Сообщение о треугольнике пенроуза

Обновлено: 30.06.2024

Изобретение трибара

Трибар был изобретен в 1934 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом , работы которого, однако, оставались в значительной степени неизвестными публике до 1980-х годов.

Его еще раз изобрел математик Роджер Пенроуз , в честь которого он также назван. В 1954 году он принял участие в международном конгрессе математиков в Амстердаме , по случаю которого была организована выставка картин голландского художника-графика М.К. Эшера . Вдохновленный изображениями Эшера, он сам пытался конструировать невозможные фигуры. Принцип невозможных фигур казался ему наиболее ясно реализованным в Трибаре. Вместе со своим отцом, Лайонелом Пенроузом , который был вдохновлен проектами своего сына по созданию бесконечной лестницы Пенроуза , он опубликовал статью о Tribar в British Journal of Psychology в 1958 году.

Трибар в искусстве

В 20 веке Рейтерсвард экспериментировал с изображением невозможных фигур, в том числе фигур Трибара, с 1934 года. Однако только в 1980-х его творчество привлекло внимание масс. В то время Шведская почта также опубликовала три марки с невозможными объектами из Reutersvärds, основанные на принципах, аналогичных принципам Tribar.

Невозможное все-таки возможно. И яркое подтверждение тому – невозможный треугольник Пенроуза. Открытый еще в прошлом веке, он до настоящего время часто встречается в научной литературе. И как бы это удивительно ни звучало, но его можно изготовить даже самостоятельно. И сделать это совсем несложно. Многие любители рисовать или собирать оригами уже давно смогли это сделать.

Значение треугольника Пенроуза

Понимают под данными определениями одну из основных невозможных фигур. Если судить по названию, то получить подобную фигуру в реальности невозможно. Но на практике было доказано, что сделать это все-таки можно. Вот только форму треугольника фигура будет принимать, если смотреть на нее с определенной точки под нужным углом. Со всех остальных сторон фигура вполне реальная. Она представляет собой три ребра куба. И изготовить подобную конструкцию легко.

История открытия

Возможно, рисунок Реутерсварда так и остался бы малоизвестным. Но в 1954 году шведский математик Роджер Пенроуз написал статью о невозможных фигурах. Это стало вторым рождением треугольника. Правда, ученый представил его в более привычном виде. Он использовал не кубики, а балки. Три балки соединялись между собой под углом в 90 градусов. Отличие также было в том, что Реутерсвард использовал параллельную перспективу во время рисования. А Пенроуз применил перспективу линейного характера, что придало рисунку еще больше невозможности. Такой треугольник был опубликован в 1958 году в одном из британских журналов о психологии.

В восьмидесятых годах прошлого столетия трибар и другие невозможные фигуры изображались на государственных почтовых марках Швеции. Продолжалось это на протяжении нескольких лет.

В конце прошлого века (а точнее в 1999 году) в Австралии была создана скульптура из алюминия, изображавшая невозможный треугольник Пенроуза. Она достигала в высоту 13 метров. Подобные скульптуры, только меньшие по размерам, встречаются и в других странах.

Невозможное в реальности

Как можно было уже догадаться, треугольник Пенроуза на самом деле не является треугольником в обычном понимании. Он представляет собой три грани куба. Но если смотреть с определенного угла, получается иллюзия треугольника за счет того, что на плоскости полностью совпадают 2 угла. Зрительно совмещается ближний от смотрящего и дальний углы.

Если быть внимательным, то можно догадаться, что трибар является не чем иным, как иллюзией. Реальный вид фигуры может выдать тень от нее. По ней видно, что на самом деле углы не соединяются. Ну и, конечно же, все становится понятно, если фигуру взять в руки.

Изготовление фигуры своими руками

Треугольник Пенроуза можно собрать самостоятельно. К примеру, из бумаги или картона. И помогут в этом схемы. Их нужно всего лишь распечатать и склеить. В Интернете представлено две схемы. Одна из них немного легче, другая – посложнее, но более популярная. Обе представлены на рисунках.

Треугольник Пенроуза станет интересным изделием, которое обязательно понравится гостям. Он точно не останется незамеченным. Первым этапом для его создания является подготовка схемы. Она переносится на бумагу (картон) с помощью принтера. А далее все еще проще. Ее нужно просто вырезать по периметру. На схеме уже имеются все необходимые линии. Удобнее будет работать с более плотной бумагой. Если схема распечатана на тонкой бумаге, а хочется чего-то поплотнее, заготовка просто прикладывается на выбранный материал и вырезается по контуру. Чтобы схема не сдвигалась, ее можно прикрепить скрепками.

Далее нужно определить те линии, по которым заготовка будет сгибаться. Как правило, на схеме она представлена пунктирной линией. Сгибаем деталь. Далее определяем места, которые подлежат склеиванию. Они промазываются клеем ПВА. Деталь соединяется в единую фигуру.

Деталь можно раскрасить. А можно изначально использовать цветной картон.

Рисуем невозможную фигуру

Треугольник Пенроуза можно также нарисовать. Для начала на листе рисуется простой квадрат. Размер его не имеет значения. С основанием на нижнюю сторону квадрата, рисуется треугольник. В его углах внутри рисуются небольшие прямоугольники. Их стороны нужно будет стереть, оставив лишь те, что являются общими с треугольником. В результате должен получиться треугольник с усеченными углами.

С левой части верхнего нижнего угла проводится прямая линия. Такая же линия, но немного короче, рисуется из левого нижнего угла. Параллельно основанию треугольника проводится линия, выходящая из правого угла. Получается второе измерение.

По принципу второго рисуется третье измерение. Только в данном случае все прямые основываются на углы фигуры не первого, а второго измерения.

Невозможные фигуры образуются линиями, соединенными между собой самым противоречивым образом, с искажением перспективы. При зрительном восприятии таких изображений возникает эффект оптической иллюзии, запредельной реальности. Предлагаю вашему вниманию небольшую коллекцию из этих причудливых фигур.

Треугольник Пенроуза

Автором треугольника Пенроуза, или невозможного треугольника (трибара Пенроуза), является шведский художник Оскар Реутерсвард. Свое знаменитое изображение, принесшее ему славу “отца невозможных фигур”, он создал в 18 лет совершенно случайно. Это произошло в 1934 году на уроке латыни, на котором гимназист Оскар Реутерсвард занимался разрисовыванием учебника.

Внимание широкой публики треугольник Реутерсварда привлек в 1950-х годах, когда психиатр Лайонел Пенроуз и его сын сэр Роджер Пенроуз — впоследствии выдающийся математик, лауреат Нобелевской премии — признали “абсолютную невозможность” этой фигуры. В 1958 году в Британском журнале психологии они опубликовали статью “Невозможные объекты: особый тип визуальной иллюзии”. Кроме того, объекты невозможных геометрических форм были представлены в работах голландского художника-графика М. К. Эшера.

В Викисловаре треугольник Пенроуза определяется как “оптическая иллюзия, возникающая при взгляде на невозможный монолитный объект, состоящий из трех прямолинейных брусков квадратного сечения, которые встречаются попарно под прямым углом в вершинах образуемого ими треугольника”.

Из этого описания следует, что линии невозможной фигуры соединены каким-то неправдоподобным образом. Подобные формы могут существовать только вопреки законам евклидовой геометрии.

При рассмотрении этого рисунка может показаться, что правая сторона треугольника удаляется от вас, в то время как левая приближается. Тем не менее, они соединены одним и тем же прямоугольным бруском и находятся в одной плоскости.

В 1854 году Пенроуз посетил лекцию Эшера и был настолько восхищен его магической геометрией, что начал сам придумывать невообразимые конструкции. Одна из них вдохновила Эшера на создание знаменитой литографии “Водопад”.

Рис. 2: На литографии Эшера изображен водовод, в структуру которого входят два треугольника Пенроуза. Акведук начинается у гидроколеса. Наблюдателю кажется, что водные струи устремлены вверх. Играя с логикой пространства, художник изобразил невозможный круговорот воды в акведуке. Вершины двух башен увенчаны многогранниками, демонстрируя интерес художника к математике.

В рамках той же концепции была создана еще одна невероятная фигура, известная как Невозможный / Иррациональный куб.

Треугольник Пенроуза — одна из основных невозможных фигур, известная также под названиями невозможный треугольник и трибар.

Содержание

История

Был открыт в 1934 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом, который изобразил его в виде набора кубиков. В 1980 году этот вариант невозможного треугольника был напечатан на шведских почтовых марках.

Скульптуры

13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия)

Другие фигуры

Хотя вполне возможно построение аналогов треугольника Пенроуза на основе правильных многоугольников, визуальный эффект не столь поразителен. При увеличении количества сторон объект кажется просто искривленным или скрученным.

См. также

Ссылки

Зрительные иллюзии
Геометрические тела
Изобразительное искусство

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Треугольник Пенроуза" в других словарях:

Невозможный треугольник — Треугольник Пенроуза Скульптура невозможного треугольника, Перт, Австралия Треугольник Пенроуза одна из основных невозможных фигур, известная также под названиями невозможный треугольник и трибар. Был открыт в 1938 году шведским художником … Википедия

Эшер, Мауриц Корнелис — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Эшер. Мауриц Корнелис Эшер Автопортрет, 1929 год Имя при рождении: Maurits Cornelis Escher Дата рождения … Википедия

Используя методы непериодического разбиения плоскости, он наглядно показал, как из простейших элементов можно создать великое разнообразие и в чем заключается истинная сила хаоса. Таким образом, он создал так называемую мозаику Пенроуза, позволяющую с помощью двух плиток простейшей формы замостить бесконечную плоскость никогда не повторяющимся узором. Сегодня эта мозаика очень популярна среди декораторов.

Одним из его главных достижений в физике является доказательство того, что черные дыры могут существовать как реальные физические объекты.

Прочих его достижений так же не счесть, и поскольку это не является темой нашего обсуждения, я не буду приводить их здесь все. Остановимся на невозможных объектах. Эти объекты приобрели невероятную популярность, после того как он опубликовал свою статью о них в 1958 году в Британском журнале психологии. Самыми узнаваемыми являются Лестница Пенроуза и Треугольник Пенроуза. Оба объекта не могут существовать в реальности, но легко могут быть изображены как проекции на двухмерное пространство. При этом двухмерная проекция является полностью согласованной в соответствии с правилами проецирования двухмерных фигур. Например, если произвести геометрический анализ Лестница Пенроуза в стереометрии, то действительно получается, что она образует замкнутую поверхность, по которой можно либо вечно спускаться, либо вечно подниматься.

Треугольник Пенроуза является еще более узнаваемой фигурой, такой, что в ее честь даже воздвигнута 13-метровая скульптура в Австралии.

Естественно данная фигура выполнена по принципу оптической иллюзии, и увидеть Треугольник Пенроуза можно только с одного ракурса.

Этот треугольник затрагивает одну из самых извечных тем в философии: вопрос, где существуют такие невозможные объекты. Первым, кто попытался найти для них обитель был Платон, один из тройки древнегреческих философов связанных узами ученик-учитель, мудрость которых до сих пор оказывает влияние на наш мир. Платон, ученик Сократа, учитель Аристотеля, придумал мир чистой абстракции, место, где обитают все абстрактные вещи и понятия, в том числе и математические конструкции, место за пределами физической вселенной, где не существует времени и пространства.

Платон говорил, что человек способен жить в двух мирах одновременно в мире физическом и мире абстрактном. Он связывал эту особенность человека с его внутренним дуализмом, и исходя из этого выводил понятие вечной души, которая в отличии от разложимого тела способна существовать вечно в мире чистой абстракции. Однако мы не будем сильно ударятся в метафизику, и остановимся на этом в изучении идей Платона.

Пенроуз же спустя тысячелетия продолжил изучать идеи Платона о взаимодействии реального и абстрактного мира. Прежде всего, он разделил мир чистых истин Платона на два: на собственно платоновский мир и на мир ментальный. В платоновском мире Пенроуза по-прежнему живут идеальные идеи и концепции, но по-большей части он обращается только к абстрактной математике, которая существует в этом мире, поэтому мы будем называть его Математическим миром. А вот Ментальный мир – это мир, который создается в наших головах. Все что может чувствовать, думать и фантазировать человек находится именно там.

Дальше Пенроуз установил связи между тремя мирами: Математическим, Физическим и Ментальным. Прежде всего он определил, что миры происходят один из другого.

Физический мир подчиняется математическим законам, и по мере того как мы все больше узнаем о нем и заглядываем вглубь материи и пространства, то убеждаемся, что все меньше физического там остается. Самые фундаментальные разделы физики: теория относительности и квантовая механика оперируют настолько абстрактными математическими понятиями, что нам кажется, что сама реальность материи, пространства и времени в них растворяется в этой самой математике. Большой взрыв, от которого произошла наша вселенная, и вовсе содержал в себе такие энергии, что обе эти теории при его описании вообще вырождаются в чистую математику, оперирующую бесконечными значениями. Следовательно, физический мир происходит из мира математики.

Происхождение ментального мира из мира физического и вовсе кажется очевидным. Человек это физическое тело, состоящее из материи и существующее в пространстве и времени. Человек произошел на планете, которая сформировалась в космосе из пепла сгоревших звезд, которые в свою очередь зародились из газа, созданного в Большом взрыве. Но человек может думать и создавать свой собственный ментальный мир. Более того, физические условия, внешние воздействия, а так же внутренние биохимические процессы продолжают влиять на ментальный мир человека на протяжении всей его жизни.

Очень символично, что изображение происхождения и взаимодействия трех миров нашего бытия по Пенроузу так напоминает невозможный треугольник этого же автора.

Приглядевшись к Треугольнику Бытия повнимательней, можно заметить еще одну важную особенность, на которую указывает сам Пенроуз. Каждый из миров происходит из малой части предыдущего. И это действительно так.

В математике существует огромное количество концепций, уравнений и формул, но только часть из них воплощена в физическом мире. В основе нашего мира как считают многие физики лежит некая основополагающая система уравнений, которая пока правда не найдена. На сегодняшний день мы имеет квантовую механику со своими формулами и теорию относительности со своими, при чем часть этих формул противоречат друг другу. Однако физики верят, что наступит день, когда они смогут описать квантовую природу гравитации, и тогда они сделают из этих двух теорий одну единую, формулы которой перестанут противоречить друг другу, и тогда можно будет объявить, что математическое происхождение нашего мира полностью доказано. Но вот, что интересно… Можно ведь напридумовать множество других формул, которые так же не будут противоречить друг другу, но при этом не будут описывать нашу вселенную. Вопрос, какие вселенные тогда они будут описывать? Ответ: те, которые не существуют в реальности, но их абстракция есть в мире Математики. Большая часть этих формул порождает мертвые вселенные, нежизнеспособные, которые просуществуют меньше мгновения, или в которых не будет даже материи. Но, тем не менее, раз формулы существуют, то в этой же абстракции существуют и потенциальные возможности существования этих вселенных. Поэтому математический мир намного больше физического и происхождение последнего является лишь его малой частью.

То, что мир ментальный происходит из малой части мира физического так же очевидно. Это становится особенно очевидно, когда ночью смотришь в звездное небо и представляешь, как ничтожен человек в масштабах вселенной. Физический мир воплощает разнообразные формы материи, большинство из которых мертвы (так же как и мертвы вселенные создаваемые другими законами природы). Но, так или иначе, человек лишь крохотная часть из их разнообразия.

Так же и ментальный мир человека намного шире мира математики. Ведь, признаться, мы не так уж и часто думаем о математике. Нас обычно заботят другие вещи, и наши думы направлены зачастую никак не на изучение теорем. Мы думаем о любви, о выживании, о развлечении, о духовности. Нас интересуют культура, политика, экономика, искусство. Мы способны создавать собственные виртуальные миры, писать книги, придумывать суеверия, эзотерику или даже собственную религию. Мы можем жить в иллюзиях и заблуждениях, касательно собственной жизни и окружающего мира. Все это существует в нашем ментальном мире. Там существуют даже неправильные математики, где два плюс два равно пяти, или где число пи будет равно ровно четырем. Конечно, эти математики будут нежизнеспособны и не смогут описать наш физический мир, так же как неживая материя физического мира неспособна породить разум, так же как большинство математических формул создающих вселенные неспособные породить материю, но они существуют, по меньшей мере, в головах миллионов двоечников по всему миру.

Еще важно отметить, что само происхождение одного мира из другого по Пенроузу является непознаваемым, это трансцендентность в чистом виде. То есть по определению невозможно понять, как мир математики порождает мир физический, а тот в свою очередь порождает мир ментальный (или почему мы можем создавать свои собственные миры), и откуда в наших головах возникает логическая согласованная математика.

На этом можно было бы и закончить, но в качестве послесловия я хотел бы добавить к этому несколько своих умозаключений. Пенроуз кончено в своих размышлениях ушел намного дальше Платона. Но все же он ничего не говорит про обратную связь миров. А ведь, на самом деле, в этих мирах можно проследить не только признаки их происхождения друг из друга, но и то, как они вырождаются обратно.

Примером вырождения мира физического обратно в мир математики может служить черная дыра. Материя, пространство и время внутри черной дыры испытывают такие экстремальные условия, что все физическое внутри черной дыры превращается обратно в чистую математику, оперирующую бесконечными величинами.

Так же можно найти следы вырождения логически согласованной математики обратно в ментальный мир нелогичных суждений. Примером являются парадоксы, которыми изобилует математика, начиная со всем известного с уроков арифметики деления на ноль и заканчивая парадоксами теории множеств, такими как: парадокс Рассела, парадокс Лжеца, парадокс континуум-гипотезы. Парадокс ломает логику и заставляет нас задуматься над правильностью наших логических построений, он выталкивает нас из мира математики обратно в мир ментальный, где есть только домыслы, фантазии и предположения. Вообще, кстати, теория множеств, самая фундаментальная отрасль в математике (так же как теория относительности и квантовая механика в физике), изобилует парадоксами, и это неспроста. Математик Курт Гедель доказал так называемую Теорему о Неполноте, согласно которой любое полностью законченное замкнутое построение в математике должно содержать парадокс. Что значит замкнутое математическое построение? Когда мы что-то решаем, доказываем или выводим в математике, мы отталкиваемся от каких-то аксиом. Аксиомы – это утверждения, принимаемые без доказательств – то есть их нужно просто принять такими, какие они есть и жить с этим. Но как только мы пытаемся построить замкнутое математическое построение, в котором нет необъяснимых аксиом (или в котором аксиомы сами себя объясняют), то мы обязательно столкнемся с парадоксом, а значит, мы обязательно вывалимся из мира строгой логики в ментальный мир. Об этом и говорит Геделевская теорема о неполноте.

Давайте же попробуем понять, как в итоге должен выглядеть это треугольник Бытия. Итак:

Математический мир трансцендентально происходит из малой части ментального мира и может обратно в него вырождаться.
Физический мир трансцендентально происходит из малой части математического мира и может обратно в него вырождаться.
Ментальный мир трансцендентально происходит из малой части физического мира и может обратно в него вырождаться.

Читайте также: