Сообщение применение определенного интеграла

Обновлено: 28.06.2024

Конечный предел интегральной суммы функции на называется определенным интегралом от этой функции на .

Теорема (формула Ньютона-Лейбница): Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности двух значений любой первообразной подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интегрирования: .

Основные свойства определенного интеграла:

3) - свойство аддитивности

4) Если на , где , то и ;

5) Интегрирование неравенств:

Если на , где , то и ;

6) Об оценке определенного интеграла:

Если - наименьшее, - наибольшее значения функции на , то

8) Теорема о среднем: , где

12.2. Методы вычисления определенного интеграла:

- Непосредственное интегрирование (применение формулы Ньютона-Лейбница);

- Замена переменной интегрирования: . Здесь не возвращаются к исходной переменной, но сразу вводят новые пределы интегрирования.

- Интегрирование по частям: если - непрерывно-дифференцируемы на , то .

Все замечания, сделанные к аналогичному методу в неопределенном интеграле остаются справедливыми.- Определенный интеграл на отрезке симметричном нулю от нечетной функции равен нулю, от четной – двум интегралам, взятым по половине исходного отрезка интегрирования:

12.3. Несобственные интегралы:

Пусть - непрерывна на или на : 1. или ,

если эти пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то расходящимся.

2. , где - любая точка оси .

Полный интеграл сходится, тогда и только тогда, когда сходится каждый из составляющих его интегралов.

Пусть - непрерывна в или :

2. , где - внутренняя точка бесконечного разрыва.

Такой несобственные интеграл, сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба составляющих его интеграла.

12.4 Применения определенного интеграла:

1. Вычисление площадей плоских фигур:

· - площадь криволинейной трапеции, где ;

· - площадь фигуры, где , ;

· -площадь фигуры, где основная кривая задана как ,

где , - непрерывно-дифференцируемы на ;

· - площадь фигуры, где основная кривая задана в п.с.к. уравнением , .

2.Вычисление длин дуг плоских кривых:

· - формула вычисления длины дуги, заданной явно , где - непрерывно-дифференцируема на

· - для дуги, заданной параметрически , где - непрерывно-дифференцируемы на .

· - для дуги кривой в п.с.к., где и - непрерывно-дифференцируема на .

3. Вычисление площадей поверхностей вращения:

· - для кривой, заданной параметрически;

· - для кривой в п.с.к.

4. Вычисление объемов тел вращения:

5. Физические приложения определенного интеграла:

· -формула нахождения пути по скорости при прямолинейном движении;

· - масса неоднородного стержня длины с заданной линейной плотностью ;

· - угол поворота за отрезок времени при заданной угловой скорости ;

· - количество теплоты необходимое для нагревания тела от до при заданной теплоемкости ;

· - количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за отрезок времени при заданной силе тока ;

· - работа переменной силы при прямолинейном перемещении (физический смысл определенного интеграла);

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.

История интегрального исчисления

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласил ись с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики—интегральное исчисление (calculusintegralis ), которое ввел И. Бернулли.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что вс е первообразные функции отличаются на произвольну ю постоянну ю. b

называют определенным интегралом (обоз начение ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикал ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали площадь, равну ю бесконечно малой величине f(х)dx . В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

a t1) прошла путь S, то

Объём — количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле — объём тела.

Объём — это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма:

выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;

определим границы расположения тела относительно ОХ;

введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка [a;b] поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.

разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме

V=V1+V2+. +Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+. +S(xn)Dx

Dx®0, а Sk®Sk+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра Vц=SоснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®¥ называется интегралом a

V= òS(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через

bвыбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

Для нахождения объема надо:

1). Выбрать удобным способом ось ОХ.

2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5). Составить интеграл.

6). Вычислив интеграл, найти объем.

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

Длина дуги плоской кривой

Пусть на отрезке [a;b] функция y = f(x) имеет непрерывную производную y’ = f ’(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xÎ[a;b] можно найти по формуле

Список литературы

М.Я.Виленкин, О.С.Ивашев–Мусатов, С.И.Шварцбурд, “Алгебра и математический анализ”, Москва,1993г.

Определенным интегралом от a до b непрерывной функции $$ y = f(x)$$, определенной на интервале $$ \left[ \right] $$, называется прирощение первообразной $$ F(x)$$ для этой функции,
то есть $$ \int\limits_a^b \right.>$$.
Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные правила и свойства определенного интеграла

$$ \int\limits_a^b <\left( \right)dx> = \int\limits_a^b \pm \int\limits_a^b dx$$

$$ \int\limits_a^b = \int\limits_a^c + \int\limits_c^b dx$$

Физический смысл определенного интеграла:

Путь S, пройденный телом при прямолинейном движении со скоростью v(t) за интервал времени от $$ $$ до $$ $$, вычисляется по формуле

Геометрический смысл определенного интеграла:

Площать S криволинейной трапеции (фируры, ограниченной графиком непрерывной положительной на интервале $$ \left[ \right] $$ функции $$ y = f(x)$$ , осью OX и прямыми x = a и x = b) вычисляется по формуле

Элементы математического анализа занимают значительное место в области математики. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются длины, площади и объемы геометрических фигур. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается. В физике интеграл используют для вычисления р аботы переменной силы, пути, пройденный телом , нахождения д авление жидкости на вертикальную пластинку, вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой; в биологии - для нахождения ч исленности популяций, биомассы популяций, средней длины пролета птиц. Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла. Можно привести еще массу примеров применения определенного интеграла. Нас заинтересовало при менение определенного интеграла для решения различных экономических задач. Результат поисков и вычислений мы изложили в нашей работе.

Объект исследования - определенный интеграл функции одной переменной.

Предмет исследования - определенный интеграл в задачах экономики.
Целью данной работы является изучение возможностей применения определенного интеграла при решении прикладных задач.

Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.
Систематизировать и обобщить знания об определенном интеграле.
Показать возможности использования определенного интеграла при решении прикладных задач экономики.

Гипотеза: применение определенного интеграла во многом облегчает решение прикладных задач экономики.

Определенный интеграл. Основные термины и условия существования

Интеграл (от лат. Integer – целый ) – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п. Существуют два определения определённого интеграла.

Определение 1. Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается , где функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом: (1) формула Ньютона-Лейбница.

Определение 2. Пусть функция f (X ) задана в некотором промежутке [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ΔX i = X - X (i = 0, 1,2, . n-1) обозначим через λ. Возьмем в каждом из частичных промежутков [X , X ] по произволу точку X = ξ ; X ≤ ξ ≤ X (i = 0, 1, … , n-1) и составим сумму σ = f( ξ ) ΔX ι . Пусть I конечный предел данной суммы: I = σ.

Конечный предел I суммы σ при называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается символом

В случае существования такого предела функция f (x) называется интегрируемой в промежутке [a, b] Другими словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число. Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения. Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.)

Примеры применение определенного интеграла в экономике

Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Интегральное исчисление используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка , определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений. И это далеко не полный список приложений. Определённый интеграл является не только мощным средством решения прикладных экономических задач , но и универсальным языком всей экономич еской теории, создает новые возмож ности для эконом ических иссл едований. Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике.

При прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей сложных фигур. Приведем соответствующий пример, для решения которого используется определенный интеграл.

Пример 1. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски.

Решение: Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центре корабля, а ось x вдоль палубы. Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол.

Общее уравнение параболы имеет вид .

Так как точки (-40;0), (40;0), (0;10) принадлежат параболе, то решением системы уравнений

являются следующие числа: а =- , b=0, с=10. Таким образом, уравнение искомой параболы имеет вид у= .

Площадь половинки палубы корабля равна

Для окраски половины палубы необходимо 0,25 S = (кг) краски. Поэтому для покраски всей палубы потребуется 2∙0,25S=2∙ 266,7 (кг).

Пример 2. Определить объем продукции, произведенной рабочим, если производительность труда характеризуется функцией . Определить выработку рабочего: а) за весь рабочий день; б) за третий час работы; в) за последний час работы, если продолжительность рабочего дня 6 часов; г) провести экономический анализ задачи.

Решение: Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t 1 до t 2 будет выражаться формулой: . В нашем случае

Найдем общую выработку рабочего за весь день (6 часов)

Определим выработку рабочего за третий час работы

Определим выработку рабочего за последний час работы

Вероятно, работа утомительна и требует большого напряжения, поэтому к концу дня падает производительность труда.

Применение определенного интеграла в оценке дифференциации доходов населения

Определенный интеграл применяют и при оценке дифференциации доходов населения. Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Еще в начале XX в. экономист В. Парето установил, что неравенство в доходах населения присуще каждой стране. В 1920-е гг. ученые-статистики американец Макс Лоренц и итальянец Коррадо Джини независимо друг от друга провели исследование неравенства распределения дохода и разработали специальные показатели, позволяющие судить о неравенстве этого распределения: кривую Лоренца и коэффициент Джини . Введем эти понятия. Кривая Лоренца отражает кумулятивные (накопленные) доли дохода населения. Построение кривой Лоренца удобнее всего рассмотреть на следующем примере:
Представим экономику, состоящую из 3-х агентов: А, B, C. Доход агента А составляет 200 единиц, доход агента В составляет 300 единиц, доход агента С составляет 500 единиц. Для построения кривой Лоренца найдем доли индивидов в общем доходе. Общий доход составляет 1000. Тогда доля индивида А составляет 20%, доля В составляет 30%, доля С составляет 50%.
Далее будем искать кумулятивные (накопленные) доли доходов и численности населения для индивидов, начав с самого бедного и постепенно включая более богатых индивидов: Доля в населении индивида А составляет 33%. Доля его дохода составляет 20%.Затем включим в анализ более богатого индивида – индивида В. Совместная доля А+В в населении составляет 67%. Совместная доля А+В в доходе составляет 50% (20%+30%).
Далее включим в анализ еще более богатого индивида С. Совместная доля А+В+С в населении составляет 100%. Совместная доля А+В+С в доходе составляет 100% (20%+30%+50%). Отметим полученные результаты на графике. Линия, соединяющая левую нижнюю точку и правую верхнюю точку графика, называется линией равномерного распределения доходов . Это гипотетическая линия, которая показывает, что было бы, если доходы в экономике распределяются равномерно. При неравномерном распределении доходов кривая Лоренца лежит левее этой линии, причем чем больше степень неравенства, тем сильнее изгиб кривой Лоренца. А чем ниже степень неравенства, тем более она приближена к линии абсолютного равенства. В нашем случае кривая Лоренца выглядит как кусочно-линейный график. Это получилось так, потому что в нашем анализе мы выделили только три группы населения. С ростом числа рассматриваемых групп населения кривая Лоренца будет выглядеть в виде кривой. Кривая Лоренца позволяет судить о степени неравенства доходов в экономике по ее изгибу. Для количественного измерения степени неравенства дохода по кривой Лоренца существует специальный коэффициент – коэффициент Джини. Коэффициент Джини равен отношению площади фигуры, ограниченной прямой абсолютного равенства и кривой Лоренца, к площади всего треугольника под кривой Лоренца.

Чем выше неравенство в распределении доходов, тем больше коэффициент Джинни приближается к единице. И чем выше равенство в распределении доходов, тем меньше данный коэффициент. При абсолютном равенстве он достигает нуля.

Задача: По данным исследования распределения доходов в одной из стран кривая Лоренца может быть описана уравнением , где х – доля населения, у – доля доходов населения. Найти коэффициент Джинни.

Решение: Изобразим заданную кривую

Это четверть окружности с центром в точке (0,1), радиуса R=1, удовлетворяющая условиям (область изменения функции) и ( по смыслу задачи). Проведем также и биссектрису у=х. Тогда коэффициент Джини вычисляется по формуле

Тогда коэффициент Джинни

Высокое значение коэффициента показывает существенное неравномерное распределение доходов среди населения в данной стране.

4. Кривая Лоренца и коэффициент Джини для России

После изучения материалов по теме, мы заинтересовались, как же выглядит кривая Лоренца и коэффициент Джини для нашей страны, как она менялась с течением времени. В интернете мы нашли множество графиков и таблиц. Предлагаем их и вам ( приложение 1). Кривые Лоренца для России, построенные на основе экспертных оценок распределения денежных доходов населения в РФ, и определенные коэффициенты Джини (приложение 2), свидетельствуют об усилении неравенства населения в доходах. Неравенство в распределении доходов является не только важным экономическим показателем, но и характеристикой социального благополучия или неблагополучия в обществе. Именно поэтому оно выходит на передний план в современных дебатах о перспективах глобального и регионального развития.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является интегральное исчисление.

Рассмотренные в данной работе примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости определенного интеграла. Так в процессе выполнения были рассмотрены примеры практических задач в области экономики, решаемые с помощью определенного интеграла. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список задач, которые используют интегральный метод, но даже они показывают широкое применение этого метода при решении реальных прикладных задач. Всё это подчеркивает значимость и актуальность выполненной работы, и позволяет считать, что цель работы достигнута.

Эта работа позволила нам глубже понять и систематизировать знания об определенном интеграле и возможностях его применения в различных областях науки. Рассмотренный материал работы оказался нам очень полезен и в подготовке к выпускным экзаменам, и возможно, пригодится и в дальнейшей нашей учебе.

$\left[ Пусть точка движется по прямой (по оси ) и известна скорость движения этой точки. Пусть скорость меняется и задан закон этого изменения на некотором отрезке _>;\ _> \right]$
. Тогда перемещение равно

$S=\int\limits_ _>>^_>><v\left( t \right)dt>$

Задание	Материальная точка движется со скоростью $v\left( t \right)=<<t>^>+1$ . Вычислить ее перемещение за промежуток времени секунды.
Решение	Искомое перемещение равно определенному интегралу

$S=\int\limits_ ^<\left( <<t>^>+1 \right)dt>=\left. \left( \frac^>>+t \right) \right|_^=\frac<<^>>+1-\left( \frac<<^>>+0 \right)=\frac+1=\frac$

2. Зависимость между работой и силой

Зависимость между работой и силой при перемещение материальной точки от значения _>" width="18" height="12" />
к значению _>" width="18" height="11" />
устанавливается соотношением:

$A=\int\limits_ _>>^_>><F\left( x \right)dx>$

Задание	Какую работу надо произвести, при перемещении материальной точки на промежутке от 1 до 2 метров под действием силы .
Решение	Искомая работа равна:

$A=\int\limits_ ^<\left( x+3 \right)dx>=\left. \left( \frac^>>+3x \right) \right|_^=\frac<<^>>+3\cdot 2-\left( \frac<<^>>+3\cdot 1 \right)=2+6-\frac-3=\frac$

Работа за промежуток времени от _>" width="14" height="16" />
до _>" width="14" height="15" />
, если задан закон изменения мощности , вычисляется по формуле:

$A=\int\limits_ _>>^_>><N\left( t \right)dt>$

$N\left( t \right)=\frac<6> >$

$A=\left. \int\limits_ ^>>=6\cdot 2\sqrt \right|_^=12\cdot \left( \sqrt-\sqrt \right)=12\cdot \left( 2-1 \right)=12$

3. Масса тонкого стержня

Масса тонкого стержня, если известна его линейная плотность вычисляется по формуле:

$m=\int\limits_ _>>^_>>$

Задание	Вычислите массу участка стержня от значений до , если его линейная плотность задается формулой $\rho \left( x \right)=<<x>^>+1$ .
Решение	Согласно формуле, имеем:

$m=\int\limits_ ^<\left( <<x>^>+1 \right)dx>=\left. \left( \frac^>>+x \right) \right|_^=\frac<<^>>+1-\left( \frac<<^>>+3 \right)=\frac$

4. Количество электричества (электрический заряд)

$\left[ Количество электричества (электрический заряд) за промежуток времени _>;\ _> \right]$
при известной силе тока вычисляется по формуле:

$q=\int\limits_ _>>^_>><I\left( t \right)dt>$

Задание	Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени , если сила тока задается формулой $I\left( t \right)=3<<t>^>-2t$ .
Решение	Количество электричества

$q\left. =\int\limits_ ^<\left( 3^>-2t \right)dt>=\left( ^>-^> \right) \right|_^=<^>-<^>-\left( <^>-<^> \right)=64-16-27+9=30$

5. Количество теплоты за время

$t\in \left[ Если задана теплоемкость , то количество теплоты за время _>;\ _> \right]$
вычисляется по формуле:

$Q=\int\limits_ _>>^_>><c\left( t \right)dt>$

Задание	Найти количество теплоты, выделенное за время , если теплоемкость $c\left( t \right)=<<t>^>$ .
Решение	Согласно формуле, имеем:

$Q=\int\limits_ ^^>dt>=\left. \frac^>> \right|_^=\frac<<^>-<^>>=\frac$

6. Зависимость магнитного потока и ЭДС

$<<\varepsilon > Математическая зависимость между магнитным потоком , пронизывающим проводящий замкнутый контур, и электродвижущей силой (ЭДС) индукции _>\left( t \right)$
в этом контуре задается соотношением

$\Phi =\int\limits_ _>>^_>>_>\left( t \right)dt>$

Задание

При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, изменяющаяся со временем по закону $<<\varepsilon >_>\left( t \right)=50\cos \frac<\pi t>$
. Найти значение магнитного потока, пронизывающего рамку в конце первой минуты вращения.

Решение

Время в данном случае изменяется от 0 с. до 60 с. Тогда искомый электромагнитный поток

$\Phi =\int\limits_ ^dt>=50\cdot \frac<\pi >\sin \left. \frac<\pi t> \right|_^=\frac<\pi >\left( \sin \frac<\pi >-\sin 0 \right)=\frac<\pi >$

7. Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции – фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на интервале функции , осью абсцисс и вертикальными прямыми и (рис. 1) – вычисляется по формуле:

$S=\int\limits_^ <f\left( x \right)dx>$

Задание	Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , и осью абсцисс.
Решение	Изобразим фигуру, площадь которой надо найти (рис 2.). Тогда имеем:

$S=\int\limits_ ^<\left( 4x-^> \right)dx>=\left. \left( 2^>-\frac<^>> \right) \right|_^=$

$=2\cdot <<4> ^>-\frac^>>-\left( 2\cdot ^>-\frac<^>> \right)=32-\frac=\frac$

8. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая , заданная уравнением (рис. 3).

непрерывны на отрезке , то кривая имеет длину, которая вычисляется по формуле:

$\[ l=\int\limits_^ <\sqrt<1+<<\left( <f>$

Задание	Найти длину окружности с центром в начале координат радиуса , используя определенный интеграл.
Решение	Уравнение рассматриваемой окружности , откуда $y=\pm \sqrt<^>-^>>$ . Рассмотрим ту часть окружности, которая лежит в первой четверти ( ), тогда $y=\sqrt<^>-^>>$ . Длина этой четверти в четыре раза меньше всей искомой длины :

$l=4<<l> _>$

$\sqrt<1+<<\left( <f> Найдем подынтегральную функцию$
:

$\[y=\sqrt<<<R> ^>-^>>\Rightarrow$

$\[\sqrt<1+<<\left( <f> $

В первой четверти переменная изменяется от 0 до . Тогда искомая длина

$l=4\int\limits_ ^<\sqrt<<^>-^>>>>=\left. 4R\cdot \arcsin \frac \right|_^=4R\cdot \left( \arcsin 1-\arcsin 0 \right)=4R\cdot \frac<\pi >=2\pi R$$

9. Вычисление объема тела вращения

Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , прямыми и (рис. 4). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Объем этого тела равен

$<<V> _>=\pi \int\limits_^^>dx>$

Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции и прямыми и , то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , равен

$<<V> _>=\pi \int\limits_^^>dy>$

Задание	Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями $y=\frac<<<x>^>>$ , и $y=2\sqrt$ вокруг оси ординат.
Решение	Изобразим указанное тело вращения (рис. 5). Тогда искомый объем

$<<V> _>=\pi \int\limits_^>^>dy>\ \left\| \begin y=\frac^>>\Rightarrow \\ ^>=2y \\ \end \right\|=\pi \left. \int\limits_^>=\pi \cdot ^> \right|_^>=\pi \cdot \left( <<\left( 2\sqrt\right)>^>-<^> \right)=8\pi$

10. Вычисление площади поверхности вращения

на этом отрезке. Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси (рис. 4) равна

$\[ <<S> _>=2\pi \int\limits_^<y\sqrt<1+<<\left( <y>$

Задание	Найти площадь поверхности шара с центром в начале координат радиуса .
Решение	Будем считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности $y=\sqrt<<<R>^>-^>>$ , вокруг оси абсцисс. Тогда по формуле находим, что искомая площадь

$<<S> _>=2\pi \int\limits_^^>-^>>\sqrt<1+<<\left( <<\left( \sqrt<<<R>^>-^>> \right)>^<\prime >> \right)>^>>dx>=2\pi \int\limits_^^>-^>>\sqrt<1+<<\left( \frac<-x>^>-^>>> \right)>^>>dx>=$

$=2\pi \int\limits_^ ^>-^>+^>>dx>=2\pi R\left. \int\limits_^=2\pi R\cdot x \right|_^=2\pi R\left( R-\left( -R \right) \right)=4\pi <^>$

Читайте также: