Сообщение на тему биссектриса знакомая и не очень

Обновлено: 04.07.2024

Для школьника проектно-исследовательская деятельность - это возможность раскрыть свои творческие способности. Это позволяет проявить себя индивидуально.

Проектно-исследовательская работа

Тема: Биссектриса знакомая и не очень

Выполнил: Лавринов Никита,

ученик 7 класса

Руководитель: Сотникова И.А.,

1. Определение и построение биссектрисы угла 4

2. Определение биссектрисы угла треугольника и замечательное свойство биссектрис треугольника 6

3. Занимательная информация о биссектрисе 9

Казалось бы, что такое биссектриса угла – знает каждый. Что тут сложного? Однако, просто знать – это одно, а вот использовать знание, применять его в деле – это другое. На уроках геометрии мы говорили о биссектрисе угла, биссектрисе угла треугольника и замечательном свойстве биссектрис треугольника.

Целью моей работы: показать замечательное свойство биссектрис треугольника с помощью построений циркуля и линейки.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации и дать определение биссектрисы угла, биссектрисы треугольника.

2. Выяснить, каким замечательным свойством обладают биссектрисы углов треугольника.

3. Выполнить построения с помощью циркуля и линейки.

Объект исследования: биссектриса угла и биссектриса угла треугольника.

Предмет исследования: замечательное свойство биссектрис треугольника.

Определение и построение биссектрисы угла

Биссектриса - это место равноудаленных точек сторон угла. В более простых терминах биссектриса представляет собой линию, которая делит угол пополам.

Биссектриса - луч, выходящий из верхней части угла и разделяющий его на два других равных угла.

Как построить биссектрису угла с помощью циркуля?

Задан угол с вершиной в точке А, биссектрису которого нужно построить. Данный угол выходит из вершины А.

Ставим циркуль в точку A и проводим окружность любого радиуса R. Заданный угол пересечется с начерченной окружностью в двух точках. Назовем их В и С.

Чертим еще две окружности такого же радиуса с центрами в точках В и С. При пересечении этих двух начерченных окружностей получаем точку, которую назовем буквой D.

С помощью линейки из точки А через точку D проводим луч. Полученный луч и будет биссектрисой заданного угла А.

Есть несколько правил, которые могут помочь Вам найти биссектрису. К примеру:

— биссектриса делит противоположную сторону треугольника в таком отношении, которое равно отношению двух остальных сторон;

— две биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны;

— все три биссектрисы любого треугольника пересекутся в центре вписанной в этот треугольник окружности (эти утверждения мы докажем в 8 классе).

Я построил с помощью циркуля и линейки биссектрису угла по данному алгоритму.(см Приложение №1)

Также можно построить биссектрису с помощью транспортира.
Например, если Вам нужно построить биссектрису угла, равного 78 градусов, то нужно приложить транспортир к одной из сторон этого угла, отметить точку возле метки 78 / 2 = 39 градусов и провести луч из вершины заданного угла через полученную точку. Это и будет биссектриса угла 78 градусов. (см Приложение №2)

Определение биссектрисы угла треугольника и

замечательное свойство биссектрис треугольника

В дополнение к биссектрисе угла имеется также биссектриса треугольника, поскольку треугольник содержит до трех углов, так что каждый треугольник может иметь три разных биссектрисы. Что такое биссектриса треугольника?

Биссектриса треугольника является отрезком биссектрисы угла, соединяющего его вершину с точкой на противоположной стороне треугольника.

Треугольник и его построения имеют важное значение в начальной геометрии. Одно из построений треугольника – биссектриса - представляет собой прямой отрезок, исходящий из одной вершины треугольника и соединяющийся с точкой на противолежащем ребре. При этом биссектриса делит пополам угол данной вершины. В общем случае построение биссектрисы треугольника сводится к проведению биссектрисы угла конкретной вершины. Это построение можно выполнить с помощью транспортира, с помощью циркуля и линейки. Однако построение биссектрисы равнобедренного и правильного треугольников можно провести с учетом их геометрических свойств без дополнительных инструментов.

Постройте заданный треугольник. Возьмите транспортир и измерьте угол вершины, из которой необходимо провести биссектрису. Поделите данный угол пополам.

Отмерьте от стороны треугольника, прилегающей к данной вершине, высчитанный угол. Поставьте точку, обозначающую половину угла вершины.

Проведите через вершину и отмеченную точку прямую линию так, чтобы она ограничивалась вершиной с одной стороны и противолежащей стороной треугольника с другой. Биссектриса треугольника построена.

Если заданный треугольник является равнобедренным или правильным, то есть у него равные две или три стороны, то его биссектриса, согласно свойству треугольника, будет являться также и медианой. А, следовательно, противолежащая сторона будет делиться биссектрисой пополам.

Измерьте линейкой противолежащую строну треугольника, куда будет стремиться биссектриса. Поделите данную строну пополам и поставьте в середине стороны точку.

Проведите прямую линию, проходящую через построенную точку и противолежащую вершину. Это и будет биссектриса треугольника.

Построив биссектрисы углов остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников увидел, что биссектрисы треугольников пересеклись в одной точке. Интересно, а как это доказать? Об этом я и мои одноклассники узнаем на уроках геометрии в 8 классе.

3. Занимательная информация о биссектрисе

Мнемоническое (Мнемо́ника - греч. τα μνημονιχα — искусство запоминания), правило:

Биссектриса - это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам. (См Приложение№4).

Также есть много стихотворений, сказок и рассказов о биссектрисе, вот некоторые из них.

Стихотворение: Биссектриса

В углу у кипариса, фактически, в тени,
влачила Биссектриса безрадостные дни.
- Ах, я иного круга! Я не халам-балам!
На что мне этот угол, деленный пополам?

Сумела исхитриться на дерзкие дела,
сбежала Биссектриса, осталась без угла.
Но долетели сплетни, что, якобы, она
в окружности соседней Диаметру жена.

Живет с улыбкой гордой в нездешней стороне.
Теперь зовется Хордой и счастлива вполне.
А я сижу, не евши, вдали от Биссектрис,
в углу осиротевшем несчастный кипарис.

Пью чай из барбариса, а сердце – просто хлам! -
разбито Биссектрисой, как угол, пополам.
Все будто бы в тумане и тенькает висок.
Схожу-ка к Медиане – развеюсь на часок!

2. Биссектриса.

Заспорили Стороны угла, никак между собой не поладят.

— Я, со своей стороны, считаю… — говорит одна Сторона.

— А я считаю, со своей стороны… — возражает ей другая.

Ничего не поделаешь: хоть у них и общий угол зрения, но смотрят-то они на мир с разных сторон!

Проходила как-то между ними Биссектриса. Обрадовались Стороны: вот кто будет их посредником! Спрашивают Биссектрису:

— А вы как думаете?

— А ваше мнение каково?

Стоит посредник посрединке, колеблется.

— Ну, скажите же, скажите! — тормошат Биссектрису со всех сторон.

— Я думаю, вы совершенно правы, — наконец произносит Биссектриса, кивая в правую сторону.

— Ах, какая вы умница! — восхищается правая Сторона. — Как вы сразу все поняли!

А Биссектриса между тем поворачивается к левой Стороне:

— Ваша правда, я тоже всегда так думала.

Левая Сторона в восторге:

— Вот что значит Биссектриса! Сразу сообразила, что к чему!

Стоит Биссектриса и знай, раскланивается: в одну сторону кивнет — мол, правильно, в другую сторону кивнет — мол, совершенно верно. Мнение Биссектрисы ценится очень высоко, поскольку оно устраивает обе стороны.

Свою работу я начал с рассмотрения множества пособий по математике, использовал сеть Интернет. Из них я выбрал нужную информацию, изучил теорию. При изучении материала по этой теме, узнал очень много нового. В своей работе я выполнил построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки, а также с помощью транспортира. И доказал с помощью построений замечательное свойство биссектрис углов треугольника.

№ слайда 1

№ слайда 2

Определение биссектрисы угла

№ слайда 3

Свойства точек биссектрисы угла

№ слайда 4

Цель исследования: Определить свойство точек, равнооудаленных от сторон угла Биссектриса угла

№ слайда 5

Ход исследования 1. Изучив теоретический материал учебника и дополнительных источников информации, дать определение биссектрисы угла, биссектрисы треугольника.2. Выяснить, каким свойством обладает точка пересечения биссектрис углов треугольника.3. Рассмотреть и решить задачи по данной теме.4. Оформить результаты, сделать соответствующие выводы.

№ слайда 6

Гипотеза Существуют точки, не принадлежащие биссектрисе угла, а всё-таки равноудалённые от сторон угла

№ слайда 7

Результаты исследования Если луч образует со сторонами угла равные углы, то он является биссектрисой этого угла? Все точки дополнительного луча к биссектрисе, равноудалены от сторон угла АВС.

№ слайда 8

Результаты исследования Точки биссектрисы угла АВС, угла FBK и все точки закрашенной области равноудалены от сторон угла АВС Дан угол АВС, луч BD – этого угла ABC. Существуют ли точки, равноудалённые от сторон этого угла?

№ слайда 9

Результаты исследования Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, когда этот угол тупой и когда он прямой.

№ слайда 10

Результаты исследования Дан прямой угол АВС и круг с центром В. Найдите точки круга, которые равноудалены от сторон угла АВС. Получили фигуру, состоящую из отрезка ВЕ, равного радиусу окружности, и четверти круга - FBK

№ слайда 11

Результаты исследования Вписать в данный угол АВС окружность заданного радиуса R. Рассмотреть три случая - угол АВС: а) прямой; б) острый; в) тупой.Угол АВС – прямой. Центр вписанной окружности может принадлежать только биссектрисе угла АВС

№ слайда 12

Результаты исследования угол АВС - острый Центр вписанной окружности может принадлежать только биссектрисе угла АВС

№ слайда 13

Результаты исследования Центр вписанной окружности может принадлежать только биссектрисе угла АВС

№ слайда 14

Результаты исследования Точка пересечения биссектрис углов треугольника равноудалена от сторон всех углов треугольника и одинаково удалена от сторон треугольника

№ слайда 15

Вывод Существуют точки, не принадлежащие биссектрисе угла, но всё-таки равноудалённые от сторон данного угла.Центр окружности, вписанной в угол, принадлежит только биссектрисе данного угла. Точка пересечения биссектрис углов треугольника является единственной точкой равноудаленной от сторон всех углов треугольника и от сторон треугольника.

№ слайда 16

Литература А. Атанасян., Геометрия 7-9.Никольская И. Л., Семёнов Е.Е. Учимся рассуждать и доказывать: КН. Для учащихся 6-10 кл. –М. : Просвещение, 1989.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Биссектриса: знакомая и не очень. Презентация на заданную тему содержит 16 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Ход исследования 1. Изучив теоретический материал учебника и дополнительных источников информации, дать определение биссектрисы угла, биссектрисы треугольника. 2. Выяснить, каким свойством обладает точка пересечения биссектрис углов треугольника. 3. Рассмотреть и решить задачи по данной теме. 4. Оформить результаты, сделать соответствующие выводы.

Равенства. Неравенства. Знаки" width="120" src="https://myslide.ru/documents_2/9470990cdd1ac60ec110d2e3b281836e/thumb.jpg" original="/documents_2/9470990cdd1ac60ec110d2e3b281836e/thumb.jpg">

99363 99367 99344 99354 99360 99372 99357 99361 99371 99348 99352 99362 99349 99355 99364 99345 99366 99353 99365 99359 99347 99356 99368 99358 99370 99350 99373 99369 99346 99351

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Мы в социальных сетях

Казалось бы, что такое биссектриса угла – знает каждый. Что тут сложного? Однако, просто знать – это одно, а вот использовать знание, применять его в деле – это другое. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам. На уроках геометрии мы говорили о том, что всякий луч, исходящий из вершины угла, обладает двумя свойствами биссектрисы: является лучом и равноудалён от сторон угла. Однако это ещё не означает, что всякий такой луч есть биссектриса угла. Язык математики должен быть точным. Всякое его искажение, любая маленькая неточность разрушают логику рассуждений. А что за математика без логики? Интересно, всякая ли точка равноудаленная от сторон угла лежит на биссектрисе? Заинтересовавшись этим вопросом, я и провела исследование, целью которого стало: определить расположение и свойства точек, равноудалённых от сторон угла.

Актуальность данной работы определяется тем, что биссектриса угла, биссектриса угла треугольника - это геометрические понятия, знания которых имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет мне найти новые подходы к решению геометрических задач.

Объект исследования: биссектриса угла и биссектриса угла треугольника.

Предмет исследования: свойства точек, равноудалённых от сторон угла, от сторон треугольника и их применение при решении задач.

Исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением наблюдения, рассуждения, доказательства и анализ фактов в ходе решения геометрических задач.

В своей публикации я рассмотрела одну из основных геометрических фигур геометрии – треугольник, который мы изучаем в 7-ом классе.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования данного материала при решении геометрических задач, при доказательстве некоторых положений.

Совместно с руководителем был разработан ход исследования:

2. Выяснить, каким свойством обладает точка пересечения биссектрис углов треугольника.

3. Рассмотреть и решить задачи по данной теме, получив таким образом результаты по теме исследования.

4. Оформить результаты, сделать соответствующие выводы.

В ходе работы мне предстояло подтвердить или опровергнуть суждение о том, что существуют точки, равноудалённые от сторон угла, не принадлежащие его биссектрисе.

Следуя намеченному алгоритму, я решала первую задачу:

Ещё в 6-ом классе было такое задание:

Сделать рисунок, опровергающий утверждение: если луч образует со сторонами равные углы, то он является биссектрисой этого угла.

Задача. Дан угол АВС, луч BD – биссектриса этого угла АВС. Существуют ли точки, равноудалённые от сторон этого угла АВС?

Возьмём луч ВХ – дополнительный биссектрисе BD. Какая точка стороны ВА ближе всего к точке Х? Точка В. Тогда длина отрезка ХВ и есть расстояние от точки Х до стороны ВА. Потому что под расстоянием от точки до фигуры подразумевается расстояние от этой точки до ближайшей точки фигуры. А каково расстояние от точки Х до стороны ВС? Ближайшей точкой луча ВС для Х является та же точка В. Следовательно, расстояние от точки Х до сторон ВА и ВС угла АВС одинаковое! Значит, точка Х равноудалена от сторон угла АВС, однако не принадлежит биссектрисе этого угла!

Таким образом, я получила первый результат исследования: биссектриса угла не является геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла, а составляет только его часть. Все точки дополнительного луча к биссектрисе равноудалены от сторон угла.

Поэтому я решила найти все точки, равноудалённые от сторон угла.

Для этого рассмотрела тот же угол АВС и биссектрису BD.

Из его вершины провела луч BF, перпендикулярный стороне ВА и лежащий по другую сторону от ВА, чем сторона ВС. И ещё провела луч ВК, перпендикулярный второй стороне ВС и лежащий по другую сторону от ВС, чем сторона ВА. Провела дополнительный луч ВХ. И увидела, что точка F равноудалена от сторон угла АВС. Так как для точки F точка В – ближайшая как на одной стороне угла, так и на другой стороне. А поэтому расстояние FB и есть расстояние от точки F и до стороны ВА, и до стороны ВС.

Получилось, что и точка К, как и всякая точка луча ВК, равноудалена от сторон угла АВС. Все точки угла FBK равноудалены от сторон угла АВС. Угол FBK делит плоскость на две области. Та из них, которая содержит дополнительный луч (т. е. точку Х), обладает удивительным свойством: все её точки также равноудалены от сторон угла АВС. На рисунке эта область закрашена.

Поэтому, следующий результат таков: геометрическое тесто точек, равноудалённых от сторон угла АВС, представляет собой сложную фигуру. Она состоит из биссектрисы угла – луча BD, угла FBK и всех точек закрашенной на рисунке области.

Рассмотрела геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, когда этот угол тупой и прямой.

Решила ещё несколько задач.

а) Дан прямой угол АВС и круг с центром В. Найти точки круга, которые равноудалены от сторон угла АВС.

Сначала построим геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от сторон угла АВС. ( Я уже это рассматривала). А теперь из этого геометрического места точек, возьмём те, которые принадлежат построенному кругу. Получили фигуру, состоящую из отрезка ВЕ, равного радиусу окружности, и четверти круга – FBK.

б) Вписать в данный угол АВС окружность заданного радиуса R. Рассмотреть три случая - угол АВС: а) прямой; б) острый; в) тупой.

Первый случай: угол прямой.

Центр искомой окружности равноудалён от сторон угла АВС. Значит, он принадлежит геометрическому месту точек, равноудалённых от сторон данного угла. На рисунке это геометрическое место точек изображено красным цветом. Оно состоит из биссектрисы угла АВС – BD и плоского угла FBK. Рассуждаем дальше. Искомая окружность касается сторон угла АВС. Конец радиуса, проведённого в точку касания, лежит на стороне угла. Этот радиус перпендикулярен стороне угла, а потому лежит на прямой, перпендикулярной стороне угла и пересекающей её. Но все такие прямые не имеют общих точек с плоским углом FBK, так как стороны этого угла параллельны этим прямым. Следовательно: центр вписанной окружности может принадлежать только биссектрисе угла АВС.

(Как это построить? Биссектриса уже построена. Я знаю, что центр окружности лежит на этой биссектрисе и удалён от любой стороны угла на расстояние R. Дальше нужно построить геометрическое место точек, удалённых от прямой АВ или ВС на расстояние R , точнее, ту его часть, которая пересекает биссектрису угла. А для этого надо на прямой, например ВС, взять точку, восставить из неё перпендикуляр к стороне длиной R. Получим точку L. Она удалена от прямой ВС на расстояние R. Проведём через точку L прямую, параллельную прямой ВС. Все точки этой прямой удалены от прямой ВС на расстояние R. Эта прямая пересекает биссектрису в некоторой точке О, которая равноудалена от сторон угла на расстояние R. Окружность с центром О и радиусом R искомая. На рисунках для построения точки L я воспользовалась тем, что BK перпендикулярна ВС. В случае, когда угол АВС прямой, точка L оказалась и точкой касания вписанной окружности со стороной ВА. Точки касания обозначены M и H).

Второй случай: угол острый.

Третий случай: угол тупой.

Я узнала о том, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Так как всякая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то точка пересечения биссектрис углов треугольника равноудалена от сторон всех углов треугольника. А эта точка пересечения одинаково удалена от сторон треугольника и одна ли эта точка? Для ответа на этот вопрос рассмотрела треугольник АВС. Точка О – точка пересечения биссектрис углов треугольника. Рассмотрим треугольники АВО, ВСО, АСО. Углы этих треугольников при вершинах А, В, С острые (так как биссектрисы делят угол пополам, то пусть даже один угол треугольника АВС будет тупым, то половинка всё равно будет меньше прямого). Тогда основания перпендикуляров OD, OE, OM, опущенных из точки О на прямые АВ, ВС, АС, лежат на сторонах АВ, ВС, АС трёх рассматриваемых треугольников. Так как точка О равноудалена от сторон углов данного треугольника АВС, то OD = OE = OM. (Так как эта точка, во-первых, принадлежит биссектрисе угла ВАС и потому равноудалена от сторон АВ и АС. Во-вторых, точка О принадлежит биссектрисе угла АВС, а поэтому равноудалена от сторон ВА и Вс. Получаем, что расстояние от точки О до сторон АС и ВС такое же, что и до стороны АВ. Значит, точка О равноудалена от всех сторон треугольника АВС.) А это означает, что точка О равноудалена от сторон треугольника АВС. Отсюда следует, что окружность с центром в точке О пересечения биссектрис углов треугольника и радиусом ОD касается сторон треугольника АВС в точках D, M, E. Её называют вписанной в треугольник АВС. Точка О принадлежит и биссектрисам треугольника АВС. Но вот единственная ли эта точка? Ведь точки, равноудалённые от сторон угла, принадлежат не только биссектрисе угла. Они могут принадлежать и плоским углам с вершинами А, В, С, стороны которых есть лучи, перпендикулярные сторонам углов треугольника. Может быть, кроме точки О, существуют ещё и другие точки, равноудалённые от сторон треугольника? Посмотрим на рисунок. Эти плоские углы с вершинами А, В, С не имеют общих точек. Значит, углы, входящие в геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, новой точки, равноудалённой от сторон всех углов треугольника АВС, не дадут. Поэтому точка О – единственная равноудалённая от сторон всех углов треугольника.

Значит, точка пересечения биссектрис углов треугольника равноудалена от всех углов треугольника и равноудалена от сторон треугольника.

Существуют точки, не принадлежащие биссектрисе угла, но всё-таки равноудалённые от сторон данного угла.

Центр окружности, вписанной в угол, принадлежит только биссектрисе данного угла.

Точка пересечения биссектрис углов треугольника является единственной точкой равноудаленной от сторон всех углов треугольника и от сторон треугольника.

Список используемой литературы.

Место, которое считается самым ужасным, самым жутким местом планеты называется Бермудским треугольником. Четвёртая страница посвящена ему.

Треугольники в архитектуре – это моя пятая страница.

Как применяли свойства треугольника в древности и небольшой фотомонтаж - треугольники в нашей жизни. Всё это вы найдёте на шестой странице.

В углу у кипариса, фактически, в тени,
влачила Биссектриса безрадостные дни.
- Ах, я иного круга! Я не халам-балам!
На что мне этот угол, деленный пополам?
Сумела исхитриться на дерзкие дела,
сбежала Биссектриса, осталась без угла.
Но долетели сплетни, что, якобы, она
в окружности соседней Диаметру жена.
Живет с улыбкой гордой в нездешней стороне.
Теперь зовется Хордой и счастлива вполне.
А я сижу, не евши, вдали от Биссектрис,
в углу, осиротевшем несчастный кипарис.
Пью чай из барбариса, а сердце – просто хлам! -
разбито Биссектрисой, как угол, пополам.
Все будто бы в тумане и тенькает висок.
Схожу-ка к Медиане – развеюсь на часок!

Читайте также: