Приходя в школу вася здоровается со всеми одноклассниками кроме разумеется самого себя
Обновлено: 08.07.2024
On the buttons above you can buy the book in official online stores Labirint, Ozon and others. Also you can search related and similar materials on other sites.
Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике 2016 года, Кохась К., Берлов С.Л., Власова Н., Храбров А., 2017.
Примеры.
Расставьте в клетках указанной фигурки числа от 5 до 14 так. чтобы суммы чисел во всех доминошках были разными (доминошка — это прямоугольник. состоящий из двух клеток, соседних по стороне).
Приходя в школу, Вася здоровается со всеми одноклассниками (кроме, разумеется, самого себя). К началу уроков Вася не успел поздороваться ровно с одной четвертью от общего числа учеников своего класса, в том числе с Колей. А Коля к этому времени поздоровался ровно с одной седьмой из тех одноклассников, с которыми поздоровался Вася. Какое наименьшее число учеников может быть в классе? Не забудьте обосновать ответ.
Надя задумала число n, делящееся на 500, и выписала на доску все его натуральные делители, кроме самого числа n. Докажите, что сумма нечетных чисел на доске меньше, чем сумма четных.
Дети в классе угощали друг друга конфетами. Каждый мальчик дал по конфете всем, кто выше сто, а каждая девочка — всем, кто ниже ее (все дети разного роста). Оказалось, что Саша, Женя и Валя получили поровну конфет, а все остальные — меньше, чем они. Докажите, что кто-то из этих троих - девочка.
Приходя в школу, Вася здоровается со всеми одноклассниками
(кроме, разумеется, самого себя). К началу уроков Вася не успел
поздороваться ровно с одной четвертью от общего числа учени-
ков своего класса, в том числе с Колей. А Коля к этому времени
поздоровался ровно с одной седьмой из тех одноклассников, с
которыми поздоровался Вася. Какое наименьшее число учени-
ков может быть в классе?
Вася поздоровался с х учениками, тогда всего их 4х, а х должен делиться на 7. 28
OneKnownAsNeo Мыслитель (7995) Нус, как правильно.
Пусть всего N человек.
1) Вася поздоровался с N/4, следовательно, не поздоровался с (3/4)N - 1 (отняли самого Васю). Очедвино, N делится на 4. Пусть N = 4n.
2) Петя поздоровался с ((3/4)N - 1) / 7 = (3n - 1) / 7.
Дальше, думаю, додумаете.
Это задача на нестандартное мышление? Недавно сдавал ЕГЭ, там такого не было)))
1 I тур. 6 класс. 1. Расставьте в клетках указанной фигурки числа от 5 до 14 так, чтобы суммы чисел во всех доминошках были разными (доминошка это прямоугольник, состоящий из двух клеток, соседних по стороне). (А. Чухнов) 2. Приходя в школу, Вася здоровается со всеми одноклассниками (кроме, разумеется, самого себя). К началу уроков Вася не успел поздороваться ровно с одной четвертью от общего числа учеников своего класса, в том числе, с Колей. А Коля к этому времени поздоровался ровно с одной седьмой из тех одноклассников, с которыми поздоровался Вася. Какое наименьшее число учеников может быть в классе? Не забудьте обосновать ответ. 3. Надя задумала числоn, делящееся на 500, и выписала на доску все его натуральные делители, кроме самого числа n. Докажите, что сумма нечетных чисел на доске меньше, чем сумма четных. (А. Голованов) 4. Дети в классе угощали друг друга конфетами. Каждый мальчик дал по конфете всем, кто выше его, а каждая девочка всем, кто ниже ее (все дети разного роста). Оказалось, что Саша, Женя и Валя получили поровну конфет, а все остальные меньше, чем они. Докажите, что ктото из этих троих девочка. (О. Иванова)
3 I тур. 8 класс. 1. Вдоль кругового шоссе построено 30 домов высотой 1, 2, 3. 30 этажей (ровно по одному дому каждой высоты). Назовем дом интересным, если он выше одного из соседних с ним домов, но ниже другого. Оказалось, что среди этих домов ровно 10 интересных. Докажите, что суммарная высота интересных домов не может быть равна 64 этажам. (В. Самойлов) 2. На доске написано 10 последовательных целых чисел (среди них могут быть и отрицательные). Школьнику, указавшему число, после вычёркивания которого сумма оставшихся девяти чисел на доске является квадратом целого числа, Мария Ивановна ставит пятёрку (если это число еще не было никем названо ранее). Какое наибольшее количество пятёрок могли получить ученики Марии Ивановны? Не забудьте объяснить, почему невозможно получить большее количество пятёрок. (А. Голованов) 3. Районную олимпиаду писало 9000 школьников. Каждый из них получил оценку от 0 до 15 баллов. При занесении в компьютер оценки 12, 13 или 14 баллов были заменены на 15 баллов, а оценки 1, 2 или 3 балла на 0 баллов (остальные оценки не менялись). В результате средний балл всех участников уменьшился на 0,1 балла. Докажите, что до исправления можно было указать две такие оценки a и b, что число школьников с оценкой a баллов и число школьников с оценкой b баллов отличались не менее чем на 150. (А. Кузнецов) 4. Точки P и Q лежат в выпуклом четырехугольнике ABCD, в котором две наибольшие стороны противоположны и равны. Для каждой из этих двух точек посчитали сумму расстояний до вершин четырехугольника. Докажите, что эти суммы отличаются не больше чем в 2 раза. 5. В школе учится 100 мальчиков и 100 девочек. Каждая девочка знакома хотя бы с одним мальчиком, а каждый мальчик хотя бы с одной девочкой. Однажды каждая девочка сказала: Среди знакомых мне мальчиков не менее двух третей двоечники, а каждый мальчик сказал: Среди знакомых мне девочек не менее половины троечницы. Известно, что все дети сказали правду, но при этом в школе всего 10 мальчиков двоечники. Какое наименьшее число девочек может быть троечницами?
4 I тур. 9 класс. 1. Можно ли так разбить целые числа от 0 до 301 на пары, числа в парах сложить, и эти суммы перемножить, чтобы полученное произведение оказалось 15-й степенью натурального числа? (А. Храбров) 2. В городе Глупове 6000 школьников писали Единый Глуповский Экзамен, за который можно было получить от 0 до 8 баллов. После проверки всем участникам, набравшим 1, 2 или 3 балла, результат был исправлен на 0 баллов, а всем, у кого было 5, 6 или 7 баллов, поставили 8 баллов (остальные результаты не исправлялись). В результате этих махинаций средний балл всех участников вырос на 0,1 балла. Докажите, что существуют такие целые числа a и b (0 a, b 8), что количество школьников, у которых до махинаций был результат a баллов, и количество школьников, имевших до махинаций результат b баллов, отличаются не меньше чем на 100. (А. Кузнецов) 3. В ряд выписано несколько нулей и единиц. Среди любых 200 цифр подряд нулей и единиц поровну, а среди любых 202 цифр подряд не поровну. Какое наибольшее количество цифр может располагаться в этом ряду? 4. Квадратный трехчлен 2ax 2 + bx + c с положительным старшим коэффициентом таков, что каждая из прямых y = ax+b, y = bx+c, y = ax+c, y = bx+a, y = cx+b, y = cx+a пересекает его график не более чем в одной точке. Какое максимальное значение может принимать величина c/a? 5. В треугольнике ABC продолжения медиан из вершин A и B пересекают описанную окружность в точках A 1 и B 1 соответственно. На стороне AC выбрана точка P, а на стороне BC точка Q так, что AP = 2PC, BQ = 2QC. Докажите, что APB 1 = BQA 1. (А. Кузнецов)
6 I тур. 11 класс. 1. Уравнение ax+ c = b, в котором коэффициенты a, b и c отличны x от нуля, имеет решение. Докажите, что тогда имеет решение и одно из уравнений ax+ c = b+1 и ax+ c = b 1. (А. Голованов) x x 2. По кругу расставили числа от 1 до 40. Число называется хорошим, если оно делится на число, стоящее справа от него. Какое наибольшее количество чисел могут оказаться хорошими? 3. Биссектриса угла A равнобедренной трапеции ABCD пересекает основание BC в точке K. Описанная окружность треугольника AKD пересекает сторону AB в точке L. Докажите, что BL = KC. 4. Функция f при всех x, y R удовлетворяет неравенству f(x 2 +2y) f(x 2 +3y). Известно, что f(100) = 100. Найдите f(200). (А. Голованов) 5. На доске написаны два числа: 10 6 и Разрешается дописать на доску среднее арифметическое двух уже написанных чисел, если это число целое и ещё не было написано ранее. Сколько чисел можно таким образом написать?
Читайте также: