Что такое перпендикуляр угла кратко
Обновлено: 25.06.2024
Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
Дополнительная литература:
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.
Наклонной , проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.
Перпендикуляром , проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра , проведённого из этой точки к плоскости.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной .
Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.
∢ \(DAB\) — угол между наклонными;
∢ \(DCB\) — угол между проекциями.
Отрезок \(DB\) — расстояние между основаниями наклонных.
Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.
В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями \alpha_1 x+b_1" width="" height="" />
и \alpha_2 x+b_2" width="" height="" />
будут перпендикулярны, если выполнено условие \pi+\alpha_1" width="" height="" />
. (Здесь α1,α2 — углы наклона прямой к горизонтали)
Перпендикулярность прямых в пространстве
Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.
Построение перпендикуляра на плоскости
Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.
Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.
Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.
Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Перпендикулярность плоскостей в 3-мерном пространстве
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам.
- Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
- Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то это перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
- Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве
Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.
Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.
В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).
Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Таких пар 6 (): xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).
Перпендикулярность прямой и гиперплоскости
Пусть задано n-мерное евклидово пространство ^n" width="" height="" />
(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство W n , а прямая l с направляющим векторным пространством L 1 и гиперплоскость Πk с направляющим векторным пространством L k (где , ) принадлежат пространству ^n" width="" height="" />
.
Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости Πk , если подпространство L1 ортогонально подпространству L k , то есть
Углы бывают острые, прямые и тупые.
Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.
Два угла с одной общей стороной называются смежными.
На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.
Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°
При пересечении двух прямых образуются четыре угла:
Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.
∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4
То же справедливо и для ∡1 и ∡3.
Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.
∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.
Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b
Теорема о перпендикулярных прямых
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.
Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.
Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.
Свойство перпендикулярных прямых
Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.
Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.
Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.
Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.
У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.
Читайте также: