Сообщение по алгебре 7 класс на тему линейные уравнения

Обновлено: 04.07.2024

Линейное уравнение с одной переменной — общие сведения

С темой уравнений можно познакомиться на первых уроках алгебры. В школьном курсе предложено такое объяснение: уравнение является равенством с неизвестным, которое необходимо вычислить. Неизвестное, или переменную, принято обозначать с помощью латинских букв.

Уравнение является математическим равенством с одной или несколькими неизвестными величинами.

Значение неизвестных определяется так, чтобы при подстановке в уравнение оно обращало его в верное числовое равенство.

Рассмотрим следующее выражение:

Если посчитать значение левой части, уравнение станет верным числовым равенством, то есть:

Еще одно выражение:

Здесь имеется некая переменная х, которую нужно вычислить. Уравнение в этом случае станет справедливым равенством, если найденное значение х оправдает знак равенства. Тогда левая часть выражения станет равна правой части.

Специфика преобразований при работе с алгебраическими уравнениями состоит в том, чтобы оставить слева в выражении многочлен от неизвестных, а правую часть обратить в ноль.

Линейное уравнение — это уравнение, записанное в виде:

где а и b являются действительными числами.

Корень уравнения, сколько их всего

Корень уравнения является таким числом, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает правую и левую части выражения.

Решить уравнение — определить все из возможных его корней, либо доказать их отсутствие.

Принципы поиска корней уравнения ах + b = 0:

• при а, отличном от нуля, уравнение имеет только один корень;
• когда а имеет нулевое значение, уравнение не имеет корней;
• если а и b равны нулю, тогда корнем уравнения является любое число.

Как решать, описание алгоритма

Правило переноса: если требуется перенести член из одной части уравнения в другую, то нужно изменить знак этого члена на противоположный.

Рассмотрим действие данного правила на примере:

Заметим, что в уравнении имеется пара частей:

• (х + 3) является левой частью;
• 5 — это правая часть.

Переместим число 3 вправо, изменив его знак на противоположный:

В итоге получилось верное числовое равенство. Это значит, что корень определен правильно.

Разберем еще одно уравнение:

Переместим член 5х влево с заменой знака на противоположный:

После приведения подобных вычислим х:

Правило деления: обе части любого уравнения допускается делить на одно и то же число.

Рассмотрим применение этого правила на практике:

Здесь при неизвестном записан числовой коэффициент в виде числа 4. Преобразуем уравнение так, чтобы числовой коэффициент при х стал равным единице. Для этого нужно поделить обе части уравнения на число 4:

Далее выполним сокращение дробей и найдем корень уравнения:

Разберем вариант, когда перед неизвестной переменной стоит знак минуса:

Выполним сокращение обеих частей уравнения на число -4:

Когда перед скобками стоит знак минуса, который необходимо исключить, следует изменить знаки внутри скобок на противоположные. В результате при вычислениях не будет допущена ошибка, что особенно важно при решении заданий на системы уравнений, примеров с разным количеством неизвестных.

Стандартный алгоритм решения линейных уравнений:

1. Раскрыть скобки при их наличии.
2. Сгруппировать члены с неизвестной переменной в одной части уравнения. Остальные члены должны остаться в другой части уравнения.
3. Привести подобные в обеих частях уравнения.
4. Решить уравнение вида aх = b, разделив обе части уравнения на числовой коэффициент a при неизвестном x.

Упростить решение задач на линейные уравнения можно методом использования следующей схемы:

Примеры задач для 7 класса с объяснением

Найти корни уравнения:

Перенесем единицу вправо, изменив знак на отрицательный:

Далее разделим уравнение на число 6, которое является общим множителем:

Требуется решить уравнение:

5 ( х − 3 ) + 2 = 3 ( х − 4 ) + 2 х − 1

В первую очередь избавимся от скобок:

5 х − 15 + 2 = 3 х − 12 + 2 х − 1

Далее сгруппируем члены уравнения, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:

5 х − 3 х − 2 х = 0 − 12 − 1 + 15 − 2

Затем следует привести подобные:

Ответ: х является любым числом.

Нужно вычислить неизвестную х :

Выполним вычисления по правилу деления:

Найти решение уравнения:

4 ( х + 2 ) = 6 − 7 х

Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:

Вычислить корни уравнения:

3 x - 4 4 = 7 x 3 + 2

Выполним вычисления, руководствуясь стандартным алгоритмом решения линейных уравнений:

12 × 3 x - 4 4 = 12 × 7 x 3 + 12 × 2

3 ( 3 x - 4 ) = 4 × 7 х + 24

9 х – 12 = 28 х + 24

9 х – 28 х = 24 + 12

Решить линейное уравнение:

В первую очередь избавимся от скобок:

5 х − 15 + 2 = 3 х − 2 + 2 х − 1

Затем выполним группировку членов с неизвестными, а справа оставим свободные члены:

Ответ: данное уравнение не имеет решений.

Решить линейное уравнение:

2 ( х + 3 ) = 5 − 7 х

Выполним вычисления, согласно стандартному алгоритму решения линейных уравнений:

Сначала мы решаем уравнения в школе в тетрадях, а потом в уме на совещаниях. В статье расскажем, как решать самые простые уравнения быстро и легко.

О чем эта статья:

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:

если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

если а = 0 — уравнение корней не имеет;

если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

• кубические,
• уравнения четвертой степени,
• иррациональные и рациональные, и другие.

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12

Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

-4x = 12 | : (-4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

1. Раскрываем скобки, если они есть.
2. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
3. Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
4. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).

Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным, которые встречаются в начале курса алгебры 7 класса.

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:

(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.

Ответ: x — любое число.

Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:

а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:

Это уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Приводим подобные слагаемые:

Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

В следующий раз рассмотрим сводящиеся к линейным уравнениям уравнения с дробями.

14 комментариев

А в третьем уравнении ошибку вы допустилтхи. Перенесли неправильно 60х. Ответ должен быть х=24/53.

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

Свойство № 1
или
правило переноса

Запомните!

При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный .

Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

Важно!

Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

Рассмотрим другое уравнение.

Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

Свойство № 2
или
правило деления

Запомните!

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число .

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Важно!

При делении на отрицательное число помните про правило знаков.

Примеры решения линейных уравнений

Рассмотрим другие примеры решения линейных уравнений. Обычно для решения уравнений нужно применять оба свойства (правило переноса и правило деления).

Читайте также:

  
• Интересное сообщение о реке дон
  
• Сообщение на тему кодирование графической информации 8 класс
  
• Сжатое сообщение о событиях
  
• Сообщение на тему геологическое строение и рельеф забайкальского края
  
• Учреждения культуры челябинска сообщение