Сообщение о треугольнике факты

Обновлено: 30.06.2024

Треугольник – самая известная и одна из старейших фигур. С виду треугольник очень прост – три вершины и три стороны и ограниченная ими плоскость, но эта фигура породила собой целую науку – тригонометрию. Давайте же разберемся, как возникла эта фигура, и кто её изучал.

Первые упоминания о фигуре были обнаружены на папирусах Древнего Египта (тут стоит отметить, что некоторым из них уже более 4000 лет). Затем большое внимание к треугольнику проявляли древние Греки: создание теоремы Пифагора и формула Герона. К слову эти открытия были сделаны примерно 2000 лет назад. Самый известный математик древности – Пифагор черпал информацию у египтян. Без полученных там знаний он бы не смог создать свою великую теорему, например египтянам было известно о том, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 всегда будет являться прямоугольным – основа теоремы Пифагора.

Треугольник является одной из ключевых и самых важных и самых изученных фигур в мире, несмотря на это его изучение продолжается множеством ученых до настоящего времени и закончится еще не скоро. Свойства и признаки, которые находят у треугольника, активно применяются во всех сферах жизни человека и областях промышленности, а законы, открытые несколько тысяч лет назад, никогда не устаревают и являются вечными.

Доклад №2

Треугольник - фигура, состоящая из трёх отрезков которые соединяют 3 непересекающихся между собой точки, самая элементарная прямолинейная фигура, упоминания о которой шли ещё в глубокой древности. В силу того что данная фигура довольно часто встречалась в практической жизни, наши предки довольно быстро принялись за её изучение.

Помимо изображений данной фигуры, в музеях можно встретить папирусы с задачами о треугольниках, их решениями и даже выводами, которые позже приобрели название теоремы. Первые упоминания о этой фигуре следуют из Древнего Египта, примерно 4000 лет назад. Ориентировочно в 500 года до нашей эры Древнегреческие учёные, во главе с Пифагором Самосским сделали первое открытие в сфере геометрии, которую и назвали в честь своего предводителя - теорема Пифагора. В этом великом открытии ему помогли египтяне, которые к тому времени уже пришли к выводу, что один угол треугольника, имеющий стороны 3,4,5 всегда будет 90 градусов.

Именно благодаря этим знаниям Пифагор и сделал дальнейшие выводы, которые сейчас мы с вами часто используем при решении геометрических задач. Знаний полученных в результате работы Пифагора вполне хватало для практической жизни людей того времени, поэтому интерес к треугольнику стал постепенно угасать, а после и вовсе пропал. Вновь зародился он лишь в 15 веке нашей эры. В эти годы начало развиваться кораблестроительство, выпускалось множество техники которая могла бороздить моря и океаны. Однако для этого требовалось знании навигации. Поэтому данная фигура обрела “новую жизнь”, которую в последующем назвали “Новая геометрия треугольника”. Именно в это время и были сделаны большинство основных признаков и свойств, используемые в современной геометрии.

Особенный вклад в развитие данной отрасли внёс Эйлер Леонгард , который открыл новые факты о свойствах треугольника, в частности известную теорему Эйлера; Иоганн Мюллер - немецкий учёный , автор сочинения “О треугольниках всех видов”; и другие математики. Теперь вы знайте, некоторые факты из истории появления геометрического треугольника. Теперь пару слов о одном из самой известной загадке человечества - Бермудском треугольнике. Так называют район в Саргассовом море (Атлантический океан) , в котором происходят загадочные исчезновения кораблей и самолётов.

Этот район имеет форму треугольника. Версий куда же на самом деле пропадают эти воздушные и морские судна много, начиная от погодных аномалий заканчивая похищением Инопланетных жителей. Власти данного участка земли относятся скептически к таким версиям и утверждают что эти происшествия происходят не чаще чем где либо, якобы, всё это слухи. Что на самом деле происходит в этом треугольнике, вы можете знать из известной книги Чарльза Берлица “Бермудский треугольник”.

7 класс, 5 класс

Треугольник (история треугольника)

Фернан Магеллан получил свою славу благодаря тому, что смог доказать то, что раньше было недоказанное. Он первым высказался о шарообразности на шей планеты, и смог это полностью доказать. Кроме этого он открыл пролив, который был назван в его честь,

Черное море появилось не просто так, это все один из этапов формирования планеты Земля. Изначально Земля была похожа на большой раскалённый шар. Через многие годы, а точнее миллиарды лет, планеты начала остывать. Соответственно пошел процесс

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Презентация по теме: Геометрические фигуры: Треугольник Интересные факты о треугольнике

Треуго́льник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Виды треугольников Треугольники бывают прямоугольными (если один из его углов прямой). остроугольными (если все его углы острые), тупоугольными (если один из его углов тупой), Треугольник называется равносторонним, если все три стороны равны, равнобедренным, если две его стороны равны. разносторонним, если все его стороны разные.

Треугольники были известны еще в Древние времена. Об этой фигуре упоминается на египетских папирусах четырех тысячелетней давности.

Треугольник является одной из первых геометрических фигур, которая стала использоваться в орнаментах древних народов.

Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она была необходима для человека при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов.

В Китаи гордятся китайским треугольником и считают, что он является первоначалом всех фигур а все остальные фигуры — лишь его частные случаи.

Дата изобретения и первого использования китайского треугольника точно неизвестна. Предположительно, он был создан китайскими инженерами во время создания Великой Стены, однако вполне возможно, что его прототипы применялись и гораздо раньше

Даже в картинах Леонардо да Винчи можно заметить, что очертания фигур образуют собой треугольник.

Треугольник первая буква большого числа алфавитов. Она имеет финикийское происхождение и, чаще всего изображается в виде перевернутого треугольника. Числовое значение — единица.

Треугольник состоит из нескольких частей. Если их расположить по другому, то получится точно такой же треугольник, но с одним маленьким изъяном. Не будет хватать одного квадрата. Как такое возможно? Или все-таки это иллюзия.

Треугольники, символизирующие стихии, таковы: огонь (обращенный вершиной вверх), воду (обращенный вершиной вниз), воздух (обращенный усеченной вершиной вверх), землю (обращенный усеченной вершиной вниз).

Печать Соломона — другое название звезды Давида, образованной наложением друг на друга двух треугольников, т.е. гексаграммы. По преданию, царь Соломон с помощью этого знака управлял духами, заключенными в медный сосуд. Считается, что печать Соломона является мощным амулетом, способным защитить своего обладателя от влияния злых духов.

Спасибо за внимание

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 610 111 материалов в базе

Материал подходит для УМК

25. Треугольники и их виды

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

30.09.2017 18002
PPTX 1.8 мбайт
70 скачиваний
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бывшева Оксана Федоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Треугольник это геометрическая фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, попарно их соединяющих.

В любом треугольнике три угла и три стороны.

$180^<\circ> Сумма углов любого треугольника равна$
.

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Виды треугольников

остроугольными (если все его углы острые),
тупоугольными (если один из его углов тупой),
прямоугольными (если один из его углов прямой).

равнобедренным, если две его стороны равны.
равносторонним, если все три стороны равны,
разносторонним, если все его стороны разные.

Основные линии треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.

Признаки равенства треугольников

I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак (по стороне и прилежащим углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Признаки подобия треугольников

Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.

I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подробнее про признаки подобия треугольников читайте по ссылке.

Теоремы треугольников

Для любого треугольника справедливы следующие теоремы.

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$c^ =a^ +b^ -2ab\cos (\widehat)$

Подробнее про теорему косинусов читайте по ссылке.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной вокруг этого треугольника окружности:

$\frac <\sin \alpha > =\frac =\frac =2R$

Подробнее про теорему синусов читайте по ссылке.

Примеры решения задач

Задание	Доказать, что в равнобокой трапеции диагонали равны.
Доказательство	В равнобокой трапеции рассмотрим треугольники и (рис. 1). Так как $AB=CD, \angle BAD=\angle CDA, AD$ – общая сторона, то треугольники и равны по первому признаку, а значит, равны все их элементы, т.е. .

Что и требовалось доказать.

Задание	В треугольнике стороны см см см. На стороне отмечена точка так, чтобы см. Найти отрезок .
Решение	Рассмотрим треугольники и . Запишем отношение сторон и :

Так как выполняется равенство отношений, то соответствующие стороны треугольников пропорциональны, а также – общий угол. Следовательно, треугольники и – подобны (по второму признаку подобия). Найдем сторону :

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$ включительно.

Угол $\alpha$ называется острым, если $0^\circ , прямым – если \(\alpha=90^\circ$ , тупым – если $90^\circ , и развернутым – если \(\alpha=180^\circ$ .

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

Теорема

Смежные углы $\alpha$ и $\beta$ в сумме дают $180^\circ$ .

Вертикальные углы равны: $\alpha=\gamma$ .

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$ .

Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, проведенный под углом $90^\circ$ .

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей $c$ накрест лежащие углы равны: $\angle 1=\angle 2$ , то такие прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей $c$ сумма односторонних углов $\angle 1$ и $\angle 3$ равна $180^\circ$ , то такие прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых $a$ и $b$ секущей $c$ соответственные углы равны: $\angle 1=\angle 4$ , то такие прямые параллельны.

Теоремы: свойства параллельных прямых

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна $180^\circ$ .

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Определения

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$ .

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и покажем, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ .

Проведём через вершину $B$ прямую $a$ , параллельную стороне $AC$ .

Углы $1$ и $4$ являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых $a$ и $AC$ секущей $AB$ , а углы $3$ и $5$ – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей $BC$ . Поэтому \[\begin &\angle 4 = \angle 1, \ \angle 5 = \angle 3. \qquad \qquad \qquad (1) \end\]

Очевидно, сумма углов $4, \ 2$ и $5$ равна развёрнутому углу с вершиной $B$ , то есть $\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180^\circ$ . Отсюда, учитывая равенства $(1)$ , получаем: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$ .

Определение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: $\angle BCD=\angle BAC+\angle ABC$ .

Доказательство

Угол $4$ – внешний угол треугольника, смежный с углом $3$ . Так как $\angle 4 + \angle 3 = 180^\circ$ , а по теореме о сумме углов треугольника $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$ , то $\angle 4 = \angle 1 + \angle 2$ , что и требовалось доказать.

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона - основанием.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Пусть $ABC$ – равнобедренный треугольник, $AB = BC$ , $BD$ – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $BCD$ : $AB = BC$ , $\angle ABD = \angle CBD$ , $BD$ – общая. Таким образом, $\triangle ABD = \triangle BCD$ по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что $AD = DC$ , следовательно, $BD$ – медиана.

Кроме того, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а $AB = BC$ , следовательно, \[\begin &\angle ADB = \angle CDB, \qquad \qquad \qquad (2) \end\] но $\angle ADB + \angle CDB = \angle ADC$ – развёрнутый, следовательно, $\angle ADB + \angle CDB = 180^\circ$ , откуда при учёте $(2)$ : $\angle ADB = 90^\circ = \angle CDB$ , то есть $BD$ – высота.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Проведем биссектрису $BD$ (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда $\triangle ABD=\triangle CBD$ по первому признаку, следовательно, $\angle A=\angle C$ .

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Теорема: неравенство треугольника

В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.

Определения

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$ .

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$ , равен половине гипотенузы.

Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла $30^\circ$ .

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой теории по геометрии о треугольниках. Школьных учебников в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.

Попрактиковаться в решении задач, в которых применяется теория смежных углов и другие теоремы, школьники могут в режиме онлайн.

Читайте также: