Что такое центр масс кратко

Обновлено: 05.07.2024

Зачем все это нужно?

Мы, физики - ленивые люди, хотим упростить себе жизнь. Материальная точка - самая простая модель, но есть тела, которые точками быть не хотят. Для поступательного движения тела существует теорема о движении центра масс - можно все силы, действующие на каждую точку тела, свести в центр масс, и рассмотреть движение этой точки. Это удобно. За вопросы устойчивости тела в поле тяготения отвечает центр тяжести . Движение тела в неинерциальной системе отсчета описывает положение центра инерции . Эти волшебные центры спасают от необходимости решать бесчисленное количество уравнений со связями для каждой точки системы.

Формулы и пояснения

Найти координаты центров масс, тяжести и инерции можно по известным формулам. Для системы точек это будет сумма по всем точкам, а для сплошного тела - интеграл. Собрала все формулы в одну табличку:

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Не следует путать с центром тяжести.

Содержание

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

\vec r_c= \frac<\sum \limits_i \vec r_i m_i></p> <p>,

— радиус-вектор центра масс, — радиус-вектор i -й точки системы, — масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

\int \limits_V \rho(\vec r) \vec r dV," width="" height="" />

— суммарная масса системы, — объём, — плотность.

Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Центры масс однородных фигур

  • У отрезка — середина.
  • У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
    • У параллелограмма — пересечение диагоналей.
    • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).

    В механике

    Понятие центра масс широко используется в физике.

    Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

    Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

    Центр масс в релятивистской механике

    В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

    \vec r_c= \frac<\sum \limits_i \vec r_i E_i></p> <p>,

    — радиус-вектор центра масс, — радиус-вектор i -й частицы системы, — полная энергия i -й частицы.

    Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

    \vec v_c= \frac<c^2></p> <p> \cdot \sum \limits_i \vec p_i.

    Центр тяжести

    Центр масс тела не следует путать с центром тяжести!

    Центром тяжести тела называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

    В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как внешнее гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в пределах объёма тела).

    По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не имеет смысла учёт его неоднородности). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

    Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого [1] . Не является тождественным понятию

    Содержание

    Определение

    Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом [2] :

    <\displaystyle </p> <p>>_=m_>_><\sum \limits _m_>>,>

    <\displaystyle <\vec <r></p> <p>где >_>
    — — радиус-вектор i -й точки системы, >" width="" height="" />
    — масса i -й точки.

    Для случая непрерывного распределения масс:

    <\displaystyle </p> <p>>_=\int \limits _\rho (>)>dV,>
    \rho (>)dV,>" width="" height="" />

    где " width="" height="" />
    — суммарная масса системы, " width="" height="" />
    — объём, " width="" height="" />
    — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

    Можно показать, что если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами >" width="" height="" />
    , то радиус-вектор центра масс такой системы >" width="" height="" />
    связан с радиус-векторами центров масс тел >" width="" height="" />
    соотношением [3] :

    <\displaystyle </p> <p>>_=M_>_><\sum \limits _M_>>.>

    Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

    Центры масс однородных фигур

    • У отрезка — середина.
    • У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
      • У параллелограмма — точка пересечения треугольника — точка пересечения правильного многоугольника — центр π от центра круга.

      Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из и =><2\pi S>>>" width="" height="" />
      , где ,V_>" width="" height="" />
      — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, " width="" height="" />
      — площадь фигуры.

      В механике

      Понятие центра масс широко используется в механике и физике.

      Движение твёрдого тела можно рассматривать как вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

      Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции . В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

      Центр масс в релятивистской механике

      В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

      <\displaystyle </p> <p>>_=>_E_><\sum \limits _E_>>,>

      <\displaystyle <\vec <r></p> <p>где >_>
      — — радиус-вектор i -й частицы системы, >" width="" height="" />
      — полная энергия i -й частицы.

      Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами [4] .

      Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

      <\displaystyle <\vec <v></p> <p>>_=>E_>>\cdot \sum \limits _>_.>

      Центр тяжести

      У этого термина существуют и другие значения, см. момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

      В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как внешнее гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в пределах объёма тела).

      По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не имеет смысла учёт его неоднородности). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.


      Центром масс механической системы называется такая геометрическая точка C, концентрируя в которой (мысленно) массу M всей механической системы, получим, что ее статический момент массы равен статическому моменту массы всей механической системы, т.е.


      Проецируя обе части равенства (1.2) на оси координат, получаем аналитические формулы для координат центра масс механической системы:


      Выражению (1.2) можно придать и другой вид, если умножить числитель и знаменатель ее правой части на ускорение силы тяжести. В этом случае


      где Pj = mj ∙ g (j = 1,2,3,…,n) – веса материальных точек, образующих механическую систему;
      ∑Pj = M ∙ g = G – вес всей механической системы.

      Выражение (1.4) определяет радиус-вектор центра тяжести неизменяемой материальной системы в предположении, что она находится в поле силы тяжести.

      Отсюда следует, что центр тяжести неизменяемой (жесткой) механической системы (в частности твердого тела) совпадает с центром масс.

      Однако понятия о центре масс и центре тяжести механической системы не являются тождественными. Понятие о центре тяжести как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести.

      Понятие же о центре масс как о характеристике распределения масс в механической системе является более широким, так как имеет смысл для любой механической системы независимо от того, находится ли данная система под действием каких-либо сил или нет. Поэтому понятие центра тяжести можно рассматривать как частный случай по отношению к понятию центра масс.

      В общем случае следует говорить о центре масс материальной (механической) системы, а не о центре тяжести. При определении центра масс материальной системы можно пользоваться методами, установленными в статике для определения центра тяжести (метод симметрии, метод расчленения на простейшие элементы, метод отрицательных масс и т.д.).

      Читайте также: