Что называют боковыми ребрами пирамиды кратко

Обновлено: 04.07.2024

Ключевые слова: пирамида, многогранник, правильная пирамида, грань, объем, боковая поверхность

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник,
а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает ее на подобную пирамиду и усеченную пирамиду.

Коробка, кирпич, спичечный коробок, ящик, пакет молока или сока, платяной шкаф и т.д.

2. Из каких фигур состоит поверхность прямоугольного параллелепипеда?

Из шести прямоугольников.

3. Сколько граней имеет прямоугольный параллелепипед?

4. Сколько пар противолежащих граней имеет прямоугольный параллелепипед?

У прямоугольного параллелепипеда три паны противолежащих граней.

5. Каким свойством обладают противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда?

Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.

6. Как называют стороны граней прямоугольного параллелепипеда?

Стороны граней прямоугольного параллелепипеда называют рёбрами.

7. Как называют вершины граней прямоугольного параллелепипеда?

Вершины граней прямоугольного параллелепипеда называют вершинами.

8. Сколько вершин имеет прямоугольный параллелепипед?

Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин.

9. Сколько рёбер имеет прямоугольный параллелепипед?

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер.

10. Какое общее название имеют длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину?

11. Какие названия измерений прямоугольного параллелепипеда используют для их различия?

Длина, ширина, высота.

12. Какую фигуру называют кубом?

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны.

13. Из каких фигур состоит поверхность куба?

Из шести равных квадратов.

14. Из каких фигур состоит поверхность пирамиды?

Поверхность пирамиды состоит из боковых граней — треугольников, имеющих общую вершину, и основания.

15. Какую пирамиду называют треугольной? Четырёхугольной?

Треугольной пирамидой называют пирамиду, у основания которой три стороны, то есть основание является треугольником.

Четырехугольной пирамидой называют пирамиду, у основания которой четыре стороны, то есть основание является четырёхугольником.

16. Что называют вершиной пирамиды?

Вершиной пирамиды называют общую вершину боковых граней.

17. Что называют рёбрами основания пирамиды?

Стороны основания пирамиды называют рёбрами основания пирамиды.

18. Что называют боковыми рёбрами пирамиды?

Боковыми рёбрами пирамиды называют стороны боковых граней, не принадлежащие основанию.

Решаем устно

1. Вычислите:

13 • 4 • 25 = 13 • (4 • 25) = 13 • 100 = 1 300
4 • 5 • 78 • 5 = (4 • 5) • 78 • 5 = (20 • 5) • 78 = 100 • 78 = 7 800
125 • 943 • 8 = (125 • 8) • 943 = 1 000 • 943 = 943 000

2. Упростите выражение:

3a • 16b = 48 ab
4m •9n •5k = 180 mnk
7a •2b •50c •8d = 5600 abcd

3. Раскройте скобки:

2(a + b) = 2a + 2b
(3 — b) • 5 = 3 • 5 — b • 5 = 15 — 5b
6m(7n + 8p) = 6m • 7n + 6m • 8p = 42 mn + 48 mp

4. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 28 см², а одна из его сторон — 7 см.

1) 28 : 7 = 4 (см) — длина второй стороны прямоугольника.

2) (4 + 7) • 2 = 11 • 2 = 22 (см) — периметр прямоугольника.

Ответ: периметр равен 22 см.

5. В магазине разложили 6 ц яблок в ящики так, что в каждом ящике оказалось по 12 кг яблок. Сколько ящиков заполнили яблоками?

600 : 12 = 50 (ящиков) — заполнили яблоками.

Ответ: 50 ящиков.

6. Во сколько раз площадь квадрата, сторона которого равна 6 см, больше площади квадрата со стороной 2 см?

1) 6 • 6 = 36 (см²) — площадь квадрата со стороной 6 см.

2) 2 • 2 = 4 (см²) — площадь квадрата со стороной 2 см.

3) 36 : 2 = 18 (раз) — площадь квадрата со стороной 6 см больше площади квадрата со стороной 2 см.

Упражнения

598. На рисунке 169 изображён прямоугольный параллелепипед ABCDMNKP. Назовите:

1) грани, которым принадлежит вершина С — ABCD, NKCB, PKCD

2) рёбра, равные ребру ВС — AD, MP, NK

3) верхнюю грань — MNKP

4) вершины, принадлежащие нижней грани — A, B, C, D

5) грани, имеющие общее ребро AM — AMNB, AMPD

6) грань, равную грани DPKC — AMNB

599. Измерения прямоугольного параллелепипеда MNKPEFST (рис. 170) равны 9 см, 5 см и 6 см. Вычислите сумму длин всех его рёбер и площадь его поверхности.

В прямоугольном параллелепипеде MNKPEFST всего 12 рёбер:

рёбро EM = FN = SK = TP = 6 см
рёбро MP = ET = FS = NK = 9 см
рёбро PK = MN = EF = TS = 5 см

6 • 4 + 9 • 4 + 5 • 4 = 24 + 36 + 20 = 80 (см) — длина всех рёбер прямоугольного параллелепипеда MNKPEFST.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней:

площадь грани EFST = MNKP = 5 • 9 = 45 см²
площадь грани EFNM = TSKP = 6 • 5 = 30 см²
площадь грани ETPM = FSKN = 9 • 6 = 54 см²

45 • 2 + 30 • 2 + 54 • 2 = 90 + 60 + 108 = 258 (см²) — площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда MNKPEFST.

Ответ: длина всех рёбер 80 см, площадь поверхности 258 см².

600. Найдите сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 13 см, 16 см, 21 см.

В прямоугольном параллелепипеде MNKPEFST всего 12 рёбер:

рёбро EM = FN = SK = TP = 13 см
рёбро MP = ET = FS = NK = 21 см
рёбро PK = MN = EF = TS = 16 см

13 • 4 + 16 • 4 + 21 • 4 = 52 + 64 + 84 = 200 (см) — длина всех рёбер прямоугольного параллелепипеда MNKPEFST.

Ответ: длина всех рёбер 200 см.

601. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 9 м, 24 м, 11 м.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней:

площадь грани EFST = MNKP = 24 • 11 = 264 м²
площадь грани EFNM = TSKP = 9 • 11 = 99 м²
площадь грани ETPM = FSKN = 24 • 9 = 216 м²

264 • 2 + 99 • 2 + 216 • 2 = 528 + 198 + 432 = 1 158 (м²) — площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда MNKPEFST.

Ответ: площадь поверхности 1 158 м².

602. Вычислите площадь поверхности и сумму длин всех рёбер куба (рис. 171), ребро которого равно 5 см.

В кубе ABCDEFKL всего 12 рёбер и они все равны 5 см.

5 • 12 = 60 (см) — длина всех рёбер куба ABCDEFKL.

Поверхность куба состоит из 6 граней и они все равны 5 • 5 = 25 см²

25 • 6 = 150 (см²) — площадь поверхности куба ABCDEFKL.

Ответ: длина всех рёбер 60 см, площадь поверхности 150 см².

603. Найдите сумму длин всех рёбер и площадь поверхности куба, если его ребро равно 7 см.

В кубе ABCDEFKL всего 12 рёбер и они все равны 7 см.

7 • 12 = 84 (см) — длина всех рёбер куба ABCDEFKL.

Поверхность куба состоит из 6 граней и они все равны 7 • 7 = 49 см²

49 • 6 = 294 (см²) — площадь поверхности куба ABCDEFKL.

Ответ: длина всех рёбер 84 см, площадь поверхности 294 см².

604. На рисунке 172 изображена пирамида МАВС. Укажите:

1) основание пирамиды — ABC

2) вершину пирамиды — M

3) боковые грани пирамиды — AMB, AMC, BMC

4) боковые рёбра пирамиды — AM, BM, CM

5) рёбра основания пирамиды — AB, BC, AC

605. На рисунке 173 изображена пирамида SABCD. Укажите:

1) основание пирамиды — ABCD

2) вершину пирамиды — S

3) боковые грани пирамиды — ADS, DCS, CBS, ABS

4) боковые рёбра пирамиды — AS, BS, CS, DS

5) рёбра основания пирамиды — AB, BC, CD, DA

606. На рисунке 174 изображена развёртка прямоугольного параллелепипеда.

1) Из скольких прямоугольников состоит развёртка? — из 6 прямоугольников.

2) Сколько пар равных прямоугольников содержит развёртка? — 3-х пары равных прямоугольников.

3) Какова площадь этой развёртки, если измерения параллелепипеда равны 10 см, 7 см и 3 см?

S = (10 • 7) • 2 + (3 • 10) • 2 + (7 • 3) • 2 = 70 • 2 + 30 • 2 + 21 • 2 = 140 + 60 + 42 = 242 см²

607. Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, развёртка которого изображена на рисунке 175.

S = (6 • 4) • 2 + (6 • 2) • 2 + (4 • 2) • 2 = 24 • 2 + 12 • 2 + 8 • 2 = 48 + 24 + 16 = 88 см²

Ответ: площадь поверхности равна 88 см².

608. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 20 см, что на 5 см больше его ширины и в 3 раза меньше его длины. Вычислите площадь поверхности параллелепипеда.

1) 20 — 5 = 15 (см) — ширина прямоугольного параллелепипеда.

2) 20 • 3 = 60 (см) — длина прямоугольного параллелепипеда

3) (60 • 20) • 2 + (60 • 15) • 2 + (20 • 15) • 2 = 1 200 • 2 + 900 • 2 + 300 • 2 = 2 400 + 1 800 + 600 = 4 800 (см²) — площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: S = 4 800 см².

609. Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда равна 28 см. Найдите сумму длин трёх его рёбер, имеющих общую вершину.

В прямоугольном параллелепипеде всего 12 ребер. Причём:

4 ребра равны длине a — рёбра синего цвета
4 ребра равны ширине b — рёбра зелёного цвета
4 ребра равны ширине c — рёбра красного цвета

Мы знаем, что сумма длин всех рёбер этого прямоугольного параллелепипеда равна 28 см.

Значит, можно записать:

4a + 4b + 4с = 28
4 (a + b + с ) = 28
a + b + с = 28 : 4
a + b + с = 7 (см)

Так как рёбра a, b и с сходятся в общей вершине N, то искомая сумма длин трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину равна 7 см.

610. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхностей. Длина параллелепипеда равна 18 м, что в 2 раза больше, чем его ширина, и на 8 м больше, чем его высота. Найдите ребро куба.

1) 18 : 2 = 9 (м) — ширина параллелепипед.

2) 18 — 8 = 10 (м) — высота параллелепипеда.

3) (18 • 9) • 2 + (18 • 10) • 2 + (10 • 9) • 2 = 162 • 2 + 180 • 2 + 90 • 2 = 324 + 360 + 180 = 864 (м²) — площадь поверхности параллелограмма.

Значит площадь поверхности куба равна 864 м². Так как у куба всего 6 граней и все они одинаковы, то можно найти площадь грани куба.

4) 864 : 6 = 144 (м²) — площадь грани куба.

Для того, чтобы найти длину ребра куба, надо подобрать такое число, квадрат которого будет равняться числу 144. Это число 12 (12 • 12 = 144).

Значит длина ребра куба равна 12 м.

Ответ: 12 метров.

611. Брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 5 см и 6 см, покрасили со всех сторон и разрезали на кубики с ребром 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых:

1) окрашено три грани — 8 кубиков (фиолетовые), которые расположены по вершинам прямоугольного параллелепипеда.

2) окрашено две грани — 36 кубков (зелёные), которые расположены по рёбрам параллелепипеда, но не являются его вершинами (4 • 4 + 3 • 4 + 2 • 4 = 16 + 12 + 8 = 36):

по 4 кубика на 4 рёбрах длиной 6 см
по 3 кубика на 4 рёбрах длиной 5 см
по 2 кубика на 4 рёбрах длиной 4 см

3) окрашено одна грань — 52 кубика (жёлтые), которые не примыкают ни к вершинам, ни к рёбрам параллелепипеда (12 • 2 + 8 • 2 + 6 • 2 = 24 + 16 + 12 = 52):

4 • 3 = 12 кубиков на двух гранях размерами 6 см х 5 см
4 • 2 = 8 кубиков на двух гранях размерами 6 см х 4 см
3 • 2 = 6 кубиков на двух гранях размерами 5 см х 5 см

Упражнения для повторениях

1) За сколько минут он пролетал 960 км?

960 : 8 = 120 (с) — нужно кораблю для преодоления 960 км.

2) Какое расстояние он пролетал за 1 ч?

1 ч = 60 мин = 3 600 с

8 • 3 600 = 28 800 (км) — пролетает корабль за 1 час.

Ответ: 28 800 км.

613. Из листа картона можно вырезать шесть одинаковых квадратов. Сколько листов картона надо для того, чтобы вырезать 50 таких квадратов?

Значит нужно 8 + 1 = 9 листов.

614. Поезд отправился со станции в 16 ч со скоростью 54 км/ч. В 19 ч с этой же станции в противоположном направлении отправился второй поезд. В 24 ч расстояние между ними было равно 642 км. С какой скоростью двигался второй поезд?

1) 24 — 16 = 8 (часов) — двигался первый поезд.

2) 54 • 8 = 432 (км) — проехал первый поезд за 8 часов.

3) 24 — 19 = 5 (часов) — двигался второй поезд.

4) 642 — 432 = 210 (км) — проехал второй поезд за 5 часов.

5) 210 : 5 = 42 (км/ч) — скорость второго поезда.

615. Решите уравнение:

Задача от мудрой совы

616. Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, имея ещё несколько таких кирпичей? (Диагональ параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани.)

Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, полезный материал и многое другое.

18. Что называют боковыми рёбрами пирамиды?

Ответ

Боковыми рёбрами пирамиды называют стороны боковых граней, не принадлежащие основанию.

Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A₁A₂ . A_n , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .

Определение 1. Пирамидой ( n - угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 1) .

Точку S называют вершиной пирамиды.

Точки A₁ , A₂ , . , A_n , S часто называют просто вершинами пирамиды.

Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.

Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.

Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

Доказательство. Заметим, что у n - угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n - угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.

то теорема Эйлера доказана.

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Замечание 2. Если центр основания A₁A₂ . A_n правильной пирамиды SA₁A₂ . A_n обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .

Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой .

На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SA_nA_n-1 и отрезок SC – апофема грани SA₂A₁ .

Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.

Свойства правильной пирамиды:

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

У любой правильной пирамиды все апофемы равны.

Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS . Обозначим буквой D середину ребра AC . Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC , то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS , что и требовалось доказать.

Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC . Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

Введем следующие обозначения

V	объем пирамиды
S_бок	площадь боковой поверхности пирамиды
S_полн	площадь полной поверхности пирамиды
S_осн	площадь основания пирамиды
P_осн	периметр основания пирамиды

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды :

Читайте также: