Зачем нужны логарифмы сообщение
Обновлено: 02.07.2024
| Вложение | Размер |
|---|---|
| zachem_my_izuchaem_logarifmy.ppt | 2.91 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель урока : Обеспечить формирование представления о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса. Задачи урока: мотивировать усвоение учащимися систематических, осознанных сведений о логарифме; развивать познавательный интерес у учащихся через раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы; развивать логическое мышление, память; воспитание мотивов учения, положительного отношения к получению знаний, познавательной активности.
Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий возведения в степень и извлечения корня к более простым действиям - умножению и делению, а последних к - самым простым – сложению и вычитанию. Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлила ему жизнь. П. С. Лаплас
Непер вошёл в историю как изобретатель замечательного вычислительного инструмента — таблицы логарифмов. Это открытие вызвало гигантское облегчение труда вычислителя. В честь Джона Непера названы: кратер на Луне; астероид 7096 Непер (1992 год); логарифмическая безразмерная единица, измеряющая отношение двух величин; университет в Эдинбурге (Edinburgh Napier University).
Итак, логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, но нужны ли они сегодня , когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложными расчетами? Ведь не изучаются же в современной школе такие старинные средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечение квадратных кубических корней и пр. Так зачем изучают логарифмы сегодня? Попробуем ответить на этот интересный вопрос.
Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления. При составлении модели того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль.
Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль , плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек О (полюса логарифмической спирали) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота; логарифмическая спираль пересекает под постоянным углом a все прямые, выходящие из полюса.
Первым учёным, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (1638 г.) Спираль в одну сторону развертывается до бесконечности, а вокруг полюса, напротив, закручивается, стремясь к нему, но не достигая. Так почему в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль?
Любопытен оптический эффект. Если вращать рисунок, на котором изображено семейство логарифмических спиралей, то при вращении в одном направлении мы увидим, что спирали будут расширяться, а при вращении в противоположном направлении они будут сужаться.
Логарифмическая спираль обладает целым рядом замечательных свойств. Если намотать на логарифмическую спираль нить, концом которой служит точка О, и начать разматывать эту нить, то её конец опишет линию конгруэнтную исходной спирали.
Эта способность логарифмической спирали оставаться неизменной при самых различных преобразованиях настолько поразила впервые изучавшего её Бернулли, что он назвал её spiral mirabilis (чудесная спираль). Он даже придавал её свойствам мистический смысл и завещал, чтобы на его надгробье изобразили эту спираль и написали: Eaten mutate , resurgo (преобразованная, возрождаюсь вновь). Иоганн Бернулли (27 июля 1667, Базель – 01 января 1748)
Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Её геометрические свойства, в частности инвариантность (сохранение угла), удивляет и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы . Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе .
Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или её некоторым пространственным аналогам.
Поэтому раковины многих моллюсков, улиток закручены по логарифмической спирали.
По логарифмической спирали закручены рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), клювы попугаев Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста.
По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Один из распространенных пауков, эпейра , сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям.
По логарифмическим спиралям выстраиваются цветки в соцветиях подсолнечника. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.
Шишка хвойного дерева. Распределение чешуек на конической поверхности отличается изяществом, рациональностью и совершенством геометрической формы. Весь конус развивается по двум спиралеобразным виткам.
Как оказалось, и в сельском хозяйстве не обошлось без логарифмов. Например, исследовав рождение телят, оказалось, что их вес можно вычислять и с помощью логарифмов по формуле m = m 0 e kt – закон, по которому происходит рост животных, где m –масса в полмесяца, m 0 -масса при рождении, e – экспонента, k – коэффициент относительной скорости роста, t – период времени.
Почему хищник кружит над добычей? Мы так привыкли, что хищник кружит над своей добычей, что не только не задаемся вопросом, почему он это делает, но и в большинстве случаев, не замечаем, что на самом деле он выписывает функцию, называемую логарифмической спиралью. Тайна того, почему хищные птицы в большинстве случаев летают именно по спирали, была открыта американцем Тукером. Согласно его заявлению, они делают это, чтобы максимально использовать их острое “поперечное” зрение.
Дом, построенный в виде морской раковины в Мехико, основывается на формуле логарифмической спирали. Создатели Наутилуса - так называется проект - попытались создать ощущение четвертого измерения, которое должно возникать, если находиться внутри строения.
Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал логарифмическую спираль даже математическим символом жизни и духовного развития . 1749-1833 г.г.
Логарифмическая спираль пересекает свои радиус-векторы под постоянным углом. На основании этого ее называют равноугольной. Это свойство находит свое применение в технике. Дело в том, что в технике часто применяются вращающиеся ножи. Сила с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянного давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали.
В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью. Пропорциональность длины дуги спирали разности длин радиус – векторов используют при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом.
По логарифмической спирали закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система. Галактика млечный путь - типичная спиральная галактика.
Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали. И однажды, 18 декабря 1955 г. он вынес его на повестку своего публичного выступления, которое проходило в Париже, в главной аудитории Сорбонны. Сальвадор Дали рассказал о том, что происходило в Сорбонне, в своем дневнике: 1904-1989 г.г.
“… моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Я. Вермера “Кружевница”, репродукция которой висела в отцовском кабинете” Сальвадор Дали
Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты – даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина “алгеброй гармонию”, встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими “странными” вещами, как логарифмы.
Нажимая на клавиши современного рояля, мы, можно сказать, играем на логарифмах. Так называемые ступени частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях). Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков; номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве мантиссу этого логарифма.
Звёзды, шум и логарифмы. Этот заголовок связывает, столь казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звёзды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.
Рассмотрим несколько примеров: тихий шелест листьев оценивается в 1 бел; громкая разговорная речь — в 6,5 бела; рычанье льва — в 8,7 бела; удары молотка о стальную плиту - в 11 бел; самое шумное место – Ниагарский водопад – в 9 бел. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в 316 000 раз; Львиное рычанье сильнее громкой разговорной речи в 158 раз. Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма.
Мы увидели, что область применения логарифмов весьма разнообразна: математика, литература, биология, психология, сельское хозяйство, музыка, астрономия, физика и т. д. Вывод: логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
зачем нужно изучать французский язык?
В данном материале речь идет о причинах и мотивах ..к изучению французского языка.Мне не хотелось бы передавать содержание даной публикации,предлагаю вам, друзья ,прочесть и высказать свое .
Конспект открытого урока в 10 классе по теме "Зачем мы изучаем законы Ньютона?"
На этом открытом уроке мы пытались ответить на вопрос "Зачем мы изучаем законы Ньютона?". Нам было интересно разобраться почему при поступлении в спортивные ВУЗы вступительный экзамен - физика. Как зн.
Рекламный ролик "Зачем надо изучать экономику"
Рекламный ролик, выполненный в виде презентации, имеет цель привлечь внимание школьника к изучению предмета "Технологии бизнеса", а также повысить мотивацию к изучению экономики.
Рекламный ролик "Зачем надо изучать экономику"
Рекламный ролик, выполненный в виде презентации, имеет цель привлечь внимание школьника к изучению предмета "Технологии бизнеса", а также повысить мотивацию к изучению экономики.
Выступление для выпускников профильных классов по теме: "Зачем нужно изучать иностранные языки. Немецкий язык"
Английский язык - самый распространённый язык международного общения (так уж сложилось исторически). Немецкий язык - третий официальный международный язык в Европе после английского и французского и с.
Зачем я изучаю информатику?
Размышления (мини-сочинения) моих учеников на тему "Зачем я изучаю информатику?".
Презентация "Зачем мы изучаем алгебру?"
Презентацией " Зачем мы изучаем алгебру?" можно воспользоваться на первых уроках в 7 классе, когда только начинается изучение алгебры.
Логарифмы — традиционная головная боль для многих учеников старших классов. Особенно — уравнения и неравенства с логарифмами. Не любят старшеклассники логарифмы почему-то. И поэтому боятся. И совершенно зря.) Ибо сам по себе логарифм — это очень и очень простое понятие. Не верите? Убедитесь сами! В сегодняшнем уроке.
Итак, поехали знакомиться.)
Для начала решим в уме вот такое очень простенькое уравнение:
Это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное икс находится в показателе степени. Даже если вы не в курсе, как решаются показательные уравнения, просто в уме подберите икс так, чтобы равенство выполнилось. Ну же?! Ну, конечно же, х = 2. Два в квадрате — это четыре.)
А теперь я изменю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:
И снова пробуем подобрать икс…
Что, никак не подбирается? Два в квадрате — это четыре. Два в кубе — это уже восемь. А у нас — пятёрка. Мимо проскочили… Что делать? Только не говорите мне, что нету такого икса! Не поверю.)
Согласитесь, что это как-то несправедливо: с четвёркой уравнение решается в уме, а с пятёркой — уже не решается никак. Математика не приемлет такой дискриминации! Для неё все числа — равноправные партнёры.)
На данном этапе мы можем лишь грубо прикинуть, что икс — какое-то дробное число между двойкой (2 2 = 4) и тройкой (2 3 = 8). Можем даже немного повозиться с калькулятором и приближённо подобрать, найти это число. Но такая возня каждый раз… Согласен, как-то грустно…
Математика решает данную проблему очень просто и элегантно — введением понятия логарифма.
Итак, что же такое логарифм? Вернёмся к нашему загадочному уравнению:
Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Понятна эта фраза? Если нет, перечитайте ещё раз. И ещё… Пока не осознаете. Ибо это очень важно!
Вот и назовём это загадочное число х логарифмом пятёрки по основанию два! В математической форме эти слова выглядят так:
А произносится эта запись вот так: "Икс равен логарифму пяти по основанию два."
Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2 х . Запомнить очень легко.)
Ну, вот, собственно, и всё! Мы решили ужасное на вид показательное уравнение!
И всё! Это правильный и совершенно полноценный ответ!
Может быть, вас смущает, что вместо конкретного числа я пишу какие-то непонятные буковки и значки?
Ну что ж, ладно, уговорили… Специально для вас:
x = log25 = 2,321928095…
Имейте в виду, что число это никогда не кончается. Да-да! Иррациональное оно…
Вот вам и ответ на вопрос, для чего нужны логарифмы. Логарифмы нам нужны, в первую очередь, для решения показательных уравнений! Таких, которые без логарифмов и не решаются вовсе…
Например, решая показательное уравнение
про логарифмы можно не вспоминать. Сразу ясно, что х = 2.
А вот, решая уравнение, скажем, такое
вы приближённо получите вот такой лохматый ответ:
Зато через логарифм даётся абсолютно точный ответ:
И все дела.) Вот поэтому и пишут логарифмы вместо некрасивых иррациональных чисел. Кому нужен числовой ответ — посчитает на калькуляторе или хотя бы в Excel.) А раньше, когда калькуляторов и компьютеров не было и в помине, существовали специальные таблицы логарифмов. Объёмные и увесистые. Так же, как и таблицы Брадиса для синусов и косинусов. И даже инструмент такой был — логарифмическая линейка. Которая позволяла с хорошей точностью вычислять массу полезных вещей. И не только логарифмы.)
Ну вот. Теперь, незаметно для себя, мы научились решать все показательные уравнения такого зверского типа.
И тут не вопрос:
Это всё верные ответы! Ну как? Заманчиво, правда?
А теперь вдумаемся в смысл самой операции нахождения логарифма.
Как мы знаем, на каждое действие математики стараются найти противодействие (т.е. обратное действие). Для сложения это вычитание, для умножения это деление. А какое обратное действие есть для возведения в степень?
Давайте посмотрим. Какие у нас основные действующие фигуры при возведении в степень? Вот они:
b - собственно сама степень.
А теперь подумаем: если нам известна степень (b) и известен показатель этой самой степени (n), а найти надо основание (a), то что мы обычно делаем? Правильно! Извлекаем корень n-й степени! Вот так:
А теперь посмотрим на другую ситуацию: нам снова известна степень (b), но на этот раз вместо показателя n нам известно основание (a), а найти как раз надо этот самый показатель (n). Что делать будем?
Вот тут-то на помощь и приходят логарифмы! Прямо так и пишут:
"Эн" (n) — это число, в которое надо возвести "a", чтобы получить "b". Вот и всё. Вот и весь смысл логарифма. Операция нахождения логарифма — это всего лишь поиск показателя степени по известным степени и основанию.
Таким образом, для возведения в степень в математике существует два разных по природе обратных действия. Это извлечение корня и нахождение логарифма. А вот, скажем для умножения обратное действие только одно — деление. Оно и понятно: любой из неизвестных множителей — что первый, что второй — ищется с помощью одной операции - деления.)
Простейшие примеры с логарифмами.
А теперь новость не очень хорошая. Если логарифм считается ровно, то его надо считать, да.
Скажем, если где-то в уравнении вы получили
то такой ответ никто не оценит. Надо логарифм посчитать и записать:
А как мы поняли, что log39=2? Переводим равенство с математического языка на русский: логарифм девяти по основанию три — это число, в которое надо возвести три, чтобы получить девять. И в какое же число надо возвести тройку, чтобы получить девятку? Ну, конечно! В квадрат надо возвести. То есть, в двойку.)
А чему равен, скажем, log5125? А в какой степени пятёрка даёт нам 125? В третьей, разумеется (т.е. в кубе)!
Стало быть, log5125 = 3.
В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 7? В первую!
Вот вам и ответ: log77 = 1
А вот такой пример как вам?
И в какую же степень надо возвести тройку, чтобы получить единицу? Неужели не догадались? А вы вспомните свойства степеней .) Да! В нулевую! Вот и пишем:
Уловили принцип? Тогда тренируемся:
Ответы (в беспорядке): 1; 3; 5; 0; 4.
Что? Забыли, в какой степени 3 даёт 243? Что ж, ничего не поделаешь: степени популярных чисел надо узнавать. В лицо! Ну, и таблица умножения — надёжный спутник и помощник. И не только в логарифмах.)
Ну вот, совсем простенькие примеры порешали, а теперь шагаем на ступеньку выше. Вспоминаем отрицательные и дробные показатели.)
Решаем вот такой пример:
Мда… И в какую же степень надо возвести четвёрку, чтобы получить 0,25? Так с ходу и не скажешь. Если работать только с натуральными показателями. Но степени в математике, как известно, бывают не только натуральными. Самое время подключить наши знания об отрицательных показателях и вспомнить, что
Стало быть, можно смело записать:
В какую такую степень надо возвести четвёрку, чтобы получить двойку? Для ответа на этот вопрос придётся подключать наши знания о корнях. И вспомнить, что двойка — это корень квадратный из четырёх:
А корень квадратный математика позволяет представить в виде степени! С показателем 1/2. Так и пишем:
Поэтому наш логарифм будет равен:
Ну что, поздравляю! Вот мы с вами и познакомились с логарифмами. На самом примитивном начальном уровне.) И вы сами лично убедились, что они вовсе не так страшны, как, возможно, вам казалось раньше. Но у логарифмов, как и у любых других математических понятий, есть свои свойства и свои особые фишки. О том и о другом (о свойствах и о фишках) — в следующем уроке.
Цель: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая функция.
Логарифмы вокруг нас Пустынникова Ирина
На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.
С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.
Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.
Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла. Теория логарифмов связана с именами целого ряда математиков: Генри Бригс, Эдмунд Уингейт, Уильям Отред, Н. Меркатор, Джон Спейдел, К. Бремикер, Ф. Клейн.
Анализ тематики создание логарифмов достаточно актуален и представляет научный и практический интерес.
Цель: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая функция.
Задача: 1. Актуализация практической значимости математических знаний;
2. Развитие нравственных представлений о природе математики, сущности и происхождении математической абстракции.
Проблема: показать практическую значимость логарифмов для окружения.
Основная часть
История логарифма
Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное.
В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое, сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.
Сочинение было разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая — плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой. Более развёрнутое, описание содержалось в другом труде, изданном посмертно его сыном; там же Непер пояснил, как он составлял свои таблицы.
Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом.
К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.
В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617).
Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году.
Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега́ появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.
Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером.
На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).
Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.
С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов.
Таким образом, прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.
Логарифмические таблицы
Если вычислительные потребности практической жизни и технического обихода вполне обеспечиваются трех и четырехзначными таблицами то с другой стороны, к услугам теоретического исследователя имеются таблицы и с гораздо большим числом знаков, чем даже 14- значные логарифмы. Вообще говоря, логарифм в большинстве случаев есть число иррациональное и не может быть точно выражен никаким числом цифр; логарифмы большинства чисел, сколько бы знаков ни брать, выражаются лишь приближенно, тем точней, чем больше цифр в их мантиссе. Для научных работ оказывается иногда недостаточной точность 14- значных логарифмов, но среди пятисот всевозможных образов логарифмических таблиц вышедших в свет, со времени их изобретения, исследователь всегда найдет такие, которые его удовлетворяют. Например, 20- значные логарифмы чисел от 2 до1200, изданные во Франции Кале.
Для еще более ограниченной группы чисел имеются таблицы логарифмов с огромным числом десятичных знаков - настоящие логарифмические диковинки о существование которых не подозревают многие математики.
Вот эти логарифмы – исполины все они - не десятичные, а натуральные: (натуральными называются логарифмы, вычисленные не при основании 10, а при основании 2,718…, о котором у вас еще будет речь впереди. 48–значные таблицы Вольфрама для чисел до 10000; 61-значные таблицы Шарпа; 102-значные таблицы Паркхерста.
Счетная линейка
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль - плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид p=a φ, a0.
Рога козлов, раковина улитки и семечки в подсолнухе закручены по логарифмической спирали
Применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека
Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле , где m0 – где масса вещества в начальный период времени t=0, m – масса вещества в момент времени t, .
T - период полураспада. Это означает, что через время Т после начального момента времени, масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое.
Народонаселение. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой , где N0 – число людей при t=0, N – число людей в момент t, λ – некоторая константа.
Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты V с ее массой m: , где Vr – скорость вылетающих газов, m0 – стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива Vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.
Звукоизоляция стен. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле, где p0 – давление звука до поглощения, p – давление звука, прошедшего через стену, А – некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 децибелам. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например 20 децибел, то это означает, что и p0 =10p, т.е. стена снижает давление звука в 10 раз. Такую изоляцию имеет деревянная дверь.
Логарифмы в музыке.
Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел – колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12).
Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой целую часть (характеристику) логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в данной октаве, деленный на 12 – дробную часть (мантиссу) этого логарифма.
Логарифмы в поэзии
Многообразные применения показательной (или её ещё называют, экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила на написание “Оды экспоненте”, отрывок из которой гласит:
« … Ею порождено многое из того,
Как говорили наши
Могущество ее порождений
Заранее обусловлено ее
Собственной красотой и силой,
Ибо они суть физическое воплощение
Абстрактной идеи ее.
Английские моряки любят ее и знают
Две шкалы Гунтера -
Вот чудо изобретательности.
У инженера и астронома не было
Инструмента полезнее, чем она.
Даже изящнее искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть
Набор передовых логарифмов?
И таким образом абстрактно красивое
Стало предком одного из величайших
Логарифмы в психологии
Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений.
Логарифмы в живописи
Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.
“…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Я. Вермера “Кружевница”, репродукция которой висела в отцовском кабинете” Сальвадор Дали
Молекула ДНК
С моей точки зрения, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы счисления. Потому что, математика повсюду. Она окружает нас и она есть в каждом предмете, что мы видим или держим в руках. Я не знала, что логарифмы так тесно связаны с нашей жизнью и являются ее неотъемлемой частью. Благодаря этому проекту, я осознала, насколько важна роль логарифмов в жизни.
Результаты исследования следующие:
1.Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;
2.Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами;
3.Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках;
4.Логарифм является инструментом для вычисления радиоактивного распада, изменения количества людей в стране, зависимости скорости ракеты от ее массы, коэффициента звукоизоляции;
5.Выяснили, что, играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах.
Список использованной литературы:
1.Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998;
3.Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.:Просвещение,1981;
Цель: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая функция.
Логарифмы вокруг нас Пустынникова Ирина
На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.
С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.
Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.
Таким образом, потребность в сложных расчётах быстро росла. Теория логарифмов связана с именами целого ряда математиков: Генри Бригс, Эдмунд Уингейт, Уильям Отред, Н. Меркатор, Джон Спейдел, К. Бремикер, Ф. Клейн.
Анализ тематики создание логарифмов достаточно актуален и представляет научный и практический интерес.
Цель: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая функция.
Задача: 1. Актуализация практической значимости математических знаний;
2. Развитие нравственных представлений о природе математики, сущности и происхождении математической абстракции.
Проблема: показать практическую значимость логарифмов для окружения.
Основная часть
История логарифма
Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное.
В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое, сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.
Сочинение было разделено на 2 книги, из которых первая посвящена логарифмам, а вторая — плоской и сферической тригонометрии, причём вторая часть одновременно служит практическим пособием по первой. Более развёрнутое, описание содержалось в другом труде, изданном посмертно его сыном; там же Непер пояснил, как он составлял свои таблицы.
Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом.
К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.
В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Непер уже был болен, поэтому не смог усовершенствовать свои таблицы, однако дал Бригсу рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617).
Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году.
Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега́ появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).
В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.
Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером.
На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).
Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом.
С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов.
Таким образом, прошло 394 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены (считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.
Логарифмические таблицы
Если вычислительные потребности практической жизни и технического обихода вполне обеспечиваются трех и четырехзначными таблицами то с другой стороны, к услугам теоретического исследователя имеются таблицы и с гораздо большим числом знаков, чем даже 14- значные логарифмы. Вообще говоря, логарифм в большинстве случаев есть число иррациональное и не может быть точно выражен никаким числом цифр; логарифмы большинства чисел, сколько бы знаков ни брать, выражаются лишь приближенно, тем точней, чем больше цифр в их мантиссе. Для научных работ оказывается иногда недостаточной точность 14- значных логарифмов, но среди пятисот всевозможных образов логарифмических таблиц вышедших в свет, со времени их изобретения, исследователь всегда найдет такие, которые его удовлетворяют. Например, 20- значные логарифмы чисел от 2 до1200, изданные во Франции Кале.
Для еще более ограниченной группы чисел имеются таблицы логарифмов с огромным числом десятичных знаков - настоящие логарифмические диковинки о существование которых не подозревают многие математики.
Вот эти логарифмы – исполины все они - не десятичные, а натуральные: (натуральными называются логарифмы, вычисленные не при основании 10, а при основании 2,718…, о котором у вас еще будет речь впереди. 48–значные таблицы Вольфрама для чисел до 10000; 61-значные таблицы Шарпа; 102-значные таблицы Паркхерста.
Счетная линейка
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль - плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид p=a φ, a0.
Рога козлов, раковина улитки и семечки в подсолнухе закручены по логарифмической спирали
Применение логарифмов в различных сферах жизнедеятельности человека
Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле , где m0 – где масса вещества в начальный период времени t=0, m – масса вещества в момент времени t, .
T - период полураспада. Это означает, что через время Т после начального момента времени, масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое.
Народонаселение. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой , где N0 – число людей при t=0, N – число людей в момент t, λ – некоторая константа.
Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты V с ее массой m: , где Vr – скорость вылетающих газов, m0 – стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива Vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т.е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.
Звукоизоляция стен. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле, где p0 – давление звука до поглощения, p – давление звука, прошедшего через стену, А – некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 децибелам. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например 20 децибел, то это означает, что и p0 =10p, т.е. стена снижает давление звука в 10 раз. Такую изоляцию имеет деревянная дверь.
Логарифмы в музыке.
Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел – колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12).
Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой целую часть (характеристику) логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в данной октаве, деленный на 12 – дробную часть (мантиссу) этого логарифма.
Логарифмы в поэзии
Многообразные применения показательной (или её ещё называют, экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила на написание “Оды экспоненте”, отрывок из которой гласит:
« … Ею порождено многое из того,
Как говорили наши
Могущество ее порождений
Заранее обусловлено ее
Собственной красотой и силой,
Ибо они суть физическое воплощение
Абстрактной идеи ее.
Английские моряки любят ее и знают
Две шкалы Гунтера -
Вот чудо изобретательности.
У инженера и астронома не было
Инструмента полезнее, чем она.
Даже изящнее искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть
Набор передовых логарифмов?
И таким образом абстрактно красивое
Стало предком одного из величайших
Логарифмы в психологии
Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабой звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений.
Логарифмы в живописи
Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.
“…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Я. Вермера “Кружевница”, репродукция которой висела в отцовском кабинете” Сальвадор Дали
Молекула ДНК
С моей точки зрения, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы счисления. Потому что, математика повсюду. Она окружает нас и она есть в каждом предмете, что мы видим или держим в руках. Я не знала, что логарифмы так тесно связаны с нашей жизнью и являются ее неотъемлемой частью. Благодаря этому проекту, я осознала, насколько важна роль логарифмов в жизни.
Результаты исследования следующие:
1.Многие природные явления не могли быть изучены без понятия логарифма;
2.Логарифмы используются для описания природных явлений астрономами, физиками, биологами;
3.Понятие логарифма широко применяется человеком во многих науках;
4.Логарифм является инструментом для вычисления радиоактивного распада, изменения количества людей в стране, зависимости скорости ракеты от ее массы, коэффициента звукоизоляции;
5.Выяснили, что, играя по клавишам современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах.
Список использованной литературы:
1.Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998;
3.Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках.- М.:Просвещение,1981;
Читайте также: