Соответствия и отношения в школьной математике

Обновлено: 05.07.2024

Математические понятия Понятия, их объём и содержание. Отношение рода и вида между понятиями. Явные и неявные определения понятий. Алгоритм решения задачи на распознавание с использованием определения через род и видовое отличие. Примеры явных и неявных определений понятий.

Понятия, их объём и содержание Понятия, связанные с числами и операциями над ними: число; сложение; слагаемое; больше. Алгебраические понятия: выражение; уравнение; равенство. Геометрические понятия: отрезок; прямая; треугольник. Величины и их измерение: сантиметр; метр; километр.

Объём понятия - это множество всех объектов, обозначаемых одним термином. - это множество всех существенных свойств объекта, отражённых в этом понятии. Содержание понятия

Взаимосвязь Объём понятия Содержание понятия

Отношения рода и вида между понятиями Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объёмами, т.е. множествами. ! Если А с В (А=/ В), то а – видовое по отношению к понятию b , а понятие b – родовое по отношению к понятию а. Если А=В, то понятия а и b тождественны. Если множества А и В не связаны отношением включения, понятия а и b не находятся в отношении рода и вида и не тождественны.

Свойства: 1) Понятия рода и вида относительны. 2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. 3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия.

Явные и неявные определения понятий Определяемое понятие Родовое понятие Видовое отличие Определяющее понятие + Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). !

Запомни. 3. Определение должно быть ясным 2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга 4. Одно и то же понятие можно определить по-разному. 1. Определение должно быть соразмерным

Алгоритм: Назвать определяемое понятие (термин). 2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие. 3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объёма родового, т.е. сформулировать видовое отличие. 4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т. д.)

неявные определения контекстуальные остенсивные Содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Это определение путём показа. Они используются для введения терминов, путём демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.

2*7 >2*6 – это неравенство 17-5=8+4 – это равенство Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства: Действительно, определение посредством показа не выделяет числовые равенства (неравенства) из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Они только связывают термины с определяемыми объектами.

Геометрические фигуры Определение отрезка, луча, угла, ломаной линии. Основные свойства этих фигур. Содержание данных понятий в начальном обучении математике; виды определений. Примеры заданий.

Определение отрезка, луча, угла, ломаной линии Отрезок это прямая проходящая через две точки. - это система двух точек А и В, принадлежащих прямой а. Точки, расположенные между А и В, называются точками, лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В называются концами отрезка АВ. - А В - это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти точки называются концами отрезка .

Основное свойство: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Для того, чтобы провести прямую достаточно две точки.

Луч - - это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца. - Луч ограничен с одной стороны и может быть продолжен по прямой только в одну сторону как угодно далеко. - Луч с началом О – это совокупность всех точек прямой, лежащих с одной стороны от О.

О Луч – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой луча.

Угол это фигура, образованная двумя лучами с одним и тем же началом. А В Лучи, образующие угол, называются сторонами угла , а их общее начало – вершиной угла . Острым углом называется угол, который меньше прямого. Тупым углом называется угол, который больше прямого. Прямой угол равен 90 это совокупность двух лучей с общим началом, лежащих на разных прямых. - - С

Основные свойства: Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Ломаная линия - В А С D E Ломаная линия ABCDEG . Точки A,B,C,D,E,G – вершины ломаной . Отрезки АВ, BC,CD,DE,EG – звенья ломаной . G это фигура, которая состоит из точек А1, А2,……А n и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3,…..А n А n .

Основное свойство: Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы. Длиной ломаной называется сумма длин её звеньев.

Примеры заданий Назовите ту ломаную, у которой больше всего звеньев? Меньше звеньев? Какая ломаная имеет 3 вершины? 4 вершины? Как узнать, какой отрезок больше?

Как можно построить прямой угол на нелинованной бумаге? Как с помощью всего лишь двух отрезков сделать 4 прямых угла? А теперь 2 острых и 2 тупых?

Прямоугольник четырехугольник, у которого все углы прямые. - - это параллелограмм, у которого все углы прямые. В А С D

Диагонали прямоугольника равны Противоположные стороны равны Стороны не пересекаются Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Квадрат - - - - это прямоугольник, у которого соседние стороны равны. это прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и равны. это ромб, у которого есть прямой угол. это параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые. В А С D

Проведя диагонали, получим равные треугольники. Диагонали равны. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Стороны не пересекаются. Диагонали пересекаются под прямым углом.

Примеры заданий Является ли эта фигура прямоугольником? Почему? Как переложить палочки так, чтобы получилось 3 одинаковых квадрата? Какая фигура имеет большую площадь? Почему? Выполните вычисления.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Формирование элементарных математических понятий младшего школьника

Формирование элементарных математических понятий младшего школьника.

Статья посвящена математическим играм – одной из разновидностей дидактических игр. Описана методика работы с математическими играми.

Статья на тему: "Использование аналогии при изучении математических понятий в начальных классах"

Математика в жизни человека занимает особое место. Мы настолько срослись с ней, что попросту не замечаем её. А ведь с математики начинается всё. Ребёнок только родился, а первые цифры в его жизни уже .

Описание методики введения понятий "длина", "измерение длины" в первом классе УМК "Школа России". Алгоритм подготовки учителя к уроку. Упражнения по развитию приёма классификации на примере изучения т.

Курс для дошкольников по математике "Формирование математических понятий"

Кроссворд-презентация "Математические понятия" (3 класс).

Кроссворд составлен на основе арифметических, алгебраических и геометрических знаний для учащихся 3 классов. Если задание сложное, можно взять подсказку. При составлении кроссворда использовался учебн.

Тест по математическим понятиям

Тест по математике для 3 класса по программе "Школа 21 века". Авторы учебника Минаева С.С., Рослова Л.О, Рыдзе О.А.. Тест направлен на проверку знаний по основным математическим понятиям.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Отношения и соответствия План: Отношения между элементами одного множества. Понятие отношения, способы задания. Свойства отношений. Отношение эквивалентности и порядка. Соответствие между элементами двух множеств. Понятие соответствия, способы задания. Взаимно однозначные соответствия. Задания для самостоятельной работы. Вопросы для самоконтроля.

Данное соответствие взаимно однозначное, т.к. каждому соответствует единственный

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

Сейчас обучается 353 человека из 64 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 186 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

20.05.2016 2258
PPTX 1.6 мбайт
41 скачивание
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Калугина Татьяна Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Соответствия между элементами двух множеств
Соответствием между элементами множеств
Х и У называется всякое подмножество
декартова произведения этих множеств.
S
Х У
Соответствия
обозначаются
Р, S, Т и др.
буквами
Если S – соответствие
между множествами Х
и У, то S Х У.

4) Графики:
9
7
6
5
4
3
О
3 4 5 6 7
9
х
Графики
взаимно
обратных
соответствий
симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го
координатных углов (прямой у = х).

Пусть S – соответствие между элементами множеств Х
и У. Соответствие S между элементами множеств Х и
У называется противоположным данному, если оно
является дополнением множества S до множества Х У
Х У
S
S

Если каждому элементу множества Х
ставится в соответствие единственный
элемент множества У и каждый элемент
множества У соответствует только одному
элементу множества Х, то такое соответствие
называют
взаимно
однозначным
соответствием между множествами Х и У
(или взаимно однозначным отображением
Х на У).

Примеры:
1) Х – множество углов треугольника,
У – множество его сторон.
Соответствие, при котором углу сопоставляется
противолежащая ему сторона, будет взаимно
однозначным.
2) Х – множество действительных чисел,
У – множество точек координатной прямой.
Соответствие, при котором действительному
числу сопоставляется точка координатной прямой
- взаимно однозначное.

Если между элементами множеств Х и У
можно установить взаимно однозначное
соответствие, то множества Х и У называют
равномощными. Пишут Х У.
Равномощными могут быть как конечные, так
и бесконечные множества. Равномощные
конечные
множества
называют
еще
равночисленными.

Бинарным отношением на множестве Х
называется всякое подмножество декартова
произведения Х Х.
Отношения обозначают заглавными буквами
латинского алфавита: R, S, Т, Р и др.
Если R – отношение на множестве Х, то
R Х Х.

Основные знания, умения и навыки, которыми должны овладеть студенты в процессе изучения этой темы:

· знать свойства соответствий и отношений, уметь их определять и приводить конкретные примеры;

· знать основные типы соответствий и отношений.

Основные понятия темы: соответствие, отношение.

Пусть даны два произвольных множества A и B.

О п р е д е л е н и е 1. Декартовым (прямым) произведением множеств А и В называют множество, состоящее из всех упорядоченных пар вида , где и .

Символически это множество записывают так:

П р и м е р 1: Если А=, а В=, то

Видим, что в общем случае .

Пусть даны два произвольных множества X, Y.

Тройка множеств , где , будем называть бинарным соответствием между множеством X и Y, множество A ― его графиком, множество X ― областью отправления, Y ― областью прибытия.

Если , то говорят, что элемент x находится с элементом y в соответствии f и пишут x f y, то есть .

З а м е ч а н и е: Часто понятие бинарного соответствия определяют как любое подмножество А множества , то есть отождествляют его с графиком соответствия.

Множество называют областью определения соответствия f.

Множество называют областью значения соответствия f.

П р и м е р 1. Пусть , . Тогда тройка множеств , где и будет задавать соответствие между множествами R и R, графиком которого будет парабола. D(f)=R, E(f)=R + . .

П р и м е р 2: Пусть , . . , . График этого соответствия представляет собой полуплоскость.

Множество называют полным образом элемента x при соответствии f.

Множество называют полным прообразом элемента у при соответствии f.

Из определения и следует, что
.

1. Областью отправления этого соответствия будет множество всех студентов в аудитории;

2. Областью определения ― множество студентов, которые сидят за столами;

3. Областью прибытия ― множество столов в аудитории.

4. Областью значений ― множество столов, за которыми сидит хотя бы один студент;

6. Полным прообразом студента х будет стол, за которым он сидит;

7. Полным прообразом стола у будут все студенты, которые за ним сидят.

Этот рисунок задает соответствие между множествами:

График этого соответствия . , , , , , , , .

Из рассмотренных выше примеров видно, что соответствие может быть задано:

а) путем указания подмножества (графически);

б) аналитически; х f у у = f (х);

в) с помощью графов или таблиц.

Графом называют множество точек, некоторые пары из которых соединены линиями с направлениями (см. пример 4).

Операции над соответствиями

Понятие бинарного соответствия тесно связано с понятием двухместного предиката. Если Р(х,у) ― двухместный предикат, в котором переменная х пробегает множество X, переменная у ― множество У, а Т ― множество истинности этого предиката, то тройка множеств будет задавать соответствие между X и У.

Связь между понятиями двухместного предиката и бинарного соответствия та же, что и между характеристическим свойством (одноместным предикатом) и множеством. Эта связь позволяет перенести на соответствия все понятия, рассмотренные в предыдущем параграфе для предикатов.

Например, для соответствия «х f у ⇔ х -1 x x f у, иначе ― пара принадлежит графику соответствия f -1 тогда и только тогда, когда пара .

Можно сказать, что граф соответствия f -1 получается из графа соответствия f изменением направления всех стрелок.

Определим операцию композиции двух соответствий , :

Обозначим через С график композиции соответствий f и g.

Читайте также: