Что такое лемма в геометрии определение кратко и понятно

Обновлено: 06.07.2024

леммой называется в математике доказываемая истина, имеющая значение только для доказательства другой более значительной истины — теоремы.

ЛЕММА

ЛЕММА, -ы, ж. В математике: вспомогательная теорема, необходимая длядоказательства другой теоремы.

ЛЕММА

лемма ж. Теорема, необходимая только для доказательства другой теоремы (в математике).

ЛЕММА

лемма ж. мат.lemma

ЛЕММА

лемма теорема Словарь русских синонимов. лемма сущ., кол-во синонимов: 1 • теорема (5) Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин.2013. . Синонимы: теорема. смотреть

ЛЕММА

Лемма — леммой называется в математике доказываемая истина, имеющая значение только для доказательства другой более значительной истины — теоремы.

ЛЕММА

ЛЕММА(греч. lemma, от lambano - думаю, убеждаю). Предложение, доказанное раньше, на котором основывается последующее.Словарь иностранных слов, вошедших. смотреть

ЛЕММА

ЛЕММА ЛЕММА (от греч. lemma) – предложение, положение; в математике – вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескол. смотреть

ЛЕММА

греч. . букв. – польза; в философии – предложение, предположение). Термин "Л." у Аристотеля обозначал посылку (категорического) силлогизма. В "Началах" Эвклида Л. – математич. предложение, специально доказываемое с целью последующего использования при доказательстве нек-рого другого предложения (теоремы). Этот смысл термина "Л." в истории науки подвергался модификациям. Лейбниц рассматривал Л. в качестве промежуточных (между аксиомами и теоремами) истин, необходимых для сокращения рассуждений. По Канту, наука, нуждающаяся для своего обоснования во внешних для нее положениях, заимствует эти положения, к-рые и наз. леммами, из др. наук (напр., механика заимствует теоремы геометрии в качестве лемм). Иногда Л. называют истину, к-рая доказывается в др. части той же науки. В совр. математике и математич. логике общепринят смысл, к-рый придавал термину "Л." Эвклид. У стоиков Л. имела значение большей (условной или разделительной) посылки в рассматривавшихся ими умозаключениях с условными и разделит. суждениями (второй посылкой в к-рых было категорич. суждение); с этим смыслом термина "Л." связаны термины "дилемма", "трилемма" и т.п. традиц. логики, охватываемые понятием л е м м а т и ч е с к и х у м о з а к л ю ч е н и й. Лемматич. умозаключения – особый вид умозаключений с условными и разделит. посылками, являющиеся обобщением дилеммы. В отличие от дилеммы, лемматич. умозаключение в общем случае может иметь большее, чем 2, число условных посылок (и соответствующее число членов дизъюнктивной посылки); если это число равно трем, умозаключение наз. трилеммой, если четырем – тетралеммой и т.п. Пример одной из форм лемматич. умозаключения: "Если А, то D; и если В, то D; и если С, то D; А или В или С; значит, D", где А, В, С, D – к.-л. суждения; это – один из видов трилеммы. Лит.: Кант И., Критика способности суждения, СПБ, 1898, § 68; его же, Логика, П., 1915, § 39; Лейбниц Г. В., Новые опыты о человеческом разуме, М.–Л., 1936, с. 395; Челпанов Г. И., Учебник логики, М., 1946, гл. 16; Начала Эвклида, пер. с греч., М.–Л., 1950 (см. кн. VI, а также комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, с. 256–57); Aristoteles, Top. VIII 1, 156 а b 21; Diоg. L., VII 16; Cicero, De divin. II, 53, 108; Prantl К., Geschichte der Logik im Abendlande, Bd 1, Lpz., 1855, S. 375–85; Fries J. Fr., System der Logik, Lpz., 1914, S. 224. Б. Бирюков, А. Коноплянкин. Москва. . смотреть

ЛЕММА

⊲ ЛЕММА 1739, ы, ж.Н.-лат. lemma, непоср. и через фр. lemme.1.Филос.Леммою (Lemma) называется всякое принятое из других наук предложение. Арифм. Анчкв . смотреть

ЛЕММА

(см. также теорема, доказывать, доказательство) lemma• Доказательство леммы окончено. - The proof of the lemma is finished. • Мы начинаем с доказатель. смотреть

ЛЕММА

1) Орфографическая запись слова: лемма2) Ударение в слове: л`емма3) Деление слова на слоги (перенос слова): лемма4) Фонетическая транскрипция слова лем. смотреть

ЛЕММА

Вексельная метка, т. е. наименование документа словом "вексель", включенным в сам текст документа, на том языке, на котором документ составленСловарь б. смотреть

ЛЕММА

корень - ЛЕММ; окончание - А; Основа слова: ЛЕММВычисленный способ образования слова: Бессуфиксальный или другой∩ - ЛЕММ; ⏰ - А; Слово Лемма содержит с. смотреть

ЛЕММА

ж., лог. (утверждение, признанное истинным и используемое для доказательства другого утверждения) lemma (pl. lemmas, lemmata)

ЛЕММА

(от греч. lemma - предположение) в математике вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем. В логике - ус. смотреть

ЛЕММА

ж мат.Lemma n, pl -taСинонимы: теорема

ЛЕММА

Rzeczownik лемма f Matematyczny lemat m

ЛЕММА

(от греч. lemma — взятка, прибыль, доход, корысть) — вспомогательное предложение (теорема), используемое для доказательства одной или нескольких теорем. Начала современного естествознания. Тезаурус. — Ростов-на-Дону.В.Н. Савченко, В.П. Смагин.2006. Синонимы: теорема. смотреть

ЛЕММА

-ы, ж. мат. Теорема, необходимая только для доказательства другой или нескольких других теорем.[греч. λη̃μμα]Синонимы: теорема

ЛЕММА

матем. ле́ма - грюнова лемма - даламберова лемма - жорданова лемма - канторова лемма - лемма о голономии - лемма о замещении - лемма о замыкании - лемма о параллелограмме - лемма о сглаживании - лемма о трубе - лемма о цепочке Синонимы: теорема. смотреть

ЛЕММА

ЛЕММА (от греч. lemma — предположение) — в математике вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем. В ло. смотреть

ЛЕММА

вексельная метка, т.е. наименование документа словом "вексель", включенным в его текст, на том языке, на котором документ составлен. Синонимы: теорема. смотреть

Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.

Чтобы лучше понять сказанное, нарисуем наглядный рисунок, где прямая a пересекает точки A и B .

Казалось бы, очевидно, если попытаться провести еще одну прямую b через точки A и B , она совпадет с прямой a .

Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?

Важно!

Дело в том, что утверждение, которое в своем доказательстве
не опирается на выстроенную логическую цепочку доказательств, нельзя считать доказанным .

Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.

Нам остается, только принять их на веру без доказательств . Иначе мы не сможем доказывать следующие утверждения, чтобы двигаться дальше.

Что такое аксиома

Запомните!

Аксиома — утверждение , которое не требует доказательств.

С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.

Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:

через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
через точку, не лежащую на данной прямой, проходим только одна прямая, параллельная данной;
если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки;
любая фигура равна самой себе.

Что такое теорема

Запомните!

Теорема — утверждение , которое требует доказательства.

Примеры формулировок теорем:

сумма углов треугольника равна 180 градусов;
площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон;
теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Важно!

Формулировки аксиом и теорем необходимо учить строго наизусть
без искажений .

Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.

Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.

Что такое лемма

Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Запомните!

Лемма — это вспомогательная теорема , с помощью которой доказываются другие теоремы.

если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Что такое следствие в геометрии

Запомните!

Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать .

Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.

Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.

ЛЕММА (от греч. lemma) – предложение, положение; в математике – вспомогательное предложение, употребляемое при доказательстве одной или нескольких теорем.

Философский энциклопедический словарь . 2010 .

(греч. λῆμμα, букв. – польза; в философии – предложение, предположение). Термин "Л." у Аристотеля обозначал посылку (категорического) силлогизма. В "Началах" Эвклида Л. – математич. предложение, специально доказываемое с целью последующего использования при доказательстве нек-рого другого предложения (теоремы). Этот смысл термина "Л." в истории науки подвергался модификациям. Лейбниц рассматривал Л. в качестве промежуточных (между аксиомами и теоремами) истин, необходимых для сокращения рассуждений.

По Канту, наука, нуждающаяся для своего обоснования во внешних для нее положениях, заимствует эти положения, к-рые и наз. леммами, из др. наук (напр., механика заимствует теоремы геометрии в качестве лемм). Иногда Л. называют истину, к-рая доказывается в др. части той же науки. В совр. математике и математич. логике общепринят смысл, к-рый придавал термину "Л." Эвклид.

У стоиков Л. имела значение большей (условной или разделительной) посылки в рассматривавшихся ими умозаключениях с условными и разделит. суждениями (второй посылкой в к-рых было категорич. суждение); с этим смыслом термина "Л." связаны термины "дилемма", "трилемма" и т.п. традиц. логики, охватываемые понятием л е м м а т и ч е с к и х у м о з а к л ю ч е н и й. Лемматич. умозаключения – особый вид умозаключений с условными и разделит. посылками, являющиеся обобщением дилеммы. В отличие от дилеммы, лемматич. умозаключение в общем случае может иметь большее, чем 2, число условных посылок (и соответствующее число членов дизъюнктивной посылки); если это число равно трем, умозаключение наз. трилеммой, если четырем – тетралеммой и т.п. Пример одной из форм лемматич. умозаключения: "Если А, то D; и если В, то D; и если С, то D; А или В или С; значит, D", где А, В, С, D – к.-л. суждения; это – один из видов трилеммы.

Лит.: Кант И., Критика способности суждения, СПБ, 1898, § 68; его же, Логика, П., 1915, § 39; Лейбниц Г. В., Новые опыты о человеческом разуме, М.–Л., 1936, с. 395; Челпанов Г. И., Учебник логики, М., 1946, гл. 16; Начала Эвклида, пер. с греч., М.–Л., 1950 (см. кн. VI, а также комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, с. 256–57); Aristoteles, Top. VIII 1, 156 а b 21; Diоg. L., VII 16; Cicero, De divin. II, 53, 108; Prantl К., Geschichte der Logik im Abendlande, Bd 1, Lpz., 1855, S. 375–85; Fries J. Fr., System der Logik, Lpz., 1914, S. 224.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960—1970 .

Чтобы щелкать задачки по геометрии, важно рассуждать логически. Это качество поможет быстрее запомнить все правила и перейти к решению задач и доказательствам. В этой статье узнаем про аксиомы, теоремы и доказательства теорем.

О чем эта статья:

Понятие аксиомы

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Через любые две точки проходит единственная прямая.
Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки. А точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков — равны.
Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, который соединяет эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, который равен данному. Все развернутые углы равны.
Углы равны, если они получились путем сложения или вычитания соответственно равных углов.

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного.
Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.
Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Читайте также: