Сообщение по теме правильные многогранники 6 класс

Обновлено: 05.07.2024

Что такое многогранник ? Многогранник –это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Тетраэдр Тетра́эдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники , называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников .

Додекаэдр Додека́эдр — один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников [1] , являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Икосаэдр Икоса́эдр - правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник [1] , одно из Платоновых тел . Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник . Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм .

Октаэдр Октаэдр — один из пяти выпуклых правильных многогранников [1] , так называемых Платоновых тел . Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра. Если длина ребра октаэдра равна а , то площадь его полной поверхности ( S ) и объём октаэдра ( V ) вычисляются по формулам

Куб Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны. Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы.

Правильный многраники Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник , состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией . Многогранник называется правильным , если: он выпуклый; все его грани являются равными правильными многоугольниками ; в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тип урока : ОНЗ

Основные цели:

1) сформировать представление о правильных многогранниках;

2) повторить и закрепить: действия с рациональными числами, решение задач на пропорциональное деление и задач на движение.

Оборудование.

Демонстрационный материал.

1) задание для актуализации знаний:

тетраэдр октаэдр икосаэдр

индивидуальное задание

2) образец выполнения задания на этапе повторения

(8 + 14 + 52 + 67 + 93 + 126) : 6 = 360 : 6 = 60

Раздаточный материал.

Задания для актуализации знаний

Индивидуальное задание

1. Самоопределение к деятельности.

Цель этапа: 1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урок: продолжаем работать с многогранниками.

Организация учебного процесса на этапе 1:

- Что можно сложить из правильных многоугольников?

- Сегодня мы посмотрим, что ещё можно составить из правильных многоугольников.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Цель этапа: 1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: действия с рациональными числами, определение видов многоугольников, понятие правильных многогранников;

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов;

4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: свойства правильных многогранников.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. Узнайте, на сколько первое число больше второго.

- Назовите полученные результаты в порядке убывания. (32, 24, 16, 8.)

- Вычислите сумму членов последовательности удобным способом. (80.)

- Придумайте числовые выражения, значения которых равно 80.

2. Определите вид геометрических фигур.

Верно ли, что данные геометрические фигуры можно назвать многогранниками? Почему?

тетраэдр октаэдр икосаэдр

Эти многогранники называют правильными.

- Как вы думаете, почему?

- Сколько ребер и сколько граней сходится в вершине тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра? Выведите их общее свойство?

Индивидуальное задание:

а) Сосчитайте число ребер (Р), граней (Г) и Вершин (В) каждого правильного многогранника и заполните таблицу. Какие закономерности вы наблюдаете?

б) Проверь, выполняется ли для правильных многогранников формула Эйлера:

3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности: определение взаимосвязи количества вершин, рёбер, граней в правильных многогранниках;

2) согласовать цель и тему урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

- Сформулируйте цель урока. (Изучить свойства правильных многогранников.)

- Сформулируйте тему урока. (Правильные многогранники.)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа: 1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Читаем по учебнику о правильных многогранниках.

5. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5:

№ 714 (б, в) у доски

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

№ 714 (а) на доске образец.

7. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках: действия с рациональными числами, среднее арифметическое, решение задачи на среднюю скорость, решение на пропорциональное деление.

Организация учебного процесса на этапе 7:

№ 715 самостоятельно, с проверкой по получившемуся слову.

№ 716 (одно на выбор) самостоятельно с проверкой по образцу

k – коэффициент пропорциональности

1,5 k – скорость лодки, 4 k – скорость теплохода

16 – 6 = 1,25 k ;

Ответ: скорость теплохода 32 км/ч

1) 224 × 0,375 = 84 (км) – расстояние вверх по реке

2) 224 + 84 = 308 (км) – всё расстояние

3) 30 – 2 = 28 (км/ч) – скорость вверх по реке

4) 84 : 28 = 3 (ч) – время движения вверх по реке

5) 10 + 3 = 13 (ч) – время в пути

6) 308 : 13 = 23 (км/ч)

Ответ: средняя скорость 23 км/ч

8. Рефлексия деятельности.

Цель этапа: 1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 8:

- Что нового вы узнали на уроке?

- Что повторяли на уроке?

- Проанализируйте свою работу на уроке.

Домашнее задание: п.4.4.4.; №№ 719; 720; 721.

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 605 626 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

18.11.2021 44
DOCX 163.5 кбайт
0 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Щеголева Мария Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школы граничащих с Украиной районов Крыма досрочно уйдут на каникулы

Время чтения: 0 минут

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Геометрия — сложная наука, включающая в себя множество категорий. Одна из них — стереометрия. Она ориентирована на изучение различных фигур в пространстве, включая многогранники. Они представляют собой замкнутые тела, составленные из нескольких многоугольников, называемых гранями. Каждая из них лежит в отдельной плоскости, в совокупности образуя объемную форму.

Основные понятия
Параметры фигуры
Правильные многогранники
Призма и ее особенности
Характеристики параллелепипеда
Пирамида и ее величины

Основные понятия

Определение многогранника включает в себя такое понятие, как геометрическое тело, созданное из плоских многоугольников. Их число конечное. От формы каждого из них напрямую зависят свойства итоговой фигуры. Их делят на 2 типа:

Выпуклые. Располагаются над плоскостью, которую можно провести через любой многоугольник, являющийся частью геометрического тела. В них все диагонали лежат внутри. Также тут все плоские углы в сумме дают 360 градусов.
Невыпуклые. Полностью или частично располагается над и под плоскостью, проведенной через выбранный многоугольник. Здесь некоторые диагонали могут располагаться снаружи.

Поскольку многогранники рассматриваются в трехмерном евклидовом пространстве, они относятся к стереометрии. А их многоугольники лежат в двумерной плоскости, что относится к планиметрии. Поэтому основные свойства и понятия формируются, включая в себя обе эти науки.

Параметры фигуры

Независимо от вида, классификации и типа , каждый многогранник имеет определенные параметры. Все они являются одинаковыми для разных фигур. К ним относятся:

Грани. Это многоугольники, которые формируют основную фигуру;
Ребра . Это стороны плоских геометрических тел, каждая из которых является смежной между двумя многоугольниками. В противном случае многогранник не существует, т. к. не имеет замкнутую форму;
Вершины. Характеристика определяется числом граней. Чем их больше, тем, соответственно, больше вершин;
Диагонали. Секущие линии, конечными точками которых являются 2 вершины, каждая из них относится к разным граням;
Высоты. Это перпендикуляры, проведенные от одного основания к другому (в случае с призмой — от основания к вершине).

В случае с многогранниками часто используется такое понятие, как развертка . Ее обозначение включает в себя совокупность многоугольников, а также указание сторон и вершин. Чаще всего применяется в случае, когда необходимо составить модель из бумаги или иного подручного материала. Каждый элемент может быть отдельным, равно как следовать один за другим.

Для многогранников применяется теорема Эйлера. В ней участвует количество вершин (V), ребер ® и граней (G). Формула следующая : V — R + G = 2. Указанное равенство не рассматривается ни с какими другими геометрическими телами , даже если они лежат в трехмерном евклидовом пространстве.

Правильные многогранники

Правильные многогранники — фигуры, грани которых представляют собой многоугольники с равными углами и сторонами. Также они называются Платоновыми телами. Всего существует 5 соответствующих тел, подробные характеристики которых представлены в таблице.

Правильные многогранники изучались древними греками. Однако первые модели в орнаменте и по отдельности появились намного раньше. Например, археологами были найдены вырезанные каменные шары в Шотландии, которые датируются поздним неолитом (соответственно, за 1000 лет до жизни и деятельности Платона).

Призма и ее особенности

Призма — один из видов многогранников, включающий в себя многоугольники, расположенные в разных плоскостях. Но соединить их можно посредством параллельного переноса. У фигуры имеется основание и боковые ребра . Характерные особенности геометрического тела:

Основания полностью идентичны друг другу, несмотря на то, что лежат в разных плоскостях;
Основания параллельны друг другу;
Боковые ребра равны и параллельны;
Поверхность фигуры определяется суммой оснований и боковых граней (которых может быть неограниченное количество);
Высота призмы определяется проведением перпендикулярной прямой из любого основания к другому;
Площадь поверхности: S=Sбоковая + 2Sоснований;
Объем призмы: V=S*h, где S — площадь основания, а h — высоты фигуры;
Если основанием призмы является N -угольник, фигура считается N -угольной.

Геометрическое тело называют прямым, если каждое ребро лежит перпендикулярно основанию. Также они становятся высотами. Когда грани идентичны, многоугольник считается правильным, и его диагональное сечение образует параллелограмм.

Характеристики параллелепипеда

Параллелепипед — многогранник, основанием и гранями которого является параллелограмм. Фигура характеризуется как неправильная. Основные характеристики:

Все грани, расположенные напротив , являются равными и параллельными;
Если отсутствуют общие вершины, они называются противолежащими;
Диагональ соединяет 2 вершины фигуры, расположенные в разных гранях;
Все диагонали параллелепипеда имеют одно пересечение, точка которого делит их на 2 равные части;
Пересечение диагоналей представляет собой центр симметрии.

Когда все грани параллелограмма являются прямоугольными, фигура характеризуется, как прямоугольная. Длина каждого ребра считается линейным размером. У такой фигуры есть три измерения. При этом справедлива формула d² = a² + b² + c². При расчетах руководствуются и другими. Для объема : V = abc, для площади многогранника: S=2·(ab+ bc +ac).

Пирамида и ее величины

Пирамида представляет собой многогранник и многоугольник. Особенности фигуры:

Боковая поверхность равна сумме площадей граней;
Высота — перпендикуляр от основания к вершине;
Когда N — количество углов основания, пирамида называется N -угольной;
Формула объема многогранника: V = 1/3·S·h;
Формула площади всей поверхности: Sп = Sбоковых граней + Sоснования;
Все сечения, включая диагональные, являются треугольниками.

Если пирамиду разделяет плоскость, параллельная нижней, она делит ее на две части. Причем верхняя пропорционально равна главной фигуре. Когда основанием является квадрат, геометрическое тело называется правильным. Гранями ее считаются равнобедренные треугольники.

Существует также такое понятие, как усеченная пирамида. Она получается только из правильной фигуры, если провести плоскость на противоположную от основания сторону, и убрать верхнюю часть. У данного тела отсутствует вершина, поскольку фактически она является квадратом , а не единичной точкой. Это не единственное отличие. К примеру, формулы, справедливые для классического формата, в данном случае неприемлемы.

В данном видеоуроке мы поговорим о правильных многогранниках. Познакомимся с формулой Эйлера. Узнаем некоторые особенности правильных многогранников.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Правильные многогранники"

Посмотрите на следующие пять многогранников.

Они являются правильными, так как у каждого из них все грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани сходятся под равными углами.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из 4 правильных треугольников.

Куб – многогранник, составленный из 6 квадратов.

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из 8 правильных треугольников.

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из 12 правильных пятиугольников.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из 20 правильных треугольников.

Давайте составим таблицу, в которую запишем число вершин, рёбер и граней у каждого многогранника. Затем для каждого многогранника найдём число, равное числу вершин плюс число граней минус число рёбер.

Тетраэдр. У него 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер.

Куб. У него 8 вершин, 6 граней и 12 рёбер.

Октаэдр. У этого многогранника 6 вершин, 8 граней и 12 рёбер.

Додекаэдр. У него 20 вершин, 12 граней и 30 рёбер.

Икосаэдр. У этого многогранника 12 вершин, 20 граней и 30 рёбер.

Заполним последний столбец таблицы. Найдём число, равное числу вершин плюс число граней минус число рёбер.

Обратите внимание, что в последнем столбце таблицы для всех многогранников получился один и тот же результат – два.

Число вершин, граней и рёбер связано таким соотношением не только у правильных, но и у всех других многогранников. Вы можете проверить это для любых взятых наугад многогранников.

Это соотношение называется формулой Эйлера.

Его доказал математик Леонард Эйлер. Этот величайший учёный родился в Швейцарии, но почти полжизни провёл в России. Он внёс огромный вклад в становление русской науки. В 1750 году Леонард Эйлер установил связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников. Это заложило фундамент нового раздела математики – топологии.

Рассмотрим ещё одну особенность правильных многогранников.

Тетраэдр. Если центры его граней считать вершинами нового многогранника, то мы снова получим тетраэдр.

Теперь давайте сразу возьмём куб и октаэдр. Заметим, что если центры граней куба считать вершинами нового многогранника, то получим октаэдр, а если центры граней октаэдра считать вершинами нового многогранника, то получим куб.

Аналогично для додекаэдра и икосаэдра. Если центры граней додекаэдра считать вершинами нового многогранника, то получим икосаэдр, а если центры граней икосаэдра считать вершинами нового многогранника, то получим додекаэдр.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Совершенные формы и математические закономерности, присущие правильным многогранникам, являлись причиной того, что им приписывались различные магические свойства. Все 5 геометрических фигур (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) издавна были спутниками волшебников и звездочётов.

Сейчас вы видите развёртки эти многогранников.

Если вы потрудитесь над их изучением, то сможете изготовить модели многогранников из бумаги.

Если сделать такие модели из цветной бумаги, то у вас получатся геометрические игрушки, которые вы можете использовать как украшение для новогодней ёлки.

Читайте также: