Сообщение на тему вычисление неберущихся интегралов

Обновлено: 05.07.2024

Мы не сдаём позиции и продолжаем разбирать интегралы, а точнее их подраздел - неберущиеся интегралы. Сегодня, вопреки интегралам мы столкнёмся ещё и с функциональными рядами. "Каким боком это относится к интегралам?" спросите вы. Долго не задерживаясь приступим к разъяснению.

Сама фраза " неберущийся " должна настораживать. Ведь не может быть, что мы не сможем найти значение площади под кривой, только из-за того, что вычислить интеграл невозможно. Данной проблеме было найдено решение в теории функциональных рядов. Что любую функцию можно представить в виде суммы простейших функций, при условии, что на бесконечном интервале сумма этих функций будет равна исходной. Разложение функции делается, как правило с использованием ряда Тейлора или Маклорена . Ничего нет идеального, мы об этом знает. Вот и в нашем случае вычисление интеграла получается "не идеальным", иначе говоря, мы можем вычислить не конечное значение, а лишь приближённое. Стало понятно, всё зависит от количества частичных сумм, которые мы возьмём из разложения подинтегральной функции. То есть, чем больше мы их возьмём, тем точнее значение площади. Общее представление мы получили, остаётся дело за малым, применить на практике.

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности. Например, можно найти, не используя рекомендуемую подстановку , а применив искусственный прием:

Вряд ли стоит вычислять интеграл

разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Заметив, что числитель является производной знаменателя , легко получить:

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функцию для подынтегральной функции.

Первообразные от функции и других хорошо изучены, для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента .

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Итак, интеграл относится к неберущимся, если функция не является элементарной.

$\int e^<-\frac<x^ 1. Интеграл Пуассона > > dx =\sqrt <2\pi >\; \Phi \left(x\right)+C$

Функция называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике.

Интеграл Пуассона широко применяется в теории вероятности.

$\int \frac<\sin x> 2. Интегральный синус dx =\left(x\right)+C$

$\int \frac<\cos x> 3. Интегральный косинус dx =\left(x\right)+C$

$\int \frac<e^ 4. Интегральная экспонента > dx =\left(x\right)+C$

5. Интегральный логарифм

Этот интеграл нашел свое применение в теории чисел.

6. Интегралы Френеля:

$\int \sin \frac<\pi x^ > dx =S\left(x\right)+C \text< >;\text < >\int \cos \frac <\pi x^> dx =C\left(x\right)+C \text< >;\text < >\int \frac > dx \text< >;\text < >\int \frac > dx$

Применяются в физике.

Первooбразные для указанных функций хорошо изучены, для них составлены пoдpобныe таблицы значений для различных значений аргумента .

Неберущимся интегралом называется такой интеграл, который нельзя выразить через простые функции и данные функции неинтегрируемы и поэтому он неизвестен.

Данные неберущиеся интегралы нельзя найти аналитическим методом, лишь только приближенно, воспользовавшись существующими численными методами вычисления определенных интегралов, например, метод Симпсона, метод трапеций, метод прямоугольников

Список неберущихся интегралов:

4. неберущиеся эллиптический интеграл первого рода:

5. неберущиеся интеграл вероятности или Пуассона (данная функция часто применяется в теории вероятностей для вычисления функции Лапласа):

6. интегральная экспонента:

7. интеграл Френеля:

Дополнительные неберущиеся интегралы Френеля:

3779

Читайте также: