Что такое катет кратко

Обновлено: 30.06.2024

Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Противоположная прямому углу сторона называется гипотенузой. Для непрямоугольного треугольника катеты не существуют.

α — отношение катета, противолежащего углу α, к гипотенузе. α — отношение катета, прилежащего углу α, к гипотенузе. α — отношение катета, противолежащего углу α, к катету прилежащему углу α. α — отношение катета, прилежащего углу α, к катету противолежащему углу α. α — отношение гипотенузы к катету прилежащему углу α. α — отношение гипотенузы к катету противолежащему углу α.

Длина катета может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, которая утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Длина катета равна произведению длины гипотенузы и косинуса прилежащего угла:

$a = c \cos \beta$
$b = c \cos \alpha$

Длина катета равна произведению длины гипотенузы и синуса противолежащего угла:

$a = c \sin \alpha$
$b = c \sin \beta$

Длина катета равна произведению длины другого катета и тангенса противолежащего угла, относительно искомого катета:

$a = b\tan \alpha$
$b = a \tan \beta$

Длина катета равна произведению длины другого катета и котангенса прилежащего угла, относительно искомого катета. Длина катета равна среднему геометрическому длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу:

" width="" height="" />
" width="" height="" />

Квадрат высоты, выходящей из прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

— катеты — гипотенуза — угол, противолежащий a — угол, противолежащий b — проекции катетов a и b на гипотенузу.

С катетами совпадают две из трёх высоты прямоугольного треугольника.

По катету и гипотенузе или по двум катетам можно судить о равенстве двух прямоугольных треугольников.

Вращая прямоугольный треугольник вокруг катета можно получить прямой круговой конус.

См. также

Примечания

↑ Источник: Большая советская энциклопедия
↑ Источник: Толковый словарь русского языка Ушакова
↑ Источник: Толковый словарь живого великорусского языка Владимира Даля

Геометрия треугольника
Тригонометрия

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Катет" в других словарях:

КАТЕТ — (гр. kathete вертикальная линия). Каждая из двух перпендикулярных сторон прямого угла в прямоугольном треугольнике. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КАТЕТ греч. kathete, вертикальная линия. Каждая из … Словарь иностранных слов русского языка

КАТЕТ — (от греч. kathetos перпендикуляр) сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу … Большой Энциклопедический словарь

КАТЕТ — КАТЕТ, катета, муж. (греч. kathetos, букв. опущенный, отвесный) (мат.). В прямоугольном треугольнике одна из двух сторон, образующих прямой угол. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

КАТЕТ — КАТЕТ, а, муж. В математике: сторона прямоугольного треугольника, примыкающая к его прямому углу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

КАТЕТ — муж. катета жен., греч. каждая из сторон около прямого угла прямоугольного треугольника. | Архитектурное: отвес через средину задка ионической капители. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

катет — сущ., кол во синонимов: 1 • сторона (57) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

катет — а; м. [от греч. kathetos отвес] Матем. Одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике. * * * катет (от греч. káthetos перпендикуляр), сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. * * * КАТЕТ КАТЕТ (от … Энциклопедический словарь

Катет — (от греч. káthetos перпендикуляр) сторона прямоугольного треугольника, прилегающая к прямому углу … Большая советская энциклопедия

Катет — стороны прямоугольного треугольника, составляющие между собою прямой угол. См. Гипотенуза и Треугольник … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Катет — м. Одна из двух сторон, образующих прямой угол в прямоугольном треугольнике. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Прямоугольный треугольник, катеты c1 и c2 и гипотенуза (h)
Катет — одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол. Противоположная прямому углу сторона называется гипотенузой

Катет — одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол. Противоположная прямому углу сторона называется гипотенузой.

С катетами связаны тригонометрические функции острого угла α:

синус α — отношение катета, противолежащего углу α, к гипотенузе.
косинус α — отношение катета, прилежащего углу α, к гипотенузе.
тангенс α — отношение катета, противолежащего углу α, к катету прилежащему углу α.
котангенс α — отношение катета, прилежащего углу α, к катету противолежащему углу α.
секанс α — отношение гипотенузы к катету прилежащему углу α.
косеканс α — отношение гипотенузы к катету противолежащему углу α.
Длина катета может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, которая утверждает, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Длина катета равна произведению длины гипотенузы и косинуса прилежащего угла. Длина катета равна произведению длины гипотенузы и синуса противолежащего угла. Длина катета равна произведению длины другого катета и тангенса противолежащего угла, относительно искомого катета. Длина катета равна произведению длины другого катета и котангенса прилежащего угла, относительно искомого катета. Длина катета равна среднему геометрическому длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу.

Гипотенуза — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы (то есть квадрат её длины) равен сумме квадратов катетов (то есть длин двух других сторон прямоугольного треугольника) .

Прогрузил ребенка- спрашивающий 7-классник- они только наинают тему прямоугольные тр-ки. а ты- ишь, ЩЕДРЫЙ!! - уже и секансом прогрузил. ЗАЧЕМ? лениво было убрать лишнее? или не в теме вообще.

КАТЕТ (от греч. kathetos — перпендикуляр), сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу.
ГИПОТЕНУЗА (греч. hypoteinusa), сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

Да ну их всех, с ихниими умными ответами.
". А нам говоряг, что катет -
Короче гипотенузы.
А я говорю, что хватит!
Устал я от этой обузы. "
(С) Х/ф "Приключения Электроника".
. Между прочим, в этой песенке и ответ есть на ваш вопрос.

у прямоугольного треугольника есть три стороны - самая длинная это гипотенуза, а две другие это катеты.

Одним из простых замкнутых объектов является фигура, образующая три угла. Её изображение встречается в пергаментах и папирусах Древнего Египта и Греции. Пожалуй, наиболее часто приходится сталкиваться с прямоугольным треугольником. Катеты такого объекта в месте соприкосновения образуют прямой угол. Благодаря этому существует ряд закономерностей, зная которые можно определить основные характеристики геометрического тела.

Понятия и определения

Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид. По их мнению, вся поверхность прямолинейного вида состоит из множеств различных треугольников. В геометрии под ними понимается область, лежащая в плоскости, ограниченной тремя отрезками, соединяющимися в трёх точках, не принадлежащих одной прямой.

Линии, образующие область, называются сторонами, а точки соприкосновения отрезков — вершинами. Основными элементами многоугольника являются:

Медиана — отрезок, соединяющий середину с противолежащим углом. В треугольнике три медианы, которые пересекаются в одной точке. Называется она центроидом и определяет центр тяжести объекта.
Высота — линия, опущенная из вершины на противоположную сторону, образующую с ней прямой угол. Место пересечения высот называют ортоцентром.
Биссектриса — прямая, проведённая из угла таким образом, что делит его на две равные части. Если в треугольник вписать окружность, соприкасающуюся с его сторонами, то её центр совпадёт с точкой пересечения биссектрис. Называют это место — инцентр.

В зависимости от видов углов, треугольники разделяют на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Но каким бы ни был тип фигуры, существует закономерность, что сумма всех углов всегда равна 180 градусам. Поэтому как минимум два угла должны быть острыми.

Различают треугольники и по числу равных сторон. Так, если они все равны, фигура называется равносторонней. Когда же по величине совпадают только две стороны, то многоугольник является равнобедренным. Его главное свойство в том, что углы равны. Частным случаем равнобедренного многоугольника является правильный треугольник (разносторонний).

Чтобы не возникала путаница, существуют стандартные обозначения величин. Вершины подписываются заглавными буквами A, B, C, а углы - греческими символами: α, β, γ. Стороны же обозначают прописными буквами латинского алфавита: a, b, c.

Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это симметричный многоугольник, сумма двух углов которого равняется 90 градусов. Так как общая сумма всех трёх углов составляет 180 градусов, то соответственно третий угол равен 90 градусам. Стороны, образующие его, называют катетами, а оставшийся отрезок гипотенузой.

К основным свойствам фигуры относят следующее:

гипотенуза многоугольника всегда больше любого из его катетов;
сторона, располагающаяся напротив угла в 30 градусов, составляет половину гипотенузы;
два катета являются высотами треугольника;
середина окружности, описанная вокруг фигуры, совпадает с гипотенузой, при этом медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу, одинаковая с радиусом круга;
численное значение гипотенузы, возведённое в квадрат, равно сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

Эти основные признаки при решении геометрических задач помогают определить класс треугольника и рассчитать его величины. Большое значение при этом имеет вычисление значений катетов.

Так, если известна гипотенуза, то найти катеты, зная угол, не составит труда. Определив же длину катетов, вычислить оставшуюся сторону можно по теореме Пифагора. Периметр фигуры определяют сложением двух катетов и гипотенузы, а площадь находят перемножением катетов и делением полученного ответа на два.

Зная катеты, довольно просто вычислить угол. Нужно всего лишь запомнить, что соотношение сторон между собой равно тангенсу противолежащего угла и котангенсу, находящемуся рядом. При этом, зная любой из углов, найти второй можно простым вычитанием известного значения из девяноста. Высота же у прямоугольника равна косинусу прилежащего угла.

Формула для нахождения биссектрисы и медианы довольно сложная. Для нахождения первой величины используют преобразование радикала из суммы квадратов катетов к двум, а второй - подстановку радикала вместо стороны, лежащей напротив прямого угла.

Теорема Пифагора и углы

Эта теорема занимает одно из центральных мест в математике. Алгебраическая формулировка её гласит, что в прямоугольнике квадрат длины гипотенузы по своему значению равен сумме квадратов двух прилегающих к ней сторон, то есть катетов. Например, если обозначить гипотенузу буквой c, а катеты а и b, то математически её можно записать в виде формулы: a 2 +b 2 = c 2 .

Существует несколько доказательств этой теоремы. Самое простое из них - это использование подобия треугольников. В его основе лежат аксиомы. Пусть имеется геометрическая фигура ABC, у которой вершина C является прямой, то есть её угол равен 90 градусов. Если из точки С опустить высоту, а место пересечения с противолежащей стороной обозначить H, то получится два треугольника. Один будет состоять из вершин AHC, а другой BHC. Эти новые фигуры подобны ABC по двум углам. Следующие выражения будут верными:

Приведённые записи эквивалентны равенствам: BC 2 = AB * HB; AC 2 = AB * AH. Сложив первую и вторую формулу, получается: BC 2 + AC 2 = AB * (HB + AH) = AB 2 . Что и следовало доказать.

Используя это фундаментальное правило и свойство, что катет, расположенный напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, проводят множество расчётов, связанных с вычислением длин сторон. Для доказательства, что AC = BC/2, приводят следующие рассуждения.

Так как вершина B равна 30 градусам, то, согласно правилу, разворот С должен составлять C =30*2 = 60 градусов. К имеющемуся треугольнику можно приложить точно такую же фигуру, делая сторону AB центром симметрии. Тогда для многоугольника BCD будет справедливо, что B = D = 60º. Исходя из этого можно утверждать, что DC = BC. Но, так как AC = ½ DC, то соответственно AC = ½ BC.

Но не всегда известны все данные, необходимые для нахождения длины катета по приведённым теоремам. Поэтому для вычисления катетов используются и тригонометрические соотношения.

Тригонометрические формулы

Для нахождения длины катета прямоугольного треугольника используют простые формулы. Для их применения нужно знать значение любой из сторон и величину разворота произвольной вершины. Существует четыре способа, позволяющих найти катет с использованием тригонометрических правил:

В основе лежит аксиома, что синус находится из отношения противолежащего катета к гипотенузе. Например, пусть известно что длина гипотенузы составляет 100 сантиметров, а вершина A имеет разворот равный 30 градусам. Используя тригонометрические таблицы, можно утверждать, что синус угла A составляет ½. Учитывая преобразованное выражение, находят катет: a = 100 / 2 =50 (см). Таким образом, синус острого угла численно равен отношению одного из катетов, деленного на гипотенузу: sin A = BC/AB.
Используется правило, что косинус в прямоугольнике представляет собой отношение прилежащего катета к прямому углу и гипотенузе: cosA = AC/AB. Например, пусть разворот вершины C равен 60 градусам, а гипотенуза равна 100 сантиметрам. Согласно тригонометрической таблице, угол в 60 градусов равен ½. Подставив это значение в формулу, можно найти значение катета: a=cos∠C*a; b=½*100=50 сантиметров.
Тангенс угла можно вычислить, разделив значение длины противолежащего катета к прилежащему. Математическая формула этого утверждения имеет вид: tg = BC/AC. Катет многоугольника может быть найден как b = tg * a. Например, известно, что у фигуры один из углов равен 45 градусов, а длина гипотенузы составляет 100 сантиметров. Так как тангенс 45 градусов равен единице, то ответом на задачу будет: a = 1*100 = 100 сантиметров.
Котангенс определяется из соотношения прилежащего катета к противолежащему. Фактически это величина, обратная тангенсу: ctg = AC/BC. Например, пусть разворот угла A составляет 30 градусов, а длина катета, находящегося напротив него, равняется 50 сантиметрам. Котангенс 30 градусов соответствует корню из трёх. Подставив в формулу известные данные, можно вычислить неизвестный катет: b =50√3 сантиметров.

Зная, как выглядят тригонометрические формулы и содержание двух теорем, вычислить значение катета можно будет в большинстве поставленных задач.

Типовые примеры

Для решения задач на нахождение катета не нужно обладать какими-то особенными знаниями. Нужно просто внимательно проанализировать условие. Например, пусть известно, что в прямоугольнике один катет длиннее другого на пять сантиметров. При этом площадь фигуры равняется 84 сантиметрам в квадрате. Необходимо определить длины сторон и периметр.

Так как в условии дана площадь, то при решении необходимо отталкиваться от неё. Известно, что площадь прямоугольного треугольника находится по формуле: S = AC*CB/2. Это выражение является частным случаем общей формулы для нахождения площади любого треугольника, где: AC — это высота, а CB — основание. Если принять, что AC равно X, то, согласно условию, длина CB будет составлять x+5.

Исходя из этого, площадь треугольника будет равна: S = (x*(x+5))/2. Подставив вместо S заданное значение, можно получить квадратное уравнение: x2 + 5x — 84 = 0. Решать его лучше методом детерминанта. Корнями уравнения будут -12 и 7. Так как -12 не удовлетворяет условию задачи, то верным ответом будет семь.

Довольно интересные, но в то же время простые задачи на нахождение сторон и углов при известной длине гипотенузы и значения разворота одной из вершин. Пусть имеется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза BC равняется пяти сантиметрам, а угол между ней и катетом составляет 60 градусов. Нужно определить все остальные стороны и углы.

Так как известна гипотенуза и острый угол, то, воспользовавшись тригонометрическими формулами, можно найти длины катетов: AC=BC*sin60 = 5*(3) ½ /2; AB=BC*cos60 = 5/2. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, так как один из них прямой, а второй задан и составляет 60 градусов, то третий находится путём вычитания C = 180 - (90 + 60) = 30.

Катет – это одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол. Противоположную прямому углу сторону называют гипотенузой. У непрямоугольного треугольника катеты отсутствуют.

С катетами связывают тригонометрические функции острого угла α:

синус α – отношение катета, противолежащего углу α, к гипотенузе.

косинус α – отношение катета, прилежащего углу α, к гипотенузе.

тангенс α – отношение катета, противолежащего углу α, к катету, прилежащему углу α.

котангенс α – отношение катета, прилежащего углу α, к катету, противолежащему углу α.

секанс α – отношение гипотенузы к катету, прилежащему углу α.

косеканс α – отношение гипотенузы к катету, противолежащему углу α.

По катету и гипотенузе или по двум катетам можно судить о равенстве двух прямоугольных треугольников.

Если вращать прямоугольный треугольник вокруг катета, то можно получить прямой круговой конус.

Читайте также: