Сообщение про виета по алгебре 8 класс
Обновлено: 02.07.2024
Обычно теорема Виета используется для решения приведённых квадратных уравнений, т. е. если коэффициент \(a = 1\).
a x 2 + bx + c = 0 | : a a a x 2 + b a x + c a = 0 ⇒ x 2 + b a x + c a = 0 ; x 1 ⋅ x 2 = c a x 1 + x 2 = − b a , где x 1 и x 2 − корни .
12 x 2 + x − 1 = 0 ; 12 12 x 2 + 1 12 x − 1 12 = 0 ⇒ x 2 + 1 12 x − 1 12 = 0 ; x 1 ⋅ x 2 = − 1 12 x 1 + x 2 = − 1 12 x 1 = − 1 3 ; x 2 = 1 4 .
Если с помощью теоремы Виета трудно найти корни, то их можно найти другими способами, а с помощью теоремы Виета проверить, правильно ли они найдены.
2 x 2 + 0,8 x − 0,1 = 0 | : 2 x 2 + 0,4 x − 0,05 = 0 ; 0,1 ⋅ − 0,5 = − 0,05 0,1 − 0,5 = − 0,4
Если полная проверка корней затруднительна, нужно проверить хотя бы правильность знаков корней. В данном примере видно, что у корней должны быть разные знаки, т. к. \(c Пример:
x 2 + px + q = 0 ; 2 + ( − 0, 3 ) = 1,7 = − p , поэтому p = − 1,7 ; 2 ⋅ ( − 0,3 ) = − 0,6 = q ; x 2 − 1,7 x − 0,6 = 0 .
Теорема Виета . Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x 2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q , т.е. x 1 + x 2 = – p и x 1 x 2 = q Обратная Теорема Виета. Если числа x 1 и x 2 удовлетворяют соотношениям x 1 + x 2 = – p и x 1 x 2 = q , то они удовлетворяют квадратному уравнению x 2 + px + q = 0.
С помощью теоремы Виета и ей обратной можно: 1.Проверить правильность найденных корней . 2.Устно (подбором) найти корни квадратного уравнения. Если D>0 . 3.Составить квадратное уравнение с заданными корнями.
Составить квадратное уравнение, если известны его корни. X1 ; X2 Решение Ответ 1;3 0,5;1 P= -(1-3)=2 q= 1*(-3)=-3 P= -( 0,5 - 1 )= 0,5 q= 0,5*(-1)=-0,5 x 2 + 2 x -3 =0 x 2 + 0,5 x -0,5 =0 или 2 x 2 +x -1 =0
Составить квадратное уравнение , если: № X1 ; X2 X1+X2 P X1*X2 q x 2 +px+q=0 1 3 ; -2 2 -3 ; -2 3 -0,5 ; 3 1 -1 -6 -6 -5 5 6 6 x 2 - x -6 =0 x 2 + 5 x+ 6 =0 2,5 - 2,5 -1,5 -1,5 X 2 -2 ,5 x -1,5 =0
Квадратные уравнения решаются по формулам: ,где Если b=2k ,то ,где
Уравнение Корни уравнения
Частные случаи решения квадратных уравнений, вида ax 2 +bx+c =0 1.Если a+b+c =0 ,то 2.Если a+c =b ,то
проверка a b c X1 X2 1 12 -160 -20 8 2 13 15 -5 - 1,5 3 5 -8 1 -2 8 -18 7 0,5 1,75 1 -2 -2 1- 1+ 1 -6 1 a b c X1 X2 1 12 -160 -20 8 2 13 15 -5 - 1,5 3 5 -8 1 8 -18 7 0,5 1,75 1 -2 -2 1 -6 1
Франсуа́ Вие́т ( 1540 — 13 февраля1603) — французский математик, основоположник символической алгебры. По образованию и основной профессии — юрист. Будучи чем-то увлечен, ученый мог работать по трое суток без сна. Открыл и доказал теорему в 1591 году . По праву в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова: В числителе С, в знаменателе А, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь эта, что за беда- В числителе b, в знаменателе a.
Домашнее задание 1. Учебник № 586;588;598 2. Творческие задания. а)не решая уравнения найдите: б)Найти зависимость между корнями и коэффициентами квадратных уравнений , если: ;
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.
Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.
Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.
В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.
В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.
В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.
Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом "Введение в аналитическое искусство". Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему "видов". В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.
Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.
Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: "Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D".
В трактате "Дополнения к геометрии" он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.
Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.
В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: ". 14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер. в Париже. Ему было более шестидесяти лет".
Биография Франсуа Виета и его труды по математике. Изучение зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Рассмотрение основных особенностей теоремы Виета. Различные рациональные преобразования корней в алгебраических уравнениях.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.04.2014 |
| Размер файла | 273,9 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
ученика 8В класса
1. Историческая справка
виет математика квадратный корень
Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет.
Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была всего лишь его увлечением, благодаря упорному труду, он добился в ней больших результатов.
В 1951 году он ввел буквенные обозначения для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, а также его свойства.
Виет сделал множество открытий, сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которое называется теоремой Виета.
Рис. 1 Виет Франсуа 1540 год - 14 февраля 1603 год
Виет Франсуа родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату -- Шарант. Отец Виета был юристом (прокурором), а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына.
Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем -- в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе.
Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.
Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки, Виет пришел к мысли составить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы. Затем он приступил к разработке тригонометрии и приложению ее к решению алгебраических уравнений. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти-Генриха IV.
Но главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики.
Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Так, например, у Кардано рассматривались 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Правда, у самого Виета алгебраические символы еще были мало похожи на наши. Например, кубическое уравнение Виет записывал так:
А cubus + В рlanum in A3 aequatur D solito
Здесь еще, как видим, много слов. Но ясно, что они уже играют роль наших символов. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении коэффициентов уравнения через его корни, полученной им самостоятельно, хотя, как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения (даже более общего вида, чем квадратного) была известна Кардано, а в таком виде, в каком мы пользуемся для квадратного уравнения, - древним вавилонянам. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x. Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам. Гордясь найденным решением, Виет называл себя Алоллонием Гальским (Галлией в старину называли Францию).
Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали. Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции. В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Подозревают, что он был убит.
В 1571 году переехал в Париж и вскоре перешёл на государственную службу, но увлечение его математикой продолжало расти.
По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии.
2. Математические достижения
Работы по математике писал чрезвычайно трудным языком, поэтому они не получили распространения. Труды Виета были собраны после его смерти профессором математики в Лейдене Ф. Шоотеном. В трудах Виета алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т. е. коэффициенты соответствующих уравнений. Благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами, и сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия. Виет разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и новый метод решения кубического уравнения, дал тригонометрическое решение уравнения 3-й степени в неприводимом случае, предложил различные рациональные преобразования корней, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Для приближенного решения уравнений с числовыми коэффициентами Виет предложил метод, сходный с методом, позднее разработанным И. Ньютоном. Достижения Виета в тригонометрии - полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Научная деятельностьВиет чётко представлял себе конечную цель -- разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью:
Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий.
Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразование -- например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к отрицательным числам. Показатели степени у Виета ещё записываются словесно.
Другие заслуги Виета:
· новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения, применимый также для трисекции угла;
· первый пример бесконечного произведения:
· полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней;
· идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений;
· оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами.
Читайте также: