Сообщение признаки делимости на 6

Обновлено: 17.05.2024

Так уж сложилось, что признаками делимости на то или иное число мы пользуемся в жизни не так уж часто. В каждом смартфоне есть калькулятор. Но на экзаменах, олимпиадах и в школе может пригодиться.

Признак делимости на 2 помнят все — последняя цифра числа должна делиться на два. Например, 22648 делится на 2, потому что 8:2=4 — делится без остатка.

С признаком делимости на 4 у многих уже большие сложности, потому что забывают, что число делится на 4 без остатка, если последние две цифры числа делятся на 4. То есть 546816 делится на 4, потому что 16:4=4 — делится без остатка.

Если число двухзначное, то оно делится на 4, если сумма удвоенного числа десятков и единиц делится на 4. Например, 96 делится на 4, потому что 9•2+6=18+6=24, а 24:4=6 — без остатка.

Альтернативный признак . Число делится на 4 без остатка, если оканчивается на 0, 4 или 8, а предпоследняя цифра в числе четная. Или если число заканчивается на 2 или 6, а в предпоследнем разряде нечетное число.

Например, 12368 делится на 4, потому что число заканчивается на 8, а перед восьмёркой стоит шестерка — четное число. Другой пример: 15696 делится на 4, потому что число заканчивается на 6, а перед шестеркой стоит 9 — нечетное число.

Признак делимости на пять спорит по запоминаемости с признаком делимости на два. Число делится на 5, если оно заканчивается на 0 или 5. Например, 658975 делится на 5, а 56432 — нет.

Тут всё логично. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. То есть должны выполняться два условия делимости. Покажу на примере. Число 7536 делится на 6, потому что 1) заканчивается на 6, а 6 делится на 2; 2) сумма цифр 7+5+3+6=21, а 21:3=7 — делится без остатка.

С признаком делимости на 7 сложнее. Почти никто никогда его не помнит и не применяет. А признаков, к слову, аж три.

Первый признак : число делится на 7 тогда, когда разность числа десятков и удвоенного числа единиц делится на 7. Пример: 364 делится на 7, потому что 36-2•4 = 36-8=28, а 28:7=4 — без остатка.

Второй признак : число делится на 7, если сумма утроенного числа десятков и числа единиц делится на 7. Пример: 154 делится на 7, так как 15•3+4=45+4=49. Ну а 49 делится на 7 нацело.

Если число двухзначное, то к вашим услугам таблица умножения. Например, 96 делится на 8, потому что 96:8 = (80+16):8 = 10+2 = 12.

Если число трехзначное, то число делится на 8, если сумма учетверенных сотен, удвоенных десятков и единиц делится на 8. Вот пример: 736 делится на 8, потому что 7•4+3•2+6=28+6+6=40, а 40:8=5 — это таблица умножения.

Если же число ещё больше, то смотрим на три последние цифры числа. Если они делятся на 8, то и всё число делится на 8. Например 25698336 делится на 8, потому что 336 делится на 8, так как 3•4+3•2+6=24, а 24:8=3.

На 10

Если число заканчивается на 0, то оно делится на 10. Пожалуй, обойдемся без примеров.

На 11

На 12

Число делится на 12, если одновременно число делится на 3 и на 4. Например, 588 делится на 12, потому что число делится на 3, так как 5+8+8=21, а 21:3=7, и делится на 4, так как число заканчивается на 8, а перед восьмеркой ещё одна 8 — четное число (смотри признак делимости на 4).

Не забывайте поставить лайк и сделать репост, чтобы не потерять эту статью. Если есть, что добавить, велком в комментарии. А вот ещё полезные и интересные статьи:

Признаки делимости позволяют с первого взгляда на число сказать, на какое значение число поделится нацело, а на какое нет. Это существенно ускоряет счет, а так же ускоряет разложение на простые множители, что позволяет быстрее справляться с дробными примерами. Сегодня мы рассмотрим признак делимости на 6.

Число и цифра

В признаках делимости очень большую роль играют различия между числом и цифрой, поэтому обсудим этот факто в отдельности. Итак, цифра представляет собой знак, с помощью которого записывается число. Цифр всего 10: от нуля до 9.

10 это число, которое состоит из двух цифр 1 и 0. Цифры можно считать азбукой математики, а числа – словами. Чисел бесконечно много, а количество цифр ограниченно.

Цифра меняет свое значение в зависимости от положения в числе. Так цифра 9 может означать:

9 – 9 единиц;
90 – 9 десятков;
900 – 9 сотен.

Что такое признак делимости на 6

Правило признака делимости на 6 требует выполнение 2 условий:

Число должно быть четным. То есть оканчиваться цифрами: 0,2,4,6,8.
Число должно делиться на 3. Число делится на три, если сумма всех цифр этого числа делится на 3.

Пример

Нужно узнать, можно ли поделить число 1254789 на число 6.

Обратим внимание, что число оканчивается цифрой 9. Эта нечетное число, а значит все значение не может делиться на 6 нацело.

В любых задачах, включая тесты, может возникнуть ситуация, когда правильного ответа просто нет. Этого не нужно бояться. Такие задачи придуманы составителями специально, чтобы проверить уверенность ученика в своем ответе. Если после проверки результат остался прежним – не нужно ничего менять.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое число и цифра, выявили разницу двух этих понятий. Привели признак делимости на 6, а также рассмотрели несколько примеров.

При решении задач на нахождение целочисленного частного необходимо знать критерии деления, одним из которых является признак делимости на 6. Правило с примерами разбирается подробно в 5 классе, однако не все ученики могут понять его. Математики разработали специальный алгоритм, при помощи которого можно определить возможность получения результата в виде целой величины. Они рекомендуют изучить теорию, а затем перейти к практике.

Общие сведения

Признак делимости — совокупность правил, позволяющих точно определить возможность деления одного числа на другое с получением целочисленного результата. Операция обозначается символом / или :, а также состоит минимум из трех основных компонентов. К ним относятся следующие:

Искомое значение или делимое: величина, которая делится на определенное числовое значение для нахождения второго сомножителя.
Делитель: второй элемент операции деления, который является одним из сомножителей искомой величины (делимого).
Частное: третий элемент, являющийся результатом и представляющий второй сомножитель.

Следует отметить, что деление является обратной операцией произведению. В последнем также присутствует результат, который является делимым, а также два множителя — делитель и частное.

Кроме того, делитель можно менять местами с результатом, поскольку от перемены мест множителей величина делимого не меняется.

Понятие о цифре и числе

Некоторые начинающие математики путают между собой цифры и числа. Однако разобрав их формулировки, можно с легкостью понять разницу между ними. Цифра — математический знак (символ), который используется для формирования разрядной сетки.

Последней называется некоторая последовательность математических символов, обладающей количественной характеристикой.

Сетка состоит из разрядов, в каждый из которых записывается одна цифра от 0 до 9. На основании этого разрядная сетка состоит из следующий компонентов, которые в совокупности и образуют число:

Единицы.
Десятки.
Сотни.
Тысячи и т. д.

Эти понятия изучаются в начальных классах общеобразовательных учебных заведений. Однако для изучения методики, позволяющей определить, какие числа делятся на 6. В средних классах, начиная с 5-го, готовят различные доклады и проекты, позволяющие рассмотреть применение признаков делимости одного числа на другое в более подробной форме.

Число — количественная характеристика, состоящая из разрядной сетки. Иными словами, оно состоит из цифр, расположенных в строгой последовательности.

Каждый ученик должен понять это важное свойство, поскольку оно позволяет понять основную разницу между цифрой и числовым значением. Далее необходимо перейти уже к самой методике деления на шестерку.

Методика деления

Методика деления числа на шесть может быть сформулирована следующим образом: целочисленное значение частного возможно в том случае, когда делимое можно поделить на двойку и тройку одновременно. Определение правила требует рассмотреть признаки делимости на двойку и тройку.

На два делятся все числа, последний разряд которых заканчивается на следующие цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Иными словами, величина является четной. Например, 3 — нечетное, 52 — четное, т. к. заканчивается на двойку.

Чтобы разделить величину на тройку, необходимо вычислить сумму всех его разрядов — она должна делиться без остатка на 3. Например, 124->1+2+3=6/3=2. Следовательно, число делится на три без остатка. Далее необходимо перейти к алгоритму деления значения на 6. Он имеет такой вид:

Записать число.
Проверить его кратность двойке, т. е. оно должно быть четным.
Сложить все его элементы разрядной сетки, а затем поделить на тройку.
Сделать вывод о возможности разделить нацело значение на 6.

Следует отметить, что любой алгоритм должен быть реализован на практике. Для этого нужно решить задание, в котором необходимо определить возможность деления 345 на 6. Решение выглядит следующим образом:

345/6.
345/2: не делится, поскольку величина является нечетной.
345/3: 3+4+5=12/3=4 (делится).
Вывод: число должно делиться на двойку и тройку. Следовательно, 345 на 6 не делится, поскольку не выполняется второе условие.

Следует отметить, что операцию можно было завершить на втором шаге. Однако задача стояла в демонстрации работы методики.

Таким образом, при делении числа нацело на 6 должны выполняться одновременно два условия получения целочисленного частного от сомножителей делителя (двойки и тройки).

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Учитель: Агеева Наталья Сергеевна Класс: 6

Город Дубна, 2018 г.

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Из истории математики о делимости чисел

Признак делимости Паскаля.

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например,: число 2814 делится на 7, так как делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Делители и кратные .

Если натуральное число а делится нацело на натуральное число b , то число а называют кратным числам b , а число b – делителем числа а .

Для любого натурального числа а каждое из чисел а*1, а*2, а*3, а*4, … является кратным числа а .

Простые и составные числа.

Натуральное число называют простым , если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.

Например, число 5 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.

Натуральное число называют составным , если оно имеет больше двух натуральных делителей.

Например, число 55 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 5; 11; 55.

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Делимость чисел обладает свойствами :

Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.

Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.

Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое – делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.

Если хоть один из множителей делится на какое-нибудь число, то произведение их также разделится на это число.

Признаки делимости на 2

Чётное число – это число, которое делится на 2.

Нечётное число – не делится на 2.

Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.

Число 55 734 делится на 2, так как у него последняя цифра 4 которая является чётной.

Число 559 не делится на 2, так как цифра 9 находящаяся в конце нечетная.

Число 6750 делится на 2, так как цифра, которая находится в конце 0.

Признаки делимости на 3

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3. Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Признаки делимости на 4

Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.

Число 52 600 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.

Число 768 001 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 01, которое не делится на 4.

Число 67 144 делится на 4, так как две конечные цифры 4 и 4 дают число 8, которое делится на 4.

Признаки делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0 или 5, то это число не делится нацело на 5.

245 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 5.

6740 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 0.

657 не делится на 5, так число оканчивается цифрой 7.

Признаки делимости на 6

Число делится на 6, когда его можно разделить одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.

Число 306 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 7

Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7 или равен 0.

959 делится на 7, потому что 95-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 делится на 7 без остатка).

111 и 345 не делятся на 7, потому что 11-2*1=11-2=9 (9 не делится без остатка на 7) и 34-2*5=34-10=24 (24 не делится без остатка на 7).

Признаки делимости на 8

Число делится на 8 только тогда, когда число из трех последних цифр делится на 8.

56064 – 064 делится на 8, значит, 56064 кратно 8.

Признаки делимости на 9

Если сумма цифр числа делится нацело на 9 то и само число делится нацело на 9. Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

6003 = 6+0+0+3 = 9, 9 делится на 9, значит, и само число делится на 9.

Признаки делимости на 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10. Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.

991186 0 – делится на 10.

Признаки делимости на 11

На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11.

103 785 можно разделить на 11, так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12

461 025 не может разделено на 11, в виду того что числа 7 и 11 взаимно не равны, а их разность 4 на 11 не разделить. ( 11 – 7 = 4 ),( 4 + 1 + 2 = 7 ), ( 6 + 0 + 5 = 11).

Признаки делимости на 12

Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4.

504 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.

Признаки делимости на 13

Число делится на 13 когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

858 делится на 13, так как 85-9*8 = 13 делится на 13.

Признаки делимости на 14

Число делится на 14 когда оно делится на 2 и на 7.

Число 252 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.

Признаки делимости на 15

Число делится на 15, если оно делится на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось 0 или 5 и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Признаки делимости на 19

Число делится на 19 когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.

Числа кратные 19 всегда делятся на 19.

19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..

Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.

Признаки делимости на 25

Число делится на 25 когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

58050 делится на 25, так как 50 делится на 25.

579 00 делится на 25.

Признаки делимости на 50

Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце числа две последние цифры делились на 25 и представляли четное число. Этому условию удовлетворяют числа 50 и 100, но 100 - трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.

Кроме известных признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. В некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Использованная литература:

10 . Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

11. Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.

12. Кордемский Б. А., Математическая смекалка, Ленинград,
издательство технико-теоретической литературы, 1956.

17. Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.

18. Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В.

19. Оригинальные головоломки с числами. М.: Эксмо, 2007. Кен Рассел, Филипп Картер.

Читайте также: