Что называют расстоянием от точки до прямой кратко

Обновлено: 05.07.2024

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

opredelenie rasstoyaniya ot tochki do pryamoy
рисунок 1

Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из точки к прямой провести перпендикуляр и найти его длину.

Например, на рисунке 1 расстояние от точки A до прямой a равно длине перпендикуляра AB, опущенного из точки A на прямую a.

Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой сводятся к рассмотрению прямоугольного треугольника.

№ 1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 2:3, а длины их проекций соответственно равны 2 см и 7 см. Найти расстояние от точки до прямой.

rasstoyanie ot tochki do pryamoyДано: A∉a,

AC и AD — наклонные, AC:AD=2:3,

BC и BD — их проекции, BC=2 см, BD=7 см

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AC=2k см, AD=3k см.

2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора

3) Аналогично, из треугольника ABD

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим k:

5) Зная k, найдем AB:

\[AB = \sqrt = \sqrt = 4\sqrt 2 (cm).\]

№ 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найти расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных равна 4 см.

nayti rasstoyanie ot tochki do pryamoyДано: A∉a,

AC и AD — наклонные, AC=13 см, AD=15 см,

BC и BD — их проекции, BD-BC=4 см

1) Пусть BC=x см, тогда BD=x+4 см.

3) Аналогично, из треугольника ABD

4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим x:

\[169 - = 225 - - 8x - 16\]

5) Зная x, найдем AB:

№ 3. Найти расстояние от точки A до прямой a, если известно, что наклонная AF, длина которой равна c, образует с прямой a угол α.

kak nayti rasstoyanie ot tochki do pryamoyДано: A∉a,

Треугольник ABF — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). AB — катет, противолежащий углу ACB, AF — гипотенуза.

Что мы можем назвать расстоянием от точки до прямой? Точку \(А\) можно соединить с бесконечным множеством точек прямой. Который из отрезков называют расстоянием от этой точки до прямой?

Опустим перпендикуляр из точки \(A\) к прямой. Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра \(AN\).

Если перпендикуляр проведён к серединной точке отрезка, то его называют серединным перпендикуляром этого отрезка. На рисунке \(EC\) — серединный перпендикуляр отрезка \(AB\).

Расстояние \(EC\) от точки \(E\) является самым кратчайшим до отрезка \(AB\), а расстояния до точек \(A\) и \(B\) являются равными.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой прямойине являющийся перпендикуляром к прямой.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Расстояние между двумя точками – длина отрезка, соединяющего эти точки. Введём также следующие понятия:

1) расстояние от точки до прямой;

2) расстояние между параллельными прямыми.

Пусть отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М – любая точка прямой а, отличная от Н. Отрезок АМ называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы АМ. Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.

На рисунке расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см.

Прежде чем ввести понятие расстояния между параллельными прямыми, рассмотрим одно из важнейших свойств параллельных прямых.

Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые а и b. Отметим на прямой a точку A и проведём из этой точки перпендикуляр AB к прямой b. Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.

Проведём из точки Х перпендикуляр XY к прямой b. Так как XY‎ перпендикулярно b, то XY‎ перпендикулярно а. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (AY – общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых a и b секущей AY). Следовательно, XY = AB.

Итак, любая точка X прямой a находится на расстоянии AB от прямой b. Очевидно, что все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой a. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, все время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Замечание. Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство: по аксиоме параллельных прямых, через точку A проведем прямую b, b║a, тогда все точки b║a равноудаленыот точек прямой a. Докажем, что B, C∈ b.

Пусть B∉ b, C∉ b, значит, расстояние от точки B до a и C будет больше или меньше, чем расстояние h. Но это противоречит AA₁ = BB₁ = CC₁.

Следовательно, наше предположение неверно и A, B и С ∈ b || a, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой AC равно 12 см. Найти расстояние от точки A до прямой BC.

Объяснение: равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (значит, и с тремя равными углами, то есть – по 60°). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD – не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС – это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AC, то DH – данное расстояние. Рассмотрим треугольник AHD. В нём угол H = 90°, так как DH – перпендикуляр к AC (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла DAH = 30°, поэтому AD = 2 ∙ 12= 24см (по свойству).

Расстояние от точки А до прямой ВС – это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD⊥ BC, значит, AD = 24 см.

Выяснив, что же называют расстоянием между двумя точками, сначала вводим понятие расстояния от точки до прямой, а затем и понятие расстояния между параллельными прямыми.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми"

Расстоянием между двумя точками А и В является длина отрезка АВ, соединяющего эти точки.

При этом следует отметить, что точки А и В можно соединить и таким образом:

Но именно кратчайший путь, то есть отрезок АВ, является расстоянием между данными точками.

Возьмём некоторую прямую b и точку А, которая не лежит на этой прямой. Опустим перпендикуляр из точки А к прямой b:

Полученный отрезок АН и будет называться расстоянием от точки А до прямой, так как это кратчайшее расстояние между данными точкой и прямой.

Действительно так. Отметим точку В на прямой b и рассмотрим прямоугольный треугольник АНВ:

АВ - гипотенуза, а АН - катет этого треугольника. Известно, что катет всегда меньше гипотенузы.

Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки А к прямой b.

Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.,

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Обозначают следующим образом:

Пусть а и b - параллельные прямые. Отметим на прямой а две точки А и В и опустим из них перпендикуляры АМ и BN на прямую b:

Если прямая a||b, а отрезки AM⊥b, BN⊥b, то АМ=BN и равняется расстоянию между параллельными прямыми а и b.

Проведём отрезок АN и рассмотрим полученные треугольники АBN и АМN:

Так как AM⊥b, а a||b, то AM⊥a. То есть ВN⊥b, а a||b, то и ВN⊥a.

Получили, что АBN и АМN - прямоугольные треугольники. У них сторона АN - общая, она является гипотенузой для обоих треугольников. Углы ВАN и АNМ равны, так как являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых АВ и MN и секущей АN.

Следовательно, получаем, что прямоугольные треугольники АBN и АМN равны по гипотенузе и острому углу. Из этого следует, что АМ=ВN.

Получили, что отрезки АМ и BN равны.

Расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра.

Обозначают следующим образом:

Верно и обратное утверждение:

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от прямой и находящиеся на равном расстоянии от неё, лежат на прямой параллельной данной.

На рисунке отрезок АВ=6 см, ∠В=30 градусов. Найти расстояние от точки А до прямой а.

Опустим из точки А к прямой а перпендикуляр АС, который и есть расстояние от точки А до прямой а:

Получили прямоугольный треугольник АВС. У которого ∠В=30 градусов, АВ=6см.

Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Получаем:

На рисунке расстояние между параллельными прямыми а и b равно 5 сантиметров, а расстояние между параллельными прямыми а и с равно 9 сантиметров. Чему равно расстояние между параллельными прямыми b и с?

Читайте также: