Перевод чисел и двоичная арифметика краткое содержание

Обновлено: 16.05.2024

Аннотация: Рассматривается двоичная система счисления как частный случай позиционной системы и основные правила двоичной арифметики.

Принцип представления чисел в позиционных системах счисления

Позиционной называется система счисления, в которой вес разряда числа определяется его позицией в записи числа [1].

Вспомним нашу привычную десятичную систему счисления, в которой мы с детства производим все расчеты. Уже в начальной школе мы привыкли к терминам "единицы", "десятки", "сотни", "тысячи", "десятые", "сотые", "тысячные" и не задумываемся над тем, что они означают вес разряда, выраженный в виде числа, равного " />
, где - целое число . Например, число 125, 46 можно представить в виде суммы:

$125,46 = 1\cdot 10^<2 > + 2\cdot 10^ + 5\cdot 10^ + 4\cdot 10^ + 6 \cdot 10 ^.$

сотни десятки единицы десятые доли сотые доли

в десятичной системе счисления можно представить в виде подобной суммы:

$Y_<10>= а_ \cdot 10^+ а_ \cdot 10^+ … +а_ \cdot 10^ + a_ \cdot 10^ + a_\cdot 10^ +…+ a_\cdot 10^ = \sum\limits_^> ,$

( 11.1)

где - количество знаков в целой части числа, - количество знаков в дробной части числа, " />
- вес -го разряда, " />
- весовой коэффициент для -го разряда числа. Количество возможных вариантов значения коэффициента " />
в десятичной системе счисления равно , поскольку для записи чисел в ней используются десять знаков - арабские цифры "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" и "9". Число является основанием системы счисления. Исторически сложилось, что десятичная система получила наибольшее распространение, хотя по этому принципу можно сделать аналогичную запись в любой другой системе счисления c любым другим основанием. В табл. 11.1 прослежива ется аналогия между позиционными системами счисления.

Основание системы счисления - это число, равное количеству знаков, которые используются в этой системе для записи чисел.

Для числа в системе счисления с основанием выражение (11.1) преобразуется к виду:

$Y_= а_ \cdot b^+ а_ \cdot b^+ … +а_ \cdot b^ + a_ \cdot b^ + a_\cdot b^ +…+ a_\cdot b^ =\sum\limits_^> .$

( 11.2)

С началом развития цифровой вычислительной техники большой интерес стала вызывать двоичная система, поскольку вычислительная машина любого поколения и любой степени сложности - это совокупность логических схем. Работа элементов этих схем основана на ключевом режиме работы транзистора, в котором он может быть только в двух состояниях, принимаемых за логический 0 и логическую 1.

Запись двоичного числа, как будет показано ниже, как правило, довольно длинна и громоздка, поэтому для более короткой записи двоичных чисел применяются восьмеричные и шестнадцатеричные числа. Выбор именно этих систем обусловлен тем, что их основания равны целой степени числа 2. Основание восьмеричной системы " />
, а основание шеснадцатиричной системы - это " />
. Для записи шестнадцатеричных чисел арабских цифр не хватает, поэтому используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита.

Итак, далее мы подробно рассмотрим именно эти позиционные системы - двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и их связь с привычной нам десятичной системой счисления.

Приведем примеры записи чисел в указанных системах и найдем их десятичные эквиваленты по формуле (11.2).

Для двоичного числа:

$10111,01_<2 > = 1 \cdot 2^ + 0\cdot 2^ + 1\cdot 2^ +1\cdot 2^ + 1\cdot 2^ + 0\cdot 2^+1\cdot 2^ = 16 + 4 + 2 + 1 + \cfrac = 23,25.$

Здесь и далее будем придерживаться следующего правила: числа в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах записываются с указанием основания, десятичные - без этой записи.

Для восьмеричного числа:

$302, 02_<8> = 3 8^ + 0 8^ + 2 8^ + 0 8^ + 2 8^ = 3 \cdot 64 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot \cfrac \approx 194,03.$

Для шестнадцатеричного числа:

$1Е, 03_<16 > = 1 16^ + 14 16^ + 0 16^ + 3 16^ = 16 + 14 + 3 \cdot \cfrac \approx 30, 01.$

Округление относится к дробной части числа, целая часть переводится точно. Особенностью перевода из шестнадцатеричного кода в десятичный код является то, что в качестве коэффициента " />
используется десятичный эквивалент шестнадцатеричного знака в соответствии с таблицей 11.2. Для нашего примера вместо знака " " в расчетную формулу (11.2) подставляется десятичное число .

Из рассмотренных примеров видно, что общая формула (11.2) может использоваться для перевода числа из системы счисления с любым основанием в десятичную.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы в любую другую. Перевод целых чисел

Целое десятичное число нужно поделить на основание новой системы счисления. Остаток от этого деления является самым младшим разрядом в новой записи числа. Результат деления вновь делится на основание. Остаток от этого деления будет следующим разрядом в новой записи числа, результат деления вновь делится на основание и т.д. до тех пор, пока в результате деления получится число, меньшее по величине, чем основание новой системы. Остаток этого последнего деления будет предпоследним разрядом в новой записи числа, а результат этого последнего деления - самым старшим разрядом в новой записи числа.

Проверка перевода осуществляется по формуле (11.2), так, как это показано ниже на примерах.

Пример. Перевести десятичное число 125 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Проверить результаты по формуле (П11.2).

$\arraycolsep=0.05em \begin rl@rl@rl@rl@rl@rl@rl> &_125 &|2 &&&&&\\ \cline &124 &&_62 &|2\\ \cline\cline &1 & &62 &&_31 &|2\\ \cline\cline &&&0 & &30 &&_15 &|2\\ \cline\cline & && &&1 &&14 &&_7 &|2\\ \cline\cline &&&&&&&1&&6 &&_3 &|2\\ \cline\cline &&&&&&&&&1 &&2&&1\\ \cline &&&&&&&&&&&1\\ \end \\ 125_ = 1111101_2$

$\arraycolsep=0.05em \begin _&1&2&5&|8\\ \cline & &8& &_&15&|8\\ \cline\cline &_&4&5& & 8& 1\\ \cline & &4&0& & 7\\ \cline & & &5 \end \\ 125_=175_8$

$\arraycolsep=0.05em \begin _ & 125 & |16\\ \cline & 112 & 7\\ \cline & 13\\ \end \\ 125_ = 7D_$

В рассмотренном примере при переводе вместо коэффициента =D" />
используется его десятичный эквивалент в соответствии с таблицей 11.2.

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную (восьмеричную)

Как уже было сказано выше, шестнадцатеричный и восьмеричный коды используются для более компактной и удобной записи двоичных чисел. Так, программирование в машинных кодах осуществляется в большинстве случаев в шестнадцатеричном коде. Правила перевода для шестнадцатеричной и восьмеричной системы структурно одинаковы, отличия для восьмеричной системы отображаются в скобках.

Двоичная запись числа делится на группы по четыре ( три ) двоичных знака влево и вправо от запятой, отделяющей целые и дробные части Неполные крайние группы (если они есть) дополняются нулями до четырех ( трех ) знаков. Каждая группа заменяется одним шестнадцатеричным ( восьмеричным ) знаком в соответствии с кодом группы (табл. 11.2).

$11110000001010,0101111_<2> =\fbox \fbox \fbox \fbox , \fbox \fbox = 3С0А, 5Е_;$

$1100000110,10111_<2> =\fbox \fbox\fbox\fbox< 110 >, \fbox\fbox= 1406, 56_.$

Перевод из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы в двоичную

Обычно программы в машинных кодах записаны в шестнадцатеричной системе счисления, реже - в восьмеричной. При необходимости отдельные числа такой программы записываются в двоичном коде, например, при рассмотрении форматов регистров, кодов операции команд и т.п. В этом случае нужен обратный перевод из шестнадцатеричной ( восьмеричной) системы счисления в двоичную по следующему правилу.

Каждая цифра (без всяких сокращений!) шестнадцатеричного ( восьмеричного ) числа заменяется одной двоичной группой из четырех ( трех ) двоичных знаков (табл. 11.2).

Как показано в примерах, крайние нули слева и справа при желании можно не писать, но такое сокращение делается уже после перевода в двоичную систему.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Системой счисления называют определенные правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 0,1 – 0,1,2,3,4- 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А- ЧЕМУ РАВНО ОСНОВАНИЯ ЭТИХ СИСТЕМ? десятичная двоичная пятиричная одиннадцатиричная

2 1 0 -1 -2 -3 3 4 5 , 1 7 8 Разряды числа

Тема урока: Перевод чисел и двоичная арифметика Стр.127

Чему равно 1123?

Перевести числа в десятичную систему счисления 102 = 1002 = 10002 = 100002 = 1000002 =

Перевести числа в десятичную систему счисления 102 = 21+0*20 = 2; 1002 = 10002 = 100002 = 1000002 =

Перевести числа в десятичную систему счисления 102 = 21 = 2; 1002 = 22+0*21+0*20 = 4; 10002 = 100002 = 1000002 =

Перевести числа в десятичную систему счисления 102 = 21 = 2; 1002 = 22 = 4; 10002 = 23 = 8; 100002 = 1000002 =

Перевести числа в десятичную систему счисления 102 = 21 = 2; 1002 = 22 = 4; 10002 = 23 = 8; 100002 = 24 = 16; 1000002 =

Перевести числа в десятичную систему счисления 102 = 21 = 2; 1002 = 22 = 4; 10002 = 23 = 8; 100002 = 24 = 16; 1000002 = 25 = 32.

Company Logo Перевод десятичных чисел в двоичную систему 3710=1001012 Записываем результат снизу в вверх, справа на лева.

Арифметика двоичных чисел

Арифметика двоичных чисел 011011101 + 111010110 10010110011

Арифметика двоичных чисел 1101101 101 1101101 1101101 1000100001

Вычислите: 10112+10112= 1102+112= 1012*112= 1100102-10102= 101102 10012 11112 1111101002

1 вариант Перевести: 11510 в двоичную СС Вычислить: 10012 + 11002= Вычислить: 11012 х 112=1001112 2 вариант Перевести: 11100012 в десятичную СС Вычислить: 110012 + 1112 = Вычислить: 11102 : 112=1001112

1 вариант Перевести: 11510 - 11100112 115 Вычислить: 10012 + 11002=101012 Вычислить: 11012 х 112=1001112 х 2 вариант Перевести: 11100012 - 11310 1110001=1*26+1*25+1*24+0*23+0*22+0*21+1*20= =64+32+16+0+0+0+1=113 Вычислить: 110012 +1112 =1000002 Вычислить: 11012 * 1112=10110112 654 32 1 0 1101 1011011 1001 1100 10101 + 10 1101 1101 11 + 1101 100111 11001 111 100000 + 1101 1101 111 + 1101

Вопросы Дайте определение системы счисления. Что такое развёрнутая форма числа? Как перевести двоичное число в десятичную систему счисления? Как перевести десятичное число в двоичную систему счисления? Каковы правила сложения и умножения двоичных чисел?

Сегодня на уроке я узнал (узнала)… Сегодня на уроке я научился (научилась)… Сегодня на уроке мне удалось… Сегодня на уроке мне не удалось… Рефлексия.

§ 18 стр.127-131, вопрос №4,5 письменно Домашнее задание Выполните письменно задания:

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 23 человека из 14 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 589 897 материалов в базе

Материал подходит для УМК

§ 18. Перевод чисел и двоичная арифметика

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

21.03.2020 1273
PPTX 1.7 мбайт
232 скачивания
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Батвинова Анастасия Игоревна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Арифметические действия в двоичной системе производятся по обычным для позиционных систем правилам, которые нам известны из десятичной арифметики, но при этом используются таблицы сложения и умножения двоичной системы:

Таблица сложения

Таблица сложения в двоичной системе очень проста. Надо только помнить, что прибавление нуля не меняет число, а один плюс один, будет два.

Таблица умножения

Таблица умножения ещё проще. Здесь нужно твёрдо знать, что любое число, умноженное на нуль, есть нуль и что умножение на единицу не меняет числа.

Сложение многозначных чисел производится точно так же, как и в десятичной системе, то есть поразрядно, начиная с младшего. Например:

Вычитание в двоичной системе выполняется по таким правилам:

Точки, поставленные над некоторыми разрядами уменьшаемого, показывают, что в двоичной системе единица помеченного разряда раздробляется на две единицы низшего разряда.

Умножение и деление двоичных чисел практически не отличается от умножения и деления чисел, записанных в десятичной системе счисления. Единственным отличием является то, что при умножении в столбик не приходится находить произведение первого множителя на значения последовательных разрядов второго множителя, так как значение этих разрядов 1 или 0. А при делении в столбик не нужно подбирать неполное делимое, так как учитывая специфику двоичных чисел, неполное делимое можно определить просто посмотрев на делимое.

Учебник по Информатике 8 класс Семакин
of your page -->

Задание 1. Что такое развернутая форма записи числа?

Развернутая форма записи числа – представление числе в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы.

Задание 2. Каким десятичным числам равно число, записываемое в виде 0,1n в системе счисления с основанием n, для: а) n = 2; б) n = 6; в) n = 8; г) n = 16.

а) 0,1₂ = 1*2 1 = 2₁₀
б) 0,1₆ = 1*6 1 = 6₁₀
в) 0,1₈ = 1*8 1 = 8₁₀
г) 0,1₁₆ = 1*16 1 = 16₁₀

Задание 3. Каким десятичным числам равно число, записываемое в виде 100n в системе счисления с основанием n, для: а) n = 2; б) n = 6; в) n = 8; г) n = 16.

а) 100₂ = 1*2 2 = 4₁₀
б) 100₆ = 1*6 2 = 36₁₀
в) 100₈ = 1*8 2 = 64₁₀
г) 100₁₆ = 1*16 2 = 256₁₀

Читайте также: