Чему равен наименьший общий знаменатель двух дробей ответ на вопрос кратко

Обновлено: 08.07.2024

Калькулятор приводит несколько дробей к общему знаменателю. Просто введите дроби и получите подробное решение и ответ. Можно вводить две, три дроби и более. Числители и знаменатели дробей должны быть натуральными числами.

Как привести дроби к общему знаменателю?

Чтобы выполнить с дробями такие операции, как сравнение, сложение и вычитание, дроби нужно привести к общему знаменателю.

Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Пусть оно равно .
Числитель и знаменатель первой дроби умножить на число
Числитель и знаменатель второй дроби умножить на число

Пример. Привести к общему знаменателю дроби и

Решение. Находим наименьшее общее кратное знаменателей дробей. НОК(12, 8) = 24. Это число и будет новым знаменателем.

Чтобы знаменатели обеих дробей стали равны 24, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 2 = 24:12, а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 24:8.

Приводим к общему знаменателю первую дробь:

Приводим к общему знаменателю вторую дробь:

Общий знаменатель трёх дробей

Если к общему знаменателю требуется привести три дроби и более, то алгоритм действий в таком случае аналогичен алгоритму для двух дробей.

Находим наименьшее число , которое делится на знаменатели всех дробей (наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей). Найденное число будет новым знаменателем.
Домножаем числитель и знаменатель каждой дроби на частное

Чтобы разобраться лучше, рассмотрим пример.

Пример. Привести к общему знаменателю три дроби и

Решение. Сначала найдём наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Число 12 делится на знаменатели всех дробей, и это наименьшее такое число. Поэтому НОК(3, 4, 6) = 12. Число 12 будет новым знаменателем.

Чтобы знаменатели дробей стали равны 12, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 4 = 12:3, числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 12:4, а числитель и знаменатель третьей дроби — на 2 = 12:6.

Приводим дроби к общему знаменателю и получаем:

Всё — дроби приведены! Пожалуй, самая большая сложность — правильно найти (или угадать) число, которое будет новым знаменателем.

Знаменателем арифметической дроби a / b называют число b, показывающее размеры долей единицы, из которых составлена дробь. Знаменателем алгебраической дроби A / B называют алгебраическое выражение B. Для выполнения арифметических действий с дробями их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю.

Рассмотрим приведение к наименьшему общему знаменателю двух арифметических дробей n/m и s/t, где n, m, s, t – целые числа. Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся на m и на t. Но обычно стараются привести к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей m и t данных дробей. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел – это наименьшее положительное число, делящееся одновременно на все заданные числа. Т. е. в нашем случае необходимо найти наименьшее общее кратное чисел m и t. Обозначается как НОК (m, t). Далее дроби умножаются на соответствующие множители: (n/m) * (НОК (m, t) / m), (s/t) * (НОК (m, t) / t).

Приведем пример нахождения наименьшего общего знаменателя трех дробей: 4/5, 7/8, 11/14. Для начала разложим знаменатели 5, 8, 14 на множители: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Далее вычисляем НОК (5, 8, 14), перемножая все числа, входящие хотя бы в одно из разложений. НОК (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Заметим, что если множитель встречается в разложении нескольких чисел (множитель 2 в разложении знаменателей 8 и 14), то берем множитель в большей степени (2^3 в нашем случае) .

Итак, наименьший общий знаменатель дробей получен. Он равен 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Здесь мы получаем числа, на которые надо умножить дроби с соответствующими знаменателями, чтобы привести их к наименьшему общему знаменателю. Получаем 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Приведение к наименьшему общему знаменателю алгебраических дробей выполняется по аналогии с арифметическими дробями. Для наглядности рассмотрим задачу на примере. Пусть даны две дроби (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) и (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Разложим на множители оба знаменателя. Заметим, что знаменатель первой дроби представляет собой полный квадрат: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Для разложения второго знаменателя на множители необходимо применить метод группировки: 3 * y^2 + 4 * y + 1 = (3 * y + 1) * y + 3 * y + 1 = (3 * y + 1) * (y + 1).

Таким образом наименьший общий знаменатель равен (y + 1) * (3 * y + 1)^2. Умножаем первую дробь на многочлен y + 1, а вторую дробь на многочлен 3 * y + 1. Получаем дроби, приведенные к наименьшему общему знаменателю:

2 * x * (y + 1) / (y + 1) * (3 * y + 1)^2 и (x^2 + 1) * (3 * y + 1) / (y + 1) * (3 * y + 1)^2.

После разложения чисел или многочленов на множители выполните проверку – посчитайте произведение всех множителей и убедитесь, что получились первоначальные значения.

Общим знаменателем двух дробей является общее кратное их знаменателей.

2. Чему равен наименьший общий знаменатель двух дробей?

Наименьший общий знаменатель двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

3. Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?

Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей.
Найти дополнительные множители для каждой из дробей, а для этого надо найденный наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель данных дробей.
Умножить на найденный дополнительный множитель числитель и знаменатель каждой из дробей.

4. Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Решаем устно

1. Андрей тратит на путь от дома до школы 24 мин. Какую часть пути он проходит:

за 6 мин

За 6 минут Андрей проходит часть пути.

за 12 мин

За 12 минут Андрей проходит часть пути.

за 9 мин

За 9 минут Андрей проходит часть пути.

за 16 мин

За 16 минут Андрей проходит часть пути.

2. Сократите дроби:

3. Назовите какие-либо три дроби, каждая из которых равна .

4. Среди следующих равенств укажите неверные:

1) — верно, так как

2) — неверно, так как

3) — неверно, так как

4) — верно, так как

Упражнения

236. Приведите дроби:

1) к знаменателю 20

2) к знаменателю 36

3) к знаменателю 64

4) к знаменателю 100

237. Приведите дробь:

1) к знаменателю 27

2) к знаменателю 40

3) к знаменателю 78

4) к знаменателю 102

5) к знаменателю 69

6) к знаменателю 144

238. Среди дробей найдите те, которые можно привести к знаменателю 48. Найденные дроби приведите к указанному знаменателю.

К знаменателю 48 можно привести дроби: :

239. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

240. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

241. Сравните дроби:

242. Сравните дроби:

243. Укажите какую-либо дробь, которая меньше и знаменатель которой равен:

1) 6 — такому условию подходят дроби: и , так как .

2) 10 — такому условию подходят дроби: и , так как .

3) 22 — такому условию подходят дроби: и , так как .

244. Укажите какую-либо дробь, которая больше и знаменатель которой равен:

1) 12 — такому условию подходят дроби: , так как .

2) 30 — такому условию подходят дроби: , так как .

3) 66 — такому условию подходят дроби: , так как .

245. Расположите в порядке возрастания числа:

Приведём все дроби к общему знаменателю 24:

Теперь сравним дроби и расположим их в порядке возрастания: .

Значит исходные дроби надо расположить в следующем порядке: .

Приведём все дроби к общему знаменателю 60:

Теперь сравним дроби и расположим их в порядке возрастания: .

Значит исходные дроби надо расположить в следующем порядке: .

246. Расположите в порядке убывания числа:

Приведём все дроби к общему знаменателю 36:

Теперь сравним дроби и расположим их в порядке убывания: .

Значит исходные дроби надо расположить в следующем порядке: .

Приведём все дроби к общему знаменателю 90:

Теперь сравним дроби и расположим их в порядке убывания: .

Значит исходные дроби надо расположить в следующем порядке: .

247. Лакомка съедает 7 пирожных за 12 мин, а Сладкоежка — 13 пирожных за 20 мин. У кого аппетит лучше — у Лакомки или у Сладкоежки?

1) 7 : 12 = (шт/мин) — скорость поедания пирожных Лакомки.

2) 13 : 20 = (шт/мин) — скорость поедания пирожных Сладкоежки.

3) — значит Сладкоежка съедает за 1 минуту больше пирожных, чем Лакомка.

Ответ: аппетит лучше у Сладкоежки.

248. Головку сыра массой 9 кг разделили на 16 равных кусков, а головку массой 13 кг — на 20 равных кусков. Кусок какой головки сыра, первой или второй, вы посоветуете съесть мышонку Джерри, который очень его любит?

1) 9 : 16 = (кг) — масса куска от первой головки сыра.

2) 13 : 20 = (кг) — масса куска от второй головки сыра.

3) — значит кусок от второй головки сыра больше, чем кусок от первой головки сыра.

Ответ: Мышонку Джерри лучше выбрать кусок от второй головки сыра.

249. Расстояние между двумя городами легковой автомобиль преодолевает за 4 ч, а грузовой — за 7 ч. Какой автомобиль проедет большее расстояние: легковой за 3 ч или грузовой за 5 ч?

1) 3 : 4 = (часть) — пути проедет легковой автомобиль.

2) 5 : 7 = (часть) — пути проедет грузовой автомобиль.

3) — значит легковой автомобиль проедет большее расстояние.

Ответ: Легковой автомобиль.

250. Теплоход проходит расстояние между двумя пристанями за 9 ч, а катер — за 6 ч. Сравните расстояния: пройденное теплоходом за 7 ч и пройденное катером за 5 ч.

1) 7 : 9 = (часть) — пути пройдет теплоход.

2) 5 : 6 = (часть) — пути пройдет катер.

3) — значит теплоход пройдёт меньшее расстояние, чем катер.

Ответ: Теплоход пройдёт меньшее расстояние, чем катер.

251. Какие из дробей больше дроби ?

Приведём и к общему знаменателю 14: , значит

Приведём и к общему знаменателю 28: , значит

Приведём и к общему знаменателю 14: , значит

Приведём и к общему знаменателю 42: , значит

Приведём и к общему знаменателю 70: , значит

252. Какие из дробей меньше дроби ?

Приведём и к общему знаменателю 112: , значит

Приведём и к общему знаменателю 56: , значит

253. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

Так как 1 = , то неравенство можно записать: .

Знаменатели у сравниваемых дробей равны, значит надо найти такие натуральные числители x, при которых выполняется неравенство: .

Этому условию удовлетворяют х = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18.

Приведём дроби к общему знаменателю 18:

Значит неравенство можно записать: .

Этому условию удовлетворяют х = 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и 14.

254. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

Так как 1 = , то неравенство можно записать: .

Этому условию удовлетворяют х = 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 и 22.

Приведём дроби к общему знаменателю 36:

Значит неравенство можно записать: .

Этому условию удовлетворяют х = 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32.

255. Какие из дробей можно поставить вместо х, чтобы было верно неравенство ?

Приведём дроби у общему знаменателю 48:

Знаменатели у сравниваемых дробей равны, значит надо выбрать такие дроби со знаменателем 48, числители которых больше 11 и меньше 29.

Этому условию удовлетворяют дроби: .

Значит вместо в заданном неравенстве вместо х можно поставить дроби: .

256. Какие из дробей можно поставить вместо х, чтобы было верно неравенство ?

Приведём дроби у общему знаменателю 56:

Знаменатели у сравниваемых дробей равны, значит надо выбрать такие дроби со знаменателем 56, числители которых больше 19 и меньше 37.

Этому условию удовлетворяют дроби: .

Значит вместо в заданном неравенстве вместо х можно поставить дроби: .

257. Найдите все дроби со знаменателем 48, которые больше , но меньше .

Приведём дроби и у общему знаменателю 48:

Значит искомые дроби должны удовлетворять неравенству: .

Этому условию удовлетворяют дроби: .

258. Укажите два числа, каждое из которых:

1) больше , но меньше

Приведём дроби к знаменателю 21: