В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов

Обновлено: 08.07.2024

Предположим, что мы ищем наименьшее значение некоторой величины A. Действуем в два этапа.

1) Оценка. Показываем, что выполнено неравенство

2) Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство

Сейчас покажем, как этот метод применяется в задачах. Начнем с задачи простой и умилительной. Поговорим о кроликах.

(ЕГЭ) В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 граммов, второй – по 200 г, третий – по 300 г., а четвертый – по 400 г.

а) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?

б) Может ли оказаться, что кроликов было 15 и все они получили различное количество корма?

в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма?

а) Да, может. Например, первый и четвертый ученики кормят семь кроликов. Каждый из этих семи кроликов получает по 100 + 400 = 500 г корма. Второй и третий ученики кормят восьмерых оставшихся кроликов, которые также получат по 200 + 300 = 500 г корма.

Поскольку кроликов 15, а возможных значений только 11, среди этих пятнадцати найдутся кролики, получившие одинаковое количество корма.

в) Если каждый ученик насыпал корм четверым кроликам, то всего ученики раздали кроликам

4∙(100 + 200 + 300 + 400) = 4000 г. корма.

В пункте (б) мы выяснили, что всего может быть 11 различных значений для количества корма, которое получил кролик. Но если 11 кроликов получают различное количество корма, то общее количество корма равно 0 + 100 + 200 +…+ 1000 = 5500 грамм. Это на 1500 граммов больше, чем 4000 граммов.

Значит, накормить 11 кроликов, соблюдая все условия пункта (в), школьники не смогут.

Вариант с 10 кроликами также невозможен: даже если среди кроликов не будет того, который получил 1000 г, все равно не хватает 500 г корма.

Получается, что число кроликов не больше, чем 9. Мы оценили количество кроликов. Приведем пример, когда кроликов именно 9.

0	100	200	300	400
1 ученик 100г	+	+	+	+
2 ученик 200 г	+	+	+	+
3 ученик 300 г	+	+	+	+
4 ученик 400 г	+	+	+	+

Варианты 1000 г и 500 г отсутствуют. Все условия задачи выполнены – каждый ученик покормил 4 кроликов, и все кролики получили различное количество корма.

Сначала мы доказали, что число кроликов не больше 9.

После этого привели пример, когда кроликов ровно 9.

2. На доске написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равно 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Пусть на доске были написаны числа – всего 30 чисел, причем
.

Вместо каждого из чисел написали число .

Заметим, что если , то

Пусть на доске было k чисел, не равных 5, и 30 - k пятерок.

Поскольку среднее арифметическое 30 чисел равно их сумме, деленной на 30, сумма 30 чисел на доске равна 30 ∙ 11=330.

Пусть S – сумма k чисел, не равных 5. Тогда
, отсюда .

Пусть m – среднее арифметическое k чисел, которые остались на доске после того, как стерли числа меньшие трёх.

После того, как k чисел были уменьшены в 2 раза, их сумма стала равна , а их среднее арифметическое .

Читайте также: