Сообщение на тему формулы нахождения площади треугольника

Обновлено: 30.06.2024

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Для всех треугольников

Площадь треугольника по основанию и высоте

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Для равнобедренных треугольников

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.

Таблица с формулами площади треугольника

Площадь треугольника - это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали 21 калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного.

Площадь треугольника

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

\cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)>

Формула для нахождения площади треугольника через 2 стороны и угол:

\cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)> , где a, b — стороны треугольника, α — угол между ними.

Площадь треугольника через основание и высоту

Формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

\cdot a \cdot h> , где a — основание треугольника, h — высота треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

Формула для нахождения площади треугольника через описанную окружность и стороны:

> , где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

Формула для нахождения площади треугольника через вписанную окружность и стороны:

> , где a, b, c — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Формулу можно переписать иначе, если учитывать, что > — полупериметр треугольника. В этом случае формула будет выглядеть так: S = , где p — полупериметр треугольника.

Формулы, позволяющие находить площадь треугольника , удобно представить в виде следующей таблицы.

a – любая сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

a – катет,
φ – прилежащий острый угол

a – катет,
φ – противолежащий острый угол

c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

где
a – любая сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник

где
a – любая сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Вывод формул для площади произвольного треугольника

Утверждение 1 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а h_a – высота, опущенная на эту сторону.

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

Замечание . Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Читайте также: