный вид, поскольку жители Вавилона писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Знаки в записях повторяли определенное количество раз, например:

Все число в целом записывалось в позиционной системе счисления с основанием $60$. Приведем примеры:

$Эта запись обозначала $6\cdot 60 + 3 = 363$, можно сравнить с записью числа $63$: $6\cdot 10 + 3$$

Рисунок 4. Эта запись обозначала $6\cdot 60 + 3 = 363$, можно сравнить с записью числа $63$: $6\cdot 10 + 3$

$Эта запись обозначала $32\cdot 60 + 52 = 1972$$

Рисунок 5. Эта запись обозначала $32\cdot 60 + 52 = 1972$

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби применяются до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = $60$ секунд, один час = $60$ минут.

Древнекитайская десятеричная

Числа в ней записывались слева направо, от большего к меньшему. При отсутствии какого-либо разряда ничего не ставили и переходили к следующему, такой разряд во времена правления династии Мин стал обозначаться кружочком, аналогом нуля. Во избежание путаницы разрядов ввели несколько служебных иероглифов, которые записывались после основного и показывали, какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

Двадцатеричная система счисления индейцев Майя

Эта система интересна тем, что развивалась самостоятельно, без влияния цивилизаций Европы и Азии. Ее использовали в качестве календаря и для астрономических наблюдений. Характерная особенность данной системы счисления - наличие нуля, который изображался в виде ракушки. Основание системы - число $20$, при этом наблюдаются признаки пятеричной системы. Первые $19$ чисел системы получали комбинированием точек (один) и черточек (пять).

Число $20$ изображалось из двух цифр, ноль и один наверху и называлось уиналу (рис.8).

Записывали числа столбцами, при это низшие разряды располагали внизу, а высшие - наверху, в результате чего получалось своеобразное изображение этажерки с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это обозначало, что единицы данного разряда отсутствуют. Пример получения числа в такой системе:

В двадцатеричной системе счета древних майя имелось исключение, проявлявшееся в случае прибавления к числу $359$ одной единицы первого порядка. Суть исключения заключалась в следующем: $360$ является начальным числом третьего порядка и его место уже не на второй, а на третьей полке.

Но при этом получается, что начальное число третьего порядка больше начального числа второго не в двадцать раз ($20\cdot 20=400$, а не $360!$), а только в восемнадцать. Отсюда следует, что принцип двадцатеричности нарушен.

Ответ заключается в том, что у индейцев Майя $20$ дней-кинов образовывали месяц или уинал. $18$ месяцев-уиналов образовывали год или туну ($360$ дней в году) и так далее.

Это довольно сложная система счисления использовалась жрецами для астрономических наблюдений, другая система индейцев Майя была аддитивной, похожей на египетскую и применялась в повседневной жизни.

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

Информатика. 8 класса. Босова Л.Л. Оглавление

Ключевые слова:

система счисления
цифра
алфавит
позиционная система счисления
основание
развёрнутая форма записи числа
свёрнутая форма записи числа
двоичная система счисления
восьмеричная система счисления
шестнадцатеричная система счисления

1.1.1. Общие сведения о системах счисления

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Пример 1. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.

Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

1) унарная система;
2) непозиционные системы;
3) позиционные системы.

Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок.

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Пример 2. В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:

Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа.Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Десятичная система

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, …, q—1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является 0.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записиСвёрнутной формой записи числа называется его представление в виде 1 ± a_n-1a_n-2…a₁a₀,a_-1…a_-m. 1 Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.

1 • 10 4 + 4 • 10 3 + 3 • 10 2 + 5 • 10 1 + 1 • 10 0 + 1 • 10 -1 .

1.1.2. Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.

На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:

10011₂ = 1 • 2 4 + 0 • 2 3 + 0 • 2 2 + 1 • 2 1 + 1 • 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19₁₀.

Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1′).

Разделим а_n-1 • 2 n-1 + а_n-2 • 2 n-2 + … + а₀ • 2 0 на 2. Частное будет равно а_n-1 • 2 n-2 + … + а₁, а остаток будет равен а₀.

Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а₁.

Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:

которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.

Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 11₁₀ = 1011₂.

Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

1.1.3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7.

На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:

Например: 1063₈ = 1 • 8 3 + 0 • 8 2 + 6 • 8 1 + 3 • 8 0 = 563₁₀.

Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.

1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,…, 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3AF₁₆ означает:

3AF₁₆ = 3 • 16 2 + 10 • 16 1 + 15 • 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943₁₀.

Пример 7. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.

1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 2010.

1.1.6. Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:

Пример 8. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.

Пример 9. Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:

двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.

Самое главное о системе счисления

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Что вы можете сказать о формах представления информации в презентации и в учебнике? Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию?

10. Верны ли следующие равенства? а) 33₄ = 21₇;
б) 33₈ = 21₄.

11. Найдите основание х системы счисления, если: а) 14_х = 9₁₀;
б) 2002_х = 130₁₀.

19. Вычислите выражения: а) (1111101₂ + AF₁₆) : 36₈; б) 125₈ + 101₂ ? 2A₁₆ ? 141₈. Ответ дайте в десятичной системе счисления.

Читайте также: