Сообщение на тему алгебра логики история логики
Обновлено: 08.07.2024
Логика – это наука о способах доказательств и опровержений; совокупность научных теорий, в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержений. Особую роль в ускорении научно-технического прогресса играют приложения логики в вычислительной математике, лингвистике, информатике и др.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| statya_istoriya_razvitiya_logiki_s_drevnih_vremen_do_nashih_dney.doc | 150.5 КБ |
Предварительный просмотр:
УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ АЛЛЕВА О.Н.
Каждый человек обладает определенной логической культурой, уровень которой характеризуется той совокупностью логических приемов и способов рассуждения, которые человек понимает, а также совокупностью логических средств, которые он использует в процессе познания и практической деятельности. В обычной повседневной жизни наше мышление, наш разум подчинены житейским правилам, все наши действия – это реакция на что-то или кого-то, причем сама реакция определяется логическим выводом из сложившейся ситуации. Логически мыслить присуще любому живому существу. Логика послужила одним из толчков к развитию человечества. Но интересно то, что если рассматривать понятие логики с обывательской точки зрения, то в ее рамки можно вместить любой человеческий поступок, каким бы странным он не казался, потому что логика одного человека, хоть в чем-то, но отличается от логики другого. Поэтому нам часто непонятны поступки других людей, но отличается от логики другого. Логика систематизирует правильные способы рассуждения, а также типичные ошибки в рассуждениях. Она представляет логические средства для точного выражения мыслей, без которого оказывается малоэффективной любая мыслительная деятельность, начиная с обучения и кончая научно-исследовательской работой.
Знание логики является неотъемлемой частью юридического образования. Оно позволяет правильно строить судебно-следственные версии, составлять четкие планы расследований преступлений, не допускать ошибок при составлении официальных документов, протоколов, обвинительных заключений, решений и постановлений. Знание правил и законов логики не является конечной целью ее изучения. Конечная цель изучения логики – умение применять ее правила и законы в процессе мышления. Истина и логика взаимосвязаны, поэтому значение логики невозможно переоценить. Логика помогает доказывать истинные суждения и опровергать ложные, она учить мыслить четко, лаконично, правильно. Итак, логика – это философская наука о формах, в которых протекает человеческое мышление, и о законах, которым она подчиняется. Своеобразие же логики как науки о мышлении как раз состоит в том, что она рассматривает этот общий для ряда наук объект под углом зрения его функций и структуры, то есть роли и значения в познании и практической деятельности, и в то же время с точки зрения составляющих его элементов, а также связей и отношений между ними. Это и есть собственный, специфический предмет логики. Поэтому она определяется как наука о формах и законах правильного мышления, ведущего к истине.
Логика (греч. Logike) – это наука о способах доказательств и опровержений; совокупность научных теорий, в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержений. Особую роль в ускорении научно-технического прогресса играют приложения логики в вычислительной математике, лингвистике, информатике и др.
Первоначально логика зародилась и развивалась в недрах философии – единой нерасчлененной науки, которая объединяла всю совокупность знаний об объективном мире и о самом человеке и его мышлении. На этом этапе исторического развития логика имела преимущественно онтологический характер, т.е. отождествляла законы мышления с законами бытия.
Вначале законы и формы правильного мышления изучались в рамках ораторского искусства – одного из средств воздействия на умы людей, убеждения их в целесообразности того или иного поведения. Так было в Древней Греции, Древней Индии, Древнем Китае, Древнем Риме, средневековой России. Но в искусстве красноречия логический момент выступает еще как подчиненный, поскольку логические приемы служат не столько цели достижения истины, сколько цели убеждения аудитории.
Развитие науки логики на протяжении ряда столетии протекало по двум направлениям. Одно из них начиналось с древнегреческой логики (в особенности с логики Аристотеля), на основе которой развивалась логика в Древнем Риме, затем в Византии, Грузии, Армении, арабоязычных странах Ближнего Востока, в Западной Европе и России. Другое направление имело своим истоком индийскою логику, на основе которой развивалась логика в Китае, Тибете, Монголии, Корее, Японии, Индонезии, на Цейлоне.
ЛОГИКА В ДРЕВНЕЙ ИНДИИ
Индийская логика развивалась на протяжении двух тысячелетий, и история ее развития на мировом уровне еще до конца не изучена. В индийской логике много внимания уделяется теории умозаключения, которое в ней отождествляется с доказательством. Существовавший первоначально взгляд, что силлогизм состоит из десяти суждений, меняется. Развитие логики шло по пути сокращения суждений силлогизма. Гаутама (основатель школы ньяя) сократил их до пяти:
Особенностями индийской логики являются:
Оригинальное учение о пятичленном силлогизме, в котором важна мысль о неразрывной связи дедукции и индукции.
Суждение не признается самостоятельным актом мысли. А рассматривается как член умозаключения.
Со времени своего возникновения и до 20-х гг. ХХ в. Логика развивалась преимущественно в направлениях формализации и каталогизирования правильных способов рассуждений в пределах двух значений истинности. Суждения могли быть либо истинными, либо ложными. Такая логика именовалась классической, так как восходила к древней традиции. Классическая логика – это первая ступень развития формальной логики. С развитием научного знания логика поднимается на вторую, более высокую ступень развития. Теперь она систематизирует формы мышления, применяя математические методы и специальный аппарат символов. Эта формальная логика носит название символической, или математической, но является классической, так как по-прежнему оперирует двумя значениями истинности. В современной математической логике развиваются и неклассические логики, которые оперируют либо бесконечным множеством значений истинности, либо конструктивными методами доказательства истинности суждений, либо модальными суждениями, либо исключают отрицания, имеющиеся в классической логике.
Древнеиндийская логика самобытна. Она возникла и развивалась независимо от древнегреческой. С греческой философией и логикой Индия познакомилась лишь в результате похода Александра Македонского (356-323 до н.э.).
ЛОГИКА ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Знание Сократ понимает как усмотрение общего (или единого) для целого ряда вещей (или их признаков). Знание есть, таким образом, понятие о предмете, и достигается оно посредством определения понятия. При этом усматривается сходство или общность предметов, подходящих под данное понятие, так и различия между тем, что подходит под сходное или смежные с ним понятия. Учение Сократа о знании как об определении общих понятий и применявшиеся Сократом индуктивные приемы определения этических понятий сыграли заметную роль в развитии логики.
Логика Аристотеля – это мышление о мышлении.
Аристотелевская логика изучает:
1) основные виды бытия, которые подпадают под отдельные понятия и определения;
2) соединения и разделения этих видов бытия, которые выражаются в суждении;
3) способы, которыми ум при посредстве рассуждений может перейти от истины известной к истине неизвестной.
Мышление-это суть логики. Согласно Аристотелю, мышление – это не конструирование или создание умом некой новой сущности, но скорее уподобление в акте мышления чему-то, находящемуся вовне. Понятие есть отождествление ума с каким-то видом бытия, а суждение – выражение соединения таких видов бытия в действительности. Наконец, к верным заключениям науку направляют правила вывода, законы противоречия и исключенного третьего, поскольку этим принципам подчиняется всё бытие.
ЛОГИКА ДРЕВНЕГО КИТАЯ
4) теория основных законов мышления.
В статье отмечается ряд особенностей логики Древнего Китая.
4. Логика в Древнем Китае находилась под сильным влиянием различных политических доктрин и морально-этических концепций.
ЛОГИКА В СРЕДНИЕ ВЕКА
Средневековая логика (VI-XV вв.) изучена еще недостаточно. В средние века теоретический поиск в логике развернулся главным образом по проблеме истолкования природы общих понятий. Так называемые реалисты, продолжая идеалистическую линию Платона, считали, что общие понятия существуют реально, вне и независимо от единичных вещей. Номиналисты же, напротив, считали, что реально существуют только единичные предметы, а общие понятия – лишь имена, названия для них. Оба взгляда были неправильными, однако номинализм был ближе к материализму.
Можно сформулировать основные проблемы, которые разрабатывались в средневековой логике: проблемы модальной логики, анализ выделяющих и исключающих суждений, теория логического следования, теория семантических парадоксов (логики в средние века усиленно занимались их анализом и предлагали разнообразные решения).
1) охватывает представления и понятия;
2) теорию суждений, выводов и доказательств.
Сирийская логика послужила посредником между античной и арабоязычной наукой. Историки логики признают влияние логики арабов на развитие европейской логики в средние века.
Таджик Ибн Сина (Авиценна; 980-1037 гг.) комментирует Аристотеля и сам пытается развить логику. Авиценне известна зависимость между категорическими и условными суждениями, выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание. В учебнике Ибн Сина стремился обобщить аристотелевскую силлогистику.
Другим крупным арабским аристотеликом был Ибн Рушд. Он также тщательно комментировал логические тексты Аристотеля. Ибн Рушд развивал понятие модальностей.
С идеалистических позиций подходил к логике немецкий философ Кант (1724-1804 гг.). Он полностью оторвал логические формы и законы от их содержания, объявил их предшествующими опыту и независимыми от него. По определению Канта, логика – наука о необходимых законах, правилах рассудка вообще. Поэтому логика должна, по Канту, изучать форму мышления в отрыве от его содержания, т.е. независимо от объектов мышления. Кант считал, что логика отвлекается от всякого содержания знания, а, следовательно, и от самих вещей. Он полагал, что после Аристотеля логика не могла обогащаться по содержанию, а совершенствовалась лишь в точности, определенности и отчетливости. Поэтому он считал недостаточной для познания традиционную логику и разрабатывал логику трансцендентальную, которая, по его мнению, должна преодолеть ограниченность взгляда обычной, общей логики на формы мышления.
ЛОГИКА В РОССИИ
Материалистическому направлению в логике следовали и русские ученые – материалисты. Русские логики, такие, как П.С. Порецкий, Е.Л. Буницкий и другие, внесли существенный вклад в развитие логики на уровне мировых логических концепций.
Философ-материалист А.Н. Радищев (1749-1802 гг.) одним из первых в мировой литературе поставил проблему необходимости логического анализа отношений, которого нет ни в аристотелевской логике, ни в логике средневековых схоластов. Он считал, что суждения представляю собой сравнение двух понятий или в суждениях выражено познание отношений, существующих между вещами. Радищев дает следующую классификацию умозаключений:
Крупнейшими русскими логиками XIX в. в России были М.И. Каринский (1840-1917 гг.) и его ученик Л.В. Рутковский (1859-1920 гг.), основные логические работы которых посвящены классификаций умозаключений.
Исследуя работы по логике Каринского, историк логики Н.И. Стяжкин отмечал, что Каринский стремился охватить в своей классификации все виды умозаключений, встречающиеся в практике научного и общечеловеческого мышления. Но поставленная задача оказалась шире, чем принятые Каринским и положенные в основу его теории предпосылки. Она осталась невыполненной.
1. традукцию (выводы сходства, тождества, условной зависимости);
2. индукцию (полную и неполную);
3. дедукцию (гипотетическую и негипотетическую).
Оригинальными были идеи казанского логика Н.А. Васильева (1880-1940 гг.). Они возникли в результате изучения проблем традиционной логики, но их значение было столь большим, что оказало влияние на развитие математической логики. Он вслед за русским логиком С.О. Шатуновским высказал идею о неуниверсальности закона заключенного третьего. Если Шатуновский пришел к этой идее в результате тщательного изучения особенностей математического доказательства применительно к бесконечным множествам, то Васильев пришел к этому выводу в результате изучения частных суждений, рассматриваемых в традиционной логике.
Чтобы воспользоваться исчислением Лейбница, люди должны были свое рассуждение облечь в форму силлогизма и посмотреть, правильный он или неправильный. Однако построенная Лейбницем система удовлетворяла этому требованию только в применении к правильным, по Аристотелю, построенным силлогизмам. Но в отношении неправильных модусов категорического силлогизма Аристотеля дело обстоит по-иному. Всегда можно построить такой пример, когда при разных правильных наборах числовых характеристик для посылок получаются разные оценки заключения: в одних случаях оно оказывается истинным, в других – ложным.
Исчисление Лейбница, таким образом, не выдержало проверки, что, конечно, заметил и сам Лейбниц, перешедший в дальнейшем к построению буквенного исчисления по образцу алгебры. Но тоже неудачно.
Однако в замыслах Лейбница не все было порочным. Сам по себе метод арифметизации в математической логике играет весьма существенную роль как вспомогательный прием. В нем состоит, например, сущность метода, с помощью которого известный австрийский математик и логик К. Гёдель доказал неосуществимость Лейбницевой мечты о создании такой всеобщей характеристики, которая позволит заменить все человеческое мышление вычислениями.
Интенсивное развитие математическая логика получила также в работах Д.Буля, Э. Шрёдера, С. Джевонса, П.С. Порецкого и других логиков.
Диалектика соотношения утверждения и отрицания в понятиях и суждениях у Буля такова: без отрицания не существует утверждения, и, наоборот, во всяком утверждении содержится отрицание.
С. Джевонс говорил, что утвердительные суждения можно представить в отрицательной форме. Но он напрасно столь категорически заявлял, что имеются сильные основания в пользу того, чтобы употреблять все предложения в их утвердительной форме, а различие (то есть отрицательные суждения) не способно быть основанием умозаключения. Джевонс не отрицал, что утверждение и отрицание, сходство и различие, равенство и неравенство представляют пары одинаково основных отношений, но утверждал, что умозаключение возможно только там, где прямо находится или подразумевается утверждение, сходство или равенство, словом, какой-нибудь вид тождества. Он внес значительный вклад в алгебру логики, особенно в проблему отрицания классов и отрицания суждений.
В XX в. математическая логика развивалась в трудах Ч.С. Пирса и Дж. Пеано.
Этот перечень областей и проблем логического исследования научного знания, опирающегося на современную логику, не является исчерпывающим.
В современной логике нет разделов, как-то по-особому связанных с наукой; вместе с тем все разделы, включая и центральный – теорию логического следования, так или иначе связаны с логическим анализом научного познания. Имеет место взаимодействие логики и методологии в анализе научных теорий, а не простое применение готового аппарата к некоторому внешнему для него материалу.
Мыслить логично – это значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки. Эти качества мышления имеют большое значение в любой области научной и практической деятельности, в том числе работе юриста.
Знание логики помогает юристу подготовить логически стройную, хорошо аргументированную речь, вскрыть противоречия в показаниях и так далее. Все это имеет значение в работе юриста, направленной на укрепление законности и порядка.
Информатика не может существовать без такого важного раздела математики, который называется алгеброй логики. В данной статье будет рассказана основополагающая информация по данной теме, обозначены её главные правила и законы.
Что такое алгебра и алгебра логики
Алгебра — это раздел математики, который обобщенно можно охарактеризовать, как расширение и обобщение арифметики.
Алгебра логики — это раздел математической логики, который исследует операции над высказываниями.
Законы алгебры логики
Имеется большое количество правил в данной сфере деятельности, но сегодня будет рассмотрено несколько основных.
Переместительный закон - предназначен для процесса сложения и вычитания. Суть данного правила в том, что обозначения А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять.
Сочетательный закон - применяется, когда есть или только операция дизъюнкции, или только операция конъюнкции. Тогда можно обходиться без скобок или хаотично ставить скобки.
Распределительный закон - имеется два типа данного правила: дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции и дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции. Первый тип схож с дистрибутивным законом алгебры, а второй — нет, поэтому его нужно доказывать.
Закон двойственности и инверсии (закон Моргана) - основоположником данного правила стал шотландский математик и логик де Морган. Он разработал правило, которое связывает логические операции конъюкцию (И) и дизъюнкцию (ИЛИ) с помощью отрицания.
Основные законы алгебры логики представлены в таблице:
Логические выражения
В информатике предоставляется два вида высказываний: простое и сложное.
Простое — это утверждение, которое обычно обозначается в виде предложения и про него можно сказать — ложное оно или истинное.
Нью-Йорк — столица США (ложное);
в России 1117 городов (верное).
Сложное высказывание обозначает некий набор простых утверждений, которые связаны логическими процессами.
Идёт дождь, а у меня нет зонта.
Основные логические операции
Логические процессы подразделяются на несколько классов. Рассмотрим их последовательно.
Логическое отрицание (инверсия) —НЕ
Данная операция используется при обозначении отрицания. Она обозначается знаками — NO, NOT, ! В=2 (истина), а после выполнения операции отрицания, В, к примеру, приобретет значение 1 (ложное).
Таблица истинности инверсии:
Результаты операции НЕ следующие:
если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
Логическое сложение (дизъюнкция, объединение) — ИЛИ
Таблица истинности операции ИЛИ:
Логическое умножение(конъюнкция) — И
В истории данная операция также обозначается как логическое умножение и конъюнкция. Данная операция обозначается элементами — И, AND, &&, &.
За объект описания возьмём А и В. Оба данных выражения могут иметь или неверное значение, или правдивое значение. Для применения операции логическое умножение, и А, и В должны является истинными (то есть равными единице).
При всех остальных значениях операция будет ложной.
Таблица истинности операции И приведена ниже:
Логическое следование (импликация) — ЕСЛИ ТО
Необходимо запомнить, что данная операция ложна только тогда, когда из первого ложного утверждения следует ложный итог. На компьютерном языке данный процесс обозначается формулой: if. then.
Таблица истинности операции ЕСЛИ ТО выглядит так:
Операция эквивалентности (равнозначности) - А ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА В
Данная операция определяется так: сложное высказывание будет истинно тогда и только тогда, когда и А, и В — истинные.
И наоборот: сложное высказывание будет ложным тогда и только тогда, когда и А, и В — ложные.
Таблица истинности операции эквивалентности:
Алгебра логики — это один из основных разделов символической логики, в основе которого лежит применение алгебраических методов к логике (см. Логика). Алгебра логики — исторически первая форма символической логики (см. Символическая логика), возникшая в середине XIX века в трудах Дж. Буля. К её созданию привела аналогия между решением алгебраических уравнений и выводом следствий из посылок, а также то, что алгебраические уравнения применимы при решении задач из различных областей знания. Поначалу алгебра логики имела своим предметом классы (как объёмы понятий), соотношения между классиками по объёму и связанные с этим операции над ними. Позднее, в связи с появлением в годах XIX века теории множеств, взявшей на себя часть этих задач, предмет алгебры логики значительно изменился. Основным её предметом стали высказывания (суждения, предложения), рассматриваемые со стороны их логических значений (истина, ложь, бессмыслица и другие), и логические операции над ними.
В XIX веке поиск способов решения логических задач алгебраическими методами продолжился. Были введены чёткие представления об операциях над объектами логики, что стало возможным, прежде всего, благодаря трактовке понятий по их объёму. Кроме того, было введено понятие универсума — предметной области логики, а в качестве объектов, на которых задаются операции, стали выступать подклассы универсума, суждения же получили представление в виде равенств.
Основная суть алгебры логики как системы методов состоит в использовании преобразований высказываний на основе алгебраических законов, которые имеют место для операций над высказываниями. Эти законы чаще всего имеют вид тождеств (см. Тождество), то есть равенств, верных при всех значениях переменных.
Важную роль играют следующие тождества:
Тождества V, VI, VII показывают, что константы И и Л, импликацию и эквиваленцию, рассматривая их как функции, можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Имеет место теорема, гласящая, что всякая функция алгебры логики может быть представлена через эти три операции, то есть записана в виде выражения, содержащего лишь знаки этих операций и буквенные переменные. Именно, любую функцию Φ (A1, A2, … An) можно записать как дизъюнкцию всех выражений вида:
Приведение к совершенной ДНФ позволяет по любым двум данным выражениям A и B решить вопрос о том, одну ли и ту же функцию они выражают, то есть верно ли тождество A = B.
Важную роль играет так называемая сокращённая ДНФ. Последнюю можно определить как такую ДНФ, в которой 1) нет повторений букв ни в одном члене; 2) нет таких пар членов Аi, и Aj, что всякий множитель из Аi, имеется и в Аj, и 3) для всяких двух таких членов, из которых один содержит множителем некоторую букву, а другой — отрицание той же буквы (при условии, что другой буквы, для которой это имеет место, в данной паре членов нет), имеется (в этой же ДНФ) член, равный конъюнкции остальных множителей этих двух членов.
Преобразованием двойственности называется такое преобразование выражения алгебры логики, при котором в этом выражении знаки всех операций заменяются на знаки двойственных им операций, а константы: И на Л, Л на И; причём операция (или функция) Φ называется двойственной для операции Ψ, если таблица, задающая Φ, получается из таблицы, задающей Ψ, путём замены в ней всюду И на Л, а Л на И (имеется в виду одновременная замена и значений функции, и значений её аргументов). Если Φ двойственная Ψ, a Ψ двойственная X, то Φ = X. Например, конъюнкция и дизъюнкция двойственны между собой, отрицание двойственно самому себе, константа И (как функция) двойственна константе Л. Функция Φ(A1, A2, … An) двойственна функции Ψ (A1, A2, An), если, и только если, верно тождество: ¬ Φ(A1, A2, … An) = Ψ (¬ A1, ¬ A2, … ¬ An).
Совершенную КНФ и сокращённую КНФ можно определить как такие КНФ, что двойственные им выражения есть соответственно совершенная ДНФ и сокращённая ДНФ. Совершенные и сокращённые ДНФ и КНФ можно использовать для решения задачи обзора всех гипотез и всех следствий данного выражения алгебры логики. Причём под гипотезой выражения A алгебры логики естественно понимать такое выражение B, что B → A тождественно истинно, а под следствием выражения A — такое выражение B, что A → B тождественно истинно.
Всякую функцию алгебры логики можно представить через умножение (то есть конъюнкцию), сложение и константу 1 (теорема Жегалкина). В частности, верны следующие тождества:
Обратные представления имеют вид:
- конъюнкция и отрицание;
- дизъюнкция и отрицание;
- импликация и отрицание;
- импликация и 0;
- умножение, эквиваленция и 0;
- штрих Шеффера A|B;
- медиана (A, B, C), [определение: (A, B, C) = AB ⋁ AC ⋁ BC];
- отрицание и 1;
- медиана, эквиваленция и сложение.
- выражения логических соотношений между объёмами понятий (соответственно высказываниями) в виде уравнений (равенств);
- построения алгоритмов решения логических уравнений и систем уравнений с целью автоматизировать способы извлечения из данных посылок содержащейся в них (неявно) информации (того или иного рода).
В настоящее время алгебра логики развивается главным образом под влиянием задач, встающих в области её приложений. Она находит широкое применение в технике, и наоборот, развивается сама под влиянием запросов техники и задач программирования. Вопросы, касающиеся понятий самой алгебры логики, приводят к проникновению в алгебру логики неалгебраических методов (таких как табличные, топологические, дескриптивные) и вследствие этого к постепенному выделению из алгебры логики самостоятельной области — теории функций алгебры логики (или иначе, теории булевых функций). Другие тенденции возможного дальнейшего развития алгебры логики связаны с успехами теории алгоритмов и попытках алгебраизации последней, то есть построения алгебраической теории алгоритмов.
Всё большее прикладное значение приобретает теория булевых функций как самостоятельная область, выделившаяся из алгебры логики. В результате пришли к понятию функциональной системы (Pn, C), где Pn есть множество всех функций n-значной логики (или множество всех функций счётнозначной логики Pω) с заданной на нём операцией суперпозиции CРn обычно рассматривается как обобщение множества всех булевых функций P2. Известна содержательная трактовка понятия функциональной системы (Pn, C) выступает её частным случаем), в основе которой лежит рассмотрение таких пар (Ρ, Ω), в которых Ρ есть множество отображений, реализуемых управляющими системами из некоторого класса, a Ω состоит из операции, используемой при построении новых управляющих систем из заданных. В свою очередь (P2, Q есть эквивалент алгебры логики. Таким образом, от алгебры формул, изучаемой в алгебре логики, перешли к алгебре функций. И хотя именно алгебра логики, то есть классическая логика высказываний (см. Логика высказываний), лежит в основе проектирования микросхем для современной цифровой электронной техники, в том числе и для компьютеров, подобные работы ведутся и на основе многозначных логик (см. Многозначные логики).
Другим направлением современного развития алгебры логики является алгебраическая логика. Она интересна тем, что выдвигает и частично решает задачу построения алгебр неклассических логик (см. Неклассические логики), то есть таких вариантов алгебры логики, которые соответствуют неклассическим исчислениям высказываний. В этой области существенным является вопрос о построении алгебраической семантики, под которой понимается класс всех моделей некоторой алгебры, соответствующей логике L, поскольку посредством алгебраической семантики решаются такие металогические проблемы, как полнота L (относительно общезначимости в классе всех моделей), разрешимость L и другие. В итоге пришли к общему вопросу о том, какая логика алгебраически представима, то есть имеет алгебраическую семантику, а какая нет. Ответ на этот вопрос дан в работе В. Блока и Д. Пигоцци (Blok, Pigozzi, 1989).
Существенно, что современное развитие алгебраической логики представляет собой систематическое применение методов и, главное, аппарата универсальной алгебры к символической логике. На сегодняшний день речь уже идёт об алгебраическом охвате всей символической логики, и результаты здесь весьма значительны. К примеру, если Alg (L) обозначает класс алгебр, который соотносится с некоторой логикой L (если L есть классическая логика высказываний, то Alg (L) есть класс булевых алгебр), можно формулировать теоремы, утверждающие, что L имеет определённое логическое свойство тогда и только тогда, когда Alg (L) имеет определённое алгебраическое свойство. Это позволяет дать алгебраическую характеризацию таких логических свойств, как полнота, наличие теоремы дедукции, компактность, разрешимость, интерполяционность Крейга, истинность формул в модели и так далее. Так, первые два свойства принимают следующий вид: L допускает строго полную гилбертовскую аксиоматизацию (Γ ⊦ A тогда и только тогда, когда Γ ⊨ A) тогда и только тогда, когда Alg (L) есть финитно аксиоматизируемое квази-многообразие; L допускает теорему дедукции тогда и только тогда, когда Alg (L) имеет эквационально определимые главные конгруэнции.
Библиография
Издания на русском языке:
Издания на других языках:
Логика: понятия и концепции
Базисные концепты
Новые концепты
Гуманитарный портал ISSN 2310-1792 About • Agreement • Terms of Use Гуманитарное пространство в рамках одного ресурса: гуманитарные науки, рынки гуманитарных знаний, методов и технологий, общественное развитие, государственные и корпоративные стратегии, управление, образование, институты, фабрики мысли. Гуманитарные исследования и аналитика, рейтинги, прогнозы, энциклопедия, библиотека. Всё для изучения и проектирования гуманитарного развития.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Джордж Буль
Джордж Буль по праву считается отцом математической логики. Для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики. Поскольку основы такой алгебры были заложены в трудах английского математика Джоржа Буля, то алгебра логики получила также название булевой алгебры. Алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.
В ХХ столетии ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.
Джордж Буль родился в Линкольне (Англия) в семье мелкого торговца. Материальное положение его родителей было тяжелым, поэтому Джордж смог окончить только начальную школу для детей бедняков; в других учебных заведениях он не учился. Этим отчасти и объясняется, что, не связанный традицией, он пошел в науке собственным путем. Буль самостоятельно изучал латынь, древнегреческий, немецкий и французский языки, изучил философские трактаты. С ранних лет Буль искал работу, оставляющую возможности для самообразования. После многих неудачных попыток Булю удалось открыть маленькую начальную школу, в которой он преподавал сам. Школьные учебники по математике привели его в ужас своей нестрогостью и нелогичностью, Буль вынужден был обратиться к сочинениям классиков науки и самостоятельно проштудировать обширные труды Лапласса и Лагранжа.
Первым попытался перевести законы мышления (формальную логику) из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, был немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (в 1666 г.). Спустя более ста лет, в 1816 году, уже после смерти Лейбница, Джордж Буль подхватил его идею о создании логического универсального языка, подчиняющегося строгим математическим законам. Буль изобрел своеобразную алгебру – систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв, до предложений.
Буль был, вероятно, одним из первых математиков, обратившимся к логической проблематике. Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов.
Буль изобрел своеобразную алгебру – систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел до предложений. Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими, подобно тому как в математике манипулируют числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ), отрицание (НЕ).
Через некоторое время стало понятно, что система Буля хорошо подходит для описания электрических переключателей схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным.
А еще несколько десятилетий спустя, уже в ХХ столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления (цифры которой 0 и 1 также подходят для описание двух состояний: утверждение истинно - утверждение ложно, лампочка горит - лампочка не горит), заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.
Список использованной литературы
Читайте также: