Что такое деление кратко в математике

Обновлено: 05.07.2024

Деление в начальной школе, фактически, просто знакомство с одним из основных действий с числами.

В этой статье вы найдёте:

Деление может обозначаться разными знаками: двоеточием, косой линией и чертой между числителем и знаменателем (рисунок и коллаж автора статьи)

Что такое деление?

Деление - это действие, обратное умножению. Деление показывает, сколько раз одно число вычли из другого.

При делении числа называются:

делимое - число, которое делят;
делитель - число на которое делят;
частное - то, что получается.

Пример: 12:3=4

Разберём на примере конфет.

Мама принесла 12 конфет и решила их дать своим детям. 12 - это делимое, то что будет разделено.
Детей у мамы 3, то есть ДЕЛИТЬ она будет на троих. 3 - это делитель. Делить будут на три.
Мама даёт каждому ребенку по одной конфете. Сколько раз она так сделает? 4 раза. 4 - это частное. Каждому ребёнку досталась своя ЧАСТЬ , которая состоит из 4 конфет.

В делении может быть ещё один компонент - это остаток

Остаток - то, что остаётся при делении на равные части. Возьмём тот же пример с конфетами. Только представим, что мама принесла не 12 конфет, а 14. Тогда она смогла 4 раза дать всем троим детям по одной конфете. А когда стала пятый раз раздавать, оказалось, что на всех троих не хватает. Конфет осталось 2, а детей - трое. Нечестно будет двоим дать, а третьему - нет.

Поэтому мама оставила 2 конфеты (2 это - остаток) для себя и для папы.

Как могут быть сформулированы вопросы в задачах на деление?

Раздели 12 на 3.
12 уменьшили в три раза, сколько получилось?
Загаданное число уменьшили в 3 раза и получилось 4. Чему равно загаданное число?
Во сколько раз 12 больше, чем 4?
Делимое 12, делитель 3. Чему равно частное?
Делимое 12, частное 4. Чему равен делитель?
Частное 4, делитель 3. Чему равно делимое?
Число разделили на 3, получили 4 и 2 в остатке. Чему равно число?
12 яблок разделили на несколько детей. Каждый получил по 4 яблока и в корзинке осталось ещё 2 яблока. Сколько детей получили яблоки?
Мама принесла домой конфеты. После того, как она дала каждому из своих троих детей по 4 конфеты, в коробке осталось ещё 2 конфеты. Сколько конфет было в коробке?

А теперь давайте потренируемся. Пройдите тест и оцените, насколько вы понимаете условия заданий на деление.

В этом разделе познакомимся с делением и узнаем, что деление – это математическая операция, обратная умножению.

Умножение – это последовательное сложение чисел, а деление – это последовательное вычитание чисел.

В математике существует знак для умножения - это точка ( • ) посередине строки между числами, которые нужно перемножить, а для деления существует особый знак - это две точки ( : ) между числами, которые нужно поделить между собой.

Как ёжикам поделить между собой яблоки поровну?

Нужно воспользоваться действием деления и узнать, сколько раз по 3 содержится в 6.

1) 6 : 3 = 2 (яб.) - мы узнали, сколько яблок получит каждый ёжик.

2) 6 : 2 = 3 (ёж.) - мы узнали, сколько ёжиков получат по 2 яблока.

3) 2 • 3 = 6 (яб.) - мы узнали, сколько яблок нужно, чтобы у каждого из трёх ёжиков было по 2 яблока.

Любой пример на умножение можно представить двумя примерами на деление.

Например, для выражения 6 • 4 = 24 есть два обратных выражения:

24 : 4 = 6 - нужно из 24 вычесть число 4 ровно 6 раз.

24 : 6 = 4 - нужно из 24 вычесть число 6 ровно 4 раз.

Числа при делении

При делении, как и при другом математическом действии, каждое число имеет свое название.

Число, которое делят, называется делимое.

Число, на которое делят, называется делитель.

Результат деления называется частное.

Чтение числовых выражений

Этот пример можно прочитать по-разному.

24 разделить на 6 равняется 4.
24 уменьшить в 6 раз – получится 4.
Делимое – 24, делитель – 6, частное – 4.
Частное от деления числа 24 на 6 равно 4.

Деление на 1

Деление на 0

Деление числа само на себя

Связь деления и умножения

Чётные и нечётные числа

Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются чётными, а числа, которые не делятся на 2 без остатка, называются нечётными.

Чётные: 6, 22 44, 60, 74, 82, 96

Нечётные: 7, 13, 21, 37, 45, 97

В несколько раз меньше

Для примера решим задачу:

В магазине было 8 котят, а лисичек в 4 раза меньше. Сколько было лисичек?

Значит, чтобы узнать, сколько было лисичек, нужно 8 : 4 = 2 (л.)

Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?

Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?

Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.

Деле́ние (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое. Существует несколько символов, используемых для обозначения оператора деления.

Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.

Рассмотрим, например, такой вопрос:

Сколько раз 3 содержится в 14?

В этом случае число 14 называется делимым, число 3 — делителем, число 4 — (неполным) частным и число 2 — остатком (от деления).

Результат деления также называют отношением.

Содержание

Деление натуральных чисел

Кольцо целых чисел не замкнуто относительно деления. Простым языком это означает то, что результат деления одного целого числа на другое может быть не целым. В случае, если всё-таки результат является целым числом, говорят о делении без остатка.

Существуют правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на заданный делитель без остатка (признаки делимости). Наиболее известные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 и их производные, также существует признаки делимости на 7, 13, 1001 и другие числа.

Целое число, на которое одновременно делятся без остатка несколько чисел, называется их общим делителем.

Определение количества делителей натурального числа приводит к двум важным понятиям: составное и простое число. У простого числа есть ровно два различных делителя — 1 и само число. У составных чисел различных делителей больше двух. 1 не является ни составным, ни простым числом.

В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, можно говорить о делении с остатком. Рассмотрение остатков, их сравнение и формализация в виде вычетов привели к целой науке — теории чисел.

Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён):

, ,

где — делимое, — делитель, — частное и — остаток.

Деление целых чисел

Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.

Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:

$-7 \equiv 2 \pmod 3$

Деление рациональных чисел

Замыкание множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного целого числа на другое всегда является рациональное число. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).

$\frac Правило деления обыкновенных дробей: :\frac = \frac = \frac$

Деление вещественных чисел

Деление также замкнуто в поле ненулевых вещественных чисел. Дедекиндово сечение позволяет однозначно определить результат деления.

Деление комплексных чисел

Комплексные числа опять замкнуты относительно операции деления.

Деление в алгебре

В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.

Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если единичный элемент вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то обратный элемент часто может быть как левым (*x=e" width="" height="" />
), так и правым (=e" width="" height="" />
). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.

К примеру, отношение матриц определяется через обратную матрицу, при этом даже для квадратных матриц может быть:

$B^ \cdot A \neq A\cdot B^$
.

Отношение тензоров в общем случае не определено.

Деление многочленов

В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:

$5334_8 = 5\cdot 8^3 + 3\cdot 8^2 + 3\cdot 8^1 + 4\cdot 8^0 = \left.(5x^3+3x^2+3x+4)\right|_<x=8> $
.

Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо деление столбиком.

Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.

Деление на ноль

По правилам стандартной арифметики деление на число 0 запрещено.

Другое дело — деление на бесконечно малую функцию или последовательность. Деление конечных функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется неопределённостью 0/0, которую можно преобразовать (см. раскрытие неопределённостей) с тем, чтобы получить определённый результат.

Как следует из определения операции деления, результатом операции 0:0 может считаться любое действительное число, таким образом, значение операции 0:0 неопределенно и задача деления нуля на нуль имеет бесчисленное множество решений. [1] . Это не соответствует стандартному определению бинарной операции, согласно которому результатом операции с двумя числами может быть только единственное значение.

Операции деления ненулевого числа на ноль не соответствует никакое действительное число.

Результат этой операции считается бесконечно большим и равным бесконечности:
, где
Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным a или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается(по модулю).

$R\times R\to R$

Поскольку бесконечность не является действительным числом, то такая операция выходит за пределы алгебры действительных чисел, если бинарная операция в ней определяется как . .

Деление — это арифметическое действие, с помощью которого можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом.

Деление можно представить, как неоднократно повторяемое вычитание. Например, число 6 разделить на 2 — значит узнать, сколько раз число 2 содержится в 6:

Повторив вычитание 2 из 6, мы узнали, что 2 содержится в 6 три раза. Это можно проверить сложив три раза по 2 или умножив 2 на 3:

2 + 2 + 2 = 2 · 3 = 6.

Для записи деления используется знак : (двоеточие), который ставится между числами. Например:

Эта запись означает, что 6 надо разделить на 2. Справа от записи деления ставится знак = (равно), после которого записывается полученный результат:

Задача. В магазин привезли 9 морковок. Продавщица связала их в пучки по 3 морковки в каждом пучке. Сколько получилось пучков?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько раз по 3 содержится в числе 9. Для этого разделим 9 на 3. Получим 3.

Решение можно записать так:

Ответ: 3 пучка.

Пример. Решить примеры на деление с помощью схем.

2) 12 : 4 = 3, 12: 3 = 4.

Делимое, делитель и частное

Делимое — это число, которое делят. Делитель — это число, на которое делят. Например, в записи:

12 — это делимое, 3 — делитель. Делитель показывает на сколько равных частей нужно разделить делимое.

Частное — это число, которое получается в результате деления. Например, в записи:

4 — это частное. При этом сама запись 12 : 3 тоже называется частным.

Эта запись читается так: частное двенадцати и трёх равняется четырём или двенадцать разделить на три равно четырём .

Проверка деления

где 28 — это делимое, 4 — это делитель, а 7 — частное. Чтобы узнать правильно ли было выполнено деление, можно:

В рамках этого материала мы разберем важное действие, называемое делением. Дав общее представление о нем и объяснив его смысл, мы введем основные термины и обозначения на письме. В последнем пункте мы расскажем, для решения каких задач нам пригодится умение делить натуральные числа.

Что такое деление натуральных чисел

Само по себе понятие деление неразрывно связано с процессом разъединения некоторого множества предметов на несколько отдельных множеств.

Объясним на примере.

В быту мы часто употребляем слова"делиться", "поделиться", например, поделиться угощением с друзьями. Это слово означает, что угощение мы поделили на некоторые части и отдали часть одним людям, а часть другим (или оставили себе). С помощью этого простого примера деление можно представить как последовательное вычитание из одного большого множества. Что такое вычитание и как его выполнять, мы уже разбирали с вами ранее.

Проще всего понять процесс деления на равные части. У нас есть исходное множество, которое возможно разделить на некоторое количество одинаковых множеств. Например, мы разделили конфеты между друзьями так, что у каждого стало, например, по 5 . Тогда мы можем сказать, что поделили угощение поровну. В этом смысле деление обратно умножению (см. понятие об умножении натуральных чисел). Далее по ходу статьи мы будем разбирать только деление на равные части. Делению с остатком посвящен отдельный материал.

Основной смысл процесса деления

На основе того, что мы озвучили, можно придать определенный смысл делению одного натурального числа на другое (отдельно выделим число, которое делят, и то, на которое делят). Мы помним, что понятие натуральных чисел проще всего соотнести с количеством некоторых предметов. То число, которое необходимо поделить, выражает число предметов исходного множества. В зависимости от того, какой смысл мы придаем второму числу (т.е. тому, на которое делят), можно выделить два основных подхода к пониманию смысла деления. Возможны такие варианты:

1. Исходное число, на которое осуществляется деление, соотносится с количеством предметов в тех множествах, что мы получили в результате деления. Тогда полученное после деления число будет означать количество получившихся множеств. Например, мы разделили 10 конфет на кучки по 2 штуки в каждой. Поделив 10 на 2 , мы узнаем число кучек.

2. Исходное число, на которое мы делим, соответствует количеству получившихся множеств. Тогда результат деления будет показывать нам, сколько элементов входит в каждое такое множество. Вернувшись к примеру выше, мы увидим, что если 10 конфет разложить на 5 кучек, то число 2 , получившееся в итоге, соответствует количеству конфет в каждой кучке.

Разделить одно натуральное число на другое без остатка возможно далеко не всегда. Так, 10 конфет мы можем ровно разделить на 2 или 5 кучек, а на 3 нет, потому что в одном из множеств окажется отличное от других число конфет. Разложить 10 конфет по 15 или 20 кучкам мы также не в состоянии. Смысл таких действий объясняется в материале про деление с остатком.

Если мы можем поделить одно натуральное число на другое, то получившееся в итоге число также будет натуральным.

Основные понятия процесса деления

В этом пункте мы укажем основные обозначения и понятия, используемые в делении натуральных чисел.

То число, которое делим, называем делимым. То, на которое делим – делителем. Итог вычислений правильно называть частным. Само числовое выражение, состоящее из делимого, делителя и знака деления, тоже называется частным.

В примере 30 : 6 натуральное число 30 – это делимое, 6 – делитель, а 5 , получившаяся в итоге, – частным.

Когда мы говорим о том, что нужно определить число, являющееся результатом деления одного натурального числа на другое, нужно использовать выражения "найти частное" или "вычислить частное".

Все вместе – делимое, делитель и частное со знаками деления и равенства – обычно записывается в виде равенства. Например, 5 является частным от деления 30 на 6 . Мы можем записать это так:

Запись читается как "тридцать разделить на шесть равно пяти" или "частное от деления тридцати на шесть равно пяти".

Схематично процесс деления можно отобразить как " делимое : делитель = частное.".

Задачи с применением деления

Приведем примеры задач, для которых нужно уметь делить одно натуральное число на другое.

1. Первый тип задач – это те, в которых нужно найти, сколько множеств получится после деления исходного множества на равные части, а также близкие к ним задачи на вычисление количества предметов в каждом множестве после деления. Ранее мы уже приводили примеры таких задач. Добавим еще несколько.

Допустим, у нас есть 40 ручек, которые нужно распределить поровну между 4 коробками. Как вычислить, сколько ручек положить в каждую из них?

Разделить 40 на 4 .

Ответ: 10

На ужин было приготовлено 12 котлет. Каждому члену семьи должно достаться по две. Сколько всего человек будут ужинать?

Разделим 12 на 2 .

Ответ: 6 .

2. Второй тип задач очень схож с первым, однако в них необходимо вычислить не количество предметов, а изменения физических величин (времени, температуры, длины и др.)

Например, у нас есть полная бочка молока объемом 100 л. Сколько надо взять двухлитровых бутылок, чтобы перелить туда все имеющееся молоко?

Для решения задачи нам надо разделить 200 на 2 .

Ответ: 100

30 -метровый шнур надо разрезать на 10 равных частей. Какой длины будет каждая из них?

Здесь опять же нам надо вычислить частное 30 : 10 .

Ответ: 3

3. Третий тип задач – это те, где нужно найти, во сколько раз уменьшилось исходное количество чего-либо, или выяснить, во сколько одно множество предметов или величина больше, чем другое. Например:

Планировалось построить дом площадью 120 кв м., но в итоге построили в два раза меньше. Какую площадь имеет в итоге построенный дом?

Для решения этой задачи нам нужно разделить 120 : 2 .

Ответ: 60

С одной яблони мы собрали 60 яблок, а с другой – в три раза меньше. Сколько яблок сорвали со второй яблони? Чтобы дать ответ на это вопрос, требуется разделить 60 на 3 .

Читайте также: