Что такое координатная прямая 6 класс определение кратко

Обновлено: 08.07.2024

Координатный луч с положительными числами дополним противоположным ему лучом и нанесём на него такие же деления. Получим координатную прямую.

Координатная прямая — это прямая с указанными на ней началом отсчёта $O $$(0)$, направлением и единичным отрезком.

Точка $O$$ (0)$ — начало отсчёта. Справа от неё отмечают положительные числа, а слева — отрицательные числа. Стрелочка указывает положительное направление отсчёта на координатной прямой.

Около стрелочки часто ставят букву $x$, $y$, $z$ или другую букву латинского алфавита. В таких случаях говорят: ось $x$, ось $y$, ось $z$ соответственно.

В данном случае единичный отрезок равен $4$ клеточкам, и одной клеточке соответствует $0,25$ единичного отрезка.

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Координатный луч

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 .

Координатный луч – это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Координатная прямая

Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Координатная прямая – это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π ( = 3 , 141592 . . . ) .

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

Каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число отмечается в виде точки на координатной прямой.

Благодаря этому утверждению координатную прямую зачастую определяют как числовую.

Следует отметить, что знак, стоящий перед числом, зависит от размещения точки на прямой. Точкам, лежащим правее начала отсчета, соответствуют положительные числа, а точкам, лежащим левее, - отрицательные.

Координаты точек на координатной прямой

Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки.

Ранее было отмечено, что к каждому числу относится единственная точка на прямой. Можно сказать, что координата точки определяет ее положение на прямой. Именно координата задает эту точку.

Перед тем, как завершить статью, следует упомянуть о принятых обозначениях координаты точки. Координату принято записывать в круглых скобках справа от буквы, которой обозначена точка. Например, если точка M имеет координату – 6 , то можно записать как M ( - 6 ) , а запись вида M ( 5 3 + 7 ) значит, что координатой является 5 3 + 7

Координаты – это основа навигации. Первоначальный простенький координатный луч дает основу для понимания морской навигации, GPS- программирования и спутникового наблюдения. А написание компьютерных игр без системы навигации главного героя в вымышленном мире вообще невозможно.

Что такое координаты?

Координаты – это числа, определяющие положение точки в пространстве. Стоит быть внимательным, при изучении этого определения.

Под пространством в геометрии понимается трехмерное пространство. Для любой точки в пространстве есть три координаты: длинны, ширины и высоты.

Ярким примером декартовой системы координат является снайперский прицел. А вот полярные координаты такого применения в обыденной жизни не нашли. Эта система подразумевает использование в качестве второй координаты угла. Такой системой пользовались древние мореплаватели.

С одномерным пространством все куда проще. Точку здесь можно отметить только на координатной прямой, а для определения положения точки на этой прямой хватит и одного значения.

Использование координатной прямой

Интересен тот факт, что практически никогда координатную прямую не используют для нанесения координат. Она используется для наглядного изображения задач или сравнения чисел, упрощая решение и в том и в другом случае.

Решим небольшую задачу.

Нанесем значения на числовой луч. Каждой дроби будет соответствовать свое значение.

$$<4\over6>$$ обозначим отрезком ОА. Он будет меньше единичного отрезка

$$<6\over15>$$ обозначим отрезком ОВ. Он так же меньше единичного отрезка

$$<17\over4>$$ обозначим отрезком ОС. Он будет больше значения 4, нанесенного на числовом луче.

$$<26\over7>$$ обозначим отрезком ОD, который будет расположен между 3 и 4.

Значит, вместо сравнения 4 дробей, нам необходимо сравнить только две: $$ <5\over6>и <7\over15>$$.

Разложим 6 и 15 на простые числа и найдем НОК.

$$<4\over6>><6\over15>$$ – теперь можно обозначить точное положение этих чисел. Сравнение выполнено, задача решена.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Что мы узнали?

Мы дали понятие координатной прямой. Привели примеры и подробные объяснения. А также привели в пример задачу с координатной прямой, которую часто решают в рамках математики 6 класса.

Координатная прямая

Отмечаем точку, относительно которой все будет считаться, начало отсчета. Самое разумное – поставить там отметку ноль, ведь если мы находимся в этой точке, то расстояние до начала отсчета равно нулю (рис. 1).

Рис. 1. Начало отсчета

Выбираем единицы, в которых будем измерять. Для этого нужно указать длину отрезка, которую мы будем считать единичной (рис. 2).

Рис. 2. Единичный отрезок

Выбираем направления, куда будут увеличиваться отметки. Отметим его стрелкой. Координатная прямая готова (рис. 3).

Рис. 3. Координатная прямая

Теперь каждой точке соответствует число, адрес этой точки. Это число называют координатой.

Определение координат точки

Давайте потренируемся определять эти координаты для разных точек.

Определим координату точки A (рис. 4).

Рис. 4. Точка A

Для этого измерим, сколько раз единичный отрезок уложится от начала отсчета 0 до точки A. 4 раза. Точке A соответствует число 4. Или точка A имеет координату 4 (рис. 5).

Рис. 5. Координата точки A

Иногда координату записывают в скобках после названия точки (рис. 6).

Рис. 6. Запись координаты

Определим координату точки B (рис. 7).

Рис. 7. Точка B

Единичный отрезок поместился 5,5 раз. Координата 5,5 (рис. 8).

Рис. 8. Координата точки B

Можно поступить наоборот: найти точку по ее координате. Точка C имеет координату . Тогда от нуля нужно отложить 7 целых единичных отрезков и (рис. 9).

Рис. 9. Расположение точки

Пусть теперь точка левее начала отсчета. Точка D. Отрезок укладывается 4 раза. Но координата 4 уже занята для точки A справа (рис. 10).

Рис. 10. Расположение точки D

Да и все остальные положительные числа уже использованы для координат тех точек, что находятся справа от нуля.

Но у нас остались еще отрицательные числа. Их и будем использовать для таких точек. То есть точка D имеет координату —4 .

Две координаты, отличающиеся только знаками (то есть противоположные числа), соответствуют точкам, симметричным относительно начала координат. Например, 4 и —4 соответствуют двум симметричным точкам A и D (рис. 11).

Рис. 11. Симметричные точки

Определение

Итак, координатная прямая (числовая прямая) – это прямая, на которой выбраны начало отсчета, направление, масштаб (единичный отрезок).

Каждой точке соответствует число, которое называют координатой. Координата является адресом точки. По этой координате можно точно найти, где находится точка, как дом по адресу. И, наоборот, по точке можно однозначно сказать, какая у нее координата (рис. 12).

Рис. 12. Координатная прямая

Использование координатной прямой

Итак, когда же мы используем координатную прямую? Представьте, что вам по телефону нужно объяснить, где находятся эти точки на прямой (рис. 13).

Рис. 13. Точки на прямой

Мы можем взять линейку, измерить все расстояния между точками и передать по телефону.

А теперь, пусть это числовая прямая. Теперь у каждой точки есть координата, ее можно продиктовать по телефону, а на том конце ваш собеседник по этим координатам может точно так же расставить точки (рис. 14).

Рис. 14. Точки на координатной прямой

Сравнение чисел и арифметические операции с помощью числовой прямой

Итак, у нас каждой точке соответствует число и наоборот. Но соответствие распространяется и дальше – на сравнение чисел и на арифметические операции.

То, что 7,5 > 3, означает, что точка с большой координатой находится правее (рис. 15).

Рис. 15. Сравнение координат

Прибавить к числу 3 положительное число 2 на прямой будет означать, что от исходной точки с координатой 3 отступить вправо на 2 единичных отрезка. Придем в точку 5 (рис. 16).

Рис. 16. Сложение положительных чисел

Прибавить отрицательное число (вычесть положительное) означает сдвиг влево (рис. 17).

Рис. 17. Вычитание

Свойство противоположных чисел: их сумма равна нулю. Двум противоположным числам соответствуют симметричные относительно нуля точки. Например, —7 и 7. Можно к —7 прибавить 7, то есть сдвинуться на 7 единиц вправо, придем в точку ноль. Или, наоборот, от точки 7 можно сдвинуться на 7 единиц влево (прибавить отрицательное число —7 или вычесть 7) (рис. 18).

Рис. 18. Свойство противоположных чисел

Хотите чтобы мы проверили Ваше решение? Напишите нам и лучшие репетиторы по математике нашего центра сделают это.

В этом уроке Вы узнаете, что такое координатная прямая, научитесь на ней обозначать положительные и отрицательные числа, определять координаты симметричных точек.

Давайте возьмем координатный луч.

На нем отмечено начало – точка О, единичный отрезок и справа от начала координат у нас находятся положительные числа в порядке возрастания.

А где расположить отрицательные?

Чтобы отметить отрицательные числа нужно луч дополнить противоположным ему лучом и нанести на него такие же деления.

Таким образом, получилась координатная прямая.

Справа от точки О – начала координат – находятся положительные числа, а слева – отрицательные.

Следовательно, координатная прямая – это прямая с указанным на ней началом отсчета, направлением отсчета и единичным отрезком.

Координата – число, показывающее положение точки на координатной прямой.

Числа, расположенные справа от точки О на координатной прямой – положительные, соответственно направление, в котором они расположены называют положительным.

Числа, которые расположены слева – отрицательные, поэтому направление, в котором они расположены называется отрицательным.

На координатной прямой стрелкой указывается только положительное направление. Число 0 разделяет положительные и отрицательные числа.

Каждому числу соответствует единственная точка прямой.

Например, числу 3,5 соответствует точка М, которая удалена от начала отсчета, т. е. от точки О, на расстояние, равное 3,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О в заданном (положительном) направлении.

Числу -4 соответствует точка Р , которая удалена от точки О на расстояние, равное 4, и отложена от точки О в отрицательном направлении, т. е. в направлении, противоположном заданному.

Верно и обратное: каждая точка координатной прямой соответствует единственному числу.

Около стрелки, указывающей направление отсчета на координатной прямой, часто ставят буквы x, y или t .

Координатные прямые могут располагаться на плоскости по-разному, не только горизонтально.

Например, шкалу на термометре можно назвать координатной прямой.

Она будет вертикальной.

В этом случае положительные числа будут находиться выше 0, а отрицательные ниже 0.

Выполним практическое задание:

Изобразим координатную прямую.

Отметим на координатной прямой точки А (3), В (-3).

Обратите внимание: расстояние от точки А до начала координат точки О будет равно расстоянию OB.

точки А и В будут центрально-симметричны относительно начала отсчета координатной прямой точки О (0).

Следует отметить, что центром симметрии точек на координатной прямой может быть любая точка данной прямой.

Поучимся находить симметричные точки на координатной прямой.

Пусть точка О (0) – центр симметрии.

Найдем точку, симметричную точке С (-6).

Такой точкой будет точка расположенная по другую сторону от центра симметрии.

Центром симметрии теперь будет точка А (-2).

Между точками С (-6) и А (-2) – четыре единичных отрезка.

Отсчитаем от точки А (-2) четыре единичных отрезка вправо отметим точку В.

Определим ее координату – (2).

Таким образом, точки С (-6) и В (2) будут центрально-симметричны относительно точки А (-2).

А как определить координату центра симметрии двух точек на координатной прямой?

Пусть даны симметричные точки М(-1,4) и М1(2,6).

Расстояние от точки М до О(0) 1,4, от М1 до начала координат – 2,6.

Центр симметрии должен быть посередине.

Таким образом, в этом уроке Вы узнали, что такое координатная прямая, научились определять координаты точек и находить симметричные точки.

Читайте также: