Сообщение функции в реальной жизни

Обновлено: 14.05.2024

Начиная с VI класса, в центре внимания школьной математики находятся понятия функции, её графики, производной и интеграла. Учащиеся узнают о существовании и свойствах показательной и тригонометрических функций, о производной и интеграле. В своем проекте мне хотелось бы подробнее рассмотреть историю возникновения понятия функция. Познакомиться с развитием математической мысли в этом направлении, узнать, кто стоял у истоков возникновения понятий, связанных с функцией. Кроме этого, я считаю, что в преддверии экзамена по математике следует обратить особое внимание на сложные функции и их графики, которые служат основой многих задач ЕГЭ. Некоторые задачи части С решаются функционально графическим способом, очень часто при решении сложных заданий необходимо использовать свойства разного рода функций, определить область значений или область определения функции.

Как возникло и развивалось понятие функции

Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций: y=1/x , y=x² , y=x³ , y=x²+x³.

Пользуясь различными таблицами, они могли вычислять и длину гипотенузы по длинам катетов, т. е находить значения функции z=.

В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Вавилоне. Появились профессиональные учёные, которые изучали саму математическую науку. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких условиях данная задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т. д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсы и др. линиях.

Графическое изображение зависимостей

Фурье, Жан Батист

Джон Непер, барон Мерчинский

Изобретатель логарифмов был удивительным человеком. Джон Непер родился в 1550г. Сам Джон Непер, и большинство его родичей проявляли редкостное для тех времен миролюбие и дипломатические способности. В 13лет он поступил в один из университетов Шотландии, но, проучившись там 2-3 года, отправился завершать образование в материковую Европу, где обучался языкам, теологии и математике. Около 1570г. он вернулся в Шотландию и больше её не покидал, где занимал различные выборные должности, но большую часть времени проводил в занятиях науками.

В истории науки Непер остался благодаря своим достижениям в математике, в которой его, прежде всего, интересовали способы упрощения вычислений. Кроме логарифмов, он придумал особые счетные палочки, на которые были нанесены специальным образом расположенные части таблицы умножения, что позволяло очень быстро перемножить многозначные числа. А ещё он придумал счетную доску, вычисления на которой называл” арифметикой мест”: вычисления на ней выполнялись в двоичной системе счисления практически по тем же правилам, что и в современных компьютерах!

Логарифмом числа х называют показатель степени у, в которую надо возвести некоторое фиксированное число а, чтобы получить исходное число х: ау=х. Записывают: у=logax.

Из свойств степеней с одинаковыми основаниями следует, что если ау1= х1 и ау2= х2, то ау1+у2= х1х2. Последнее равенство означает, что у1+у2= logax1x2, или logax1+logax2= logax1x2.

Это и есть основное свойство логарифмов, которое позволяет заменять умножение заданных чисел сложением их логарифмов.

Неперовы логарифмы сразу же получили всеобщее признание. Очень скоро были предложены различные усовершенствования построенных им таблиц, появились таблицы логарифмов с другими основаниями. Наибольшей популярностью пользовались логарифмы по основанию 10 (десятичные логарифмы), изобретённые Генри Бригсом.

Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая финикийская царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью.

Будем считать, что берег моря, был прямолинейным, а участок земли имел форму прямоугольника. Тогда надо найти прямоугольник наибольшей S, ограничен с одной стороны морем, а с трёх других сторон ремнем заданной длины L. D C

Выберем в качестве аргумента х длину отрезка ВС. Тогда длина отрезка АВ равна L-2х, и потому S =х (L-2х). Эта функция определена на отрезке [0;L/2] и на его концах обращается в нуль, а внутри его положительна. Значит, искомое оптимальное значение х лежит где-то внутри этой области.

Производная функции у=х(L-2х) равна L-4х и обращается в нуль лишь при х=L/4. Значит, сторона ВС должна иметь длину L/4, а сторона АВ - длину L/2, т. е. прямоугольник является половиной квадрата, примыкающей длинной стороной к морю. Если снять условие, что граница участка должна иметь форму прямоугольника, то можно огородить большой участок земли. Для этого он должен иметь форму полукруга.

Графики элементарных функций

1. Постоянная функция у=b, где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b). у=2

2. Линейная функция у=kx+b. Графиком является прямая линия, пересекающая ось Оу в точке с ординатой b и наклоненная к оси Ох под углом, тангенс которого равен к.

3. Обратная пропорциональность у=. График обратной пропорциональной зависимости называется гиперболой.

4. Квадратная функция у=ax2+ bx+c, а не равно 0. Графиком квадратичной функции является парабола.

5. Степенная функция у=хn, n не принадлежит N. Если n- четное, то график напоминает параболу, если n- нечетное, то график напоминает кубическую параболу.

6. График функции у= Dy=[0;+∞) у=

7. у=х. График является объединениям двух лучей с общим началом в точке (0;0), являющихся биссектрисами (для х≥0) и (для х 48.

Решение примеров из экзаменационных работ

Найти наибольшее значение функции у=3. 5

Рассмотрим функцию у=sin(x+t). Данная функция имеет область значений E(f)=[-1;1].

Преобразуем слагаемые в правой части уравнения, используя формулу двойного аргумента : 4cos2x=4(cos2x-sin2x),

Таким образом нужно рассматривать функцию y=3. 5.

Используя свойства функции у=sinx и свойства неравенства получаем следующее:

3. 5· ≤3. 5 · ≤3,5·≈10. 5

Ответ: наибольшее значение 10

Найти корни уравнения

Оговорим О. Д. З. функции.

2cosx=0 cosx=0 x=Π/2 + Πn

1-cos2x=0 cos2x=1 x=Πn

Преобразуем числители дробей, используя основное тригонометрическое тождество и формулу двойного аргумента. Получим cos2x+sin2x+cos2x-sin2x=2cos 2x и sin2x=2sinxcosx

Получим следующее уравнение:

Зная, что 1–cos2x=2sin2x, выполняя равносильные преобразования решим данное уравнение:

Определим область определения данного выражения sinx≠0. Прировняем к 0 числитель дроби, найдем корни уравнения методом разложения на множители.

cosxsinx-cosx=0 cosx(sinx-1)=0 cosx=0 –корней нет, так эти корни не входят в область определения функции.

sinx=1 x=Π/2+2Πn – (nєZ)- корней нет, так как не входят в область определения функции.

Ответ: корней нет.

Найдите наименьшее значение функции f(x)=x4+4x3+5 на отрезке [-2;2]

Найдём производную f'(x)=4x3+12x2

Определим стационарные точки, решим уравнение f '(x)=0:

4x2(x+3)=0 x=0; x=-3 –не входит в данный отрезок.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в стационарной точке: f(0)=5; f(-2)=-11; f(2)=53

Ответ: наименьшее значение -11

Исследуйте степенную функцию на монотонность у= x12

Найдём производную: y'=(x12)'=12x11

Решим методом интервалов:

Функция убывает на (-∞;0], возрастает [0;+∞)

Найдите наибольшее значение функции на промежутке [2;12].

Знаменатель дроби возрастает на заданном промежутке, значит, дробь убывает. Следовательно, наибольшее значение-это значение дроби на левом конце промежутка, т. е унаиб=24/23 +24/22 =2

Ответ: наибольшее число 2

Определите число решений системы уравнений у=х-8/5 у=х2-4х+1

Построим графики функций: у=х-8/5 y=x2 -4x+1 , т. (2;-3)-вершина параболы

Графики функций имеют одну точку пересечения, значит система имеет одно решение

Ответ: одно решение

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х=а у=х4 -3х3 , а=2

Найдем производную от функции у=х4 -3х3 у'=4х3 -9х2

Решите графически уравнение х1/2 =6-х

Рассмотрим функции у=х1/2 , у=6-х

Построим графики функций:

Найти, при каких значениях а система уравнений не имеет ни одного решения.

Решим систему уравнений методом подстановки, выразим из 2 уравнения системы у.

Решим 1 уравнение системы.

4х-9а2х+9а2=6а х(4-9а2)=6а-9а2 х(4-9а2)=3а(2-3а)

Запишем систему, выразив х: х=3а(2-3а)/4-9а2 у=1-3а(2-3а)/4-9а2

Система уравнений не имеет решения, если 4-9а2=0, т. е а=, а=.

Подставим в систему уравнений а=, получим х+у=1 х+у=1, уравнения системы равносильны система имеет множество решений.

Подставим в систему уравнений а=.

х+у=-3 х+у=1, данная система решений не имеет.

С функциями в жизни мы встречаемся часто. Используем свойства многих из них в обычной жизни, не задумываясь об этом.

Например, при отведении земельных участков используется межживание: определение точных границ участка и его площади. Кроме этого, функции используются и при создании плана-чертежа этого участка.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

«Именно функция является тем средством математического языка,

которое позволяет описывать процессы движения,

Математика – один из моиx самых любимых предметов. Я считаю, что ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без математического описания. Одним из инструментов описания реального мира является функция.

Современная математика знает множество функций, и у каждой своей неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на земле.

Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов.

Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.

Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них появляются основные свойства функций.

На уроках математики все знакомятся с различными функциями, их свойствами и графиками, но мало знают о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.

Исслeдовать и изучить связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека.

Исходя из цели, я поставил перед собой следующие задачи:

Узнать историю происхождения функций;

Найти и рассмотреть функции, которые существуют в нашем мире;

Установить связь математических функций с другими науками;

Выяснить, как часто в практической деятельности и природе человек может использовать функции и их свойства и, каким образом это позволит улучшить качество жизни людей.

сбор материала, работа с литературой,, анализ, обобщение;

изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии).

анализ полученной информации (опыт, наблюдение, решение задач, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме, обобщение);

опрос учащихся и учителей с целью выявления мнения о роли функции в жизни.

Функции- неотъемлемая часть нашей жизни. Они окружают нас повсюду.

Математические функции и их приложения.

Функциональные зависимости в окружающей жизни.

А чтобы проверить эту гипотезу мною была изучена и проанализирована дополнительная литература, а также был проведен опрос учащихся моего класса с целью выявления мнения о роли функции в жизни человека.

Практическая значимость проекта

Работа позволяет развивать интерес школьников к урокам математики, убеждает в высокой практической значимости математической науки, формирует представление о взаимосвязи математики с объектами реального мира, убеждает в необходимости применять полученные знания на практике и поможет желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.

2 Основная часть

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений.

Что же такое функция?

Функция – это не только математическое понятие, но и:

функция — работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего-либо;

функция в математике — закон зависимости одной величины от другой;

функция — возможность, опция, умение программы или прибора;

функция — обязанность, круг деятельности;

функция персонажа в литературном произведении;

функция — вид подпрограммы в информатике социальная функция.

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.

Математика создает условия для развития умения применять теоретические знания для решения практических задач, ориентироваться в окружающей нас действительности. Нам кажется, что функциональные зависимости могут касаться самых разнообразных явлений природы и окружающей среды. Каждому человеку в его повседневной практической деятельности приходится применять практические приемы геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков. Без конкретных математических знаний затруднено понимание и восприятие научных знаний, разнообразной социальной, экономической, технологической информации.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, а порой является естественным средством их решения. Математика является языком различных областей науки и нашей жизни.

Экологические проблемы являются глобальными проблемами человечества, всех стран независимо от размеров территории, численности населения, уровня экономического развития.

С функцией мы встречаемся каждый день.

каждый ученик в школе учится в определённом классе. Если обозначить через Х – множество учеников в школе, а через Y – множество классов, то можно сказать, что каждому элементу множества Х (т.е. каждому ученику) сопоставляется единственный элемент множества Y (т.е. тот класс, где данный ученик учится);

пришли в магазин, купить яблоки. Пусть их цена 200 рублей. Сколько денег мы отдаем за 2кг? За 5кг? Говорят, что стоимость покупки есть функция от количества яблок;

Изменение температуры в классе или на улице есть функция от времени. В одно и то же время температура не может принимать более одного значения и быть одновременно +5 и -10.

Способы задания функций.

Существует несколько способов задания функций:

с помощью графов.

Задать функцию – это значит указать ее область определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

1. Табличный способ.

При табличном задании просто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Табличный способ особенно распространен в технике, естествознании. Числовые результаты последовательных наблюдений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Можно изобразить эту функцию на плоскости, она будет дискретной.

Преимущества: для каждого значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу без всяких вычислений найти соответствующее значение функции.

Недостатки: 1. Обычно невозможно задать функцию полностью, найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таблице.

2. Отсутствие наглядности при большом объеме таблицы, трудно выявить характер изменения функции.

Введение В современном мире функции имеют большое значение, так как позволяют воспринимать зависимость различных величин как живой, изменяющийся процесс. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий.

Актуальность темы Функции - неотъемлемая часть нашей жизни. Все явления и процессы в окружающем нас мире имеют математическое описание. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать их можно с помощью функций и их свойств, позволяющих понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими.

Цель: Рассмотреть примеры применения математических понятий и функций в окружающей нас жизни. Гипотеза: Познакомиться с историей происхождения функций. Рассмотреть примеры применения математических понятий и функций в окружающей нас жизни. Выявить роль использования человеком функций и их свойств в практической деятельности. Задачи: Функции – неотъемлемая часть нашей жизни. Они окружают нас повсюду. Объект исследования: Математические функции и их приложения. Предмет исследования: Функциональные зависимости в окружающей жизни.

Теоретическая часть История возникновения функции Начиная с XVII в., в связи с проникновением в математику идеи переменных, одним из важнейших понятий является функции. В "Геометрии" Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило, по существу, интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями. Четкое представление понятия функции предложил Декарт, который систематически рассматривал в своей "Геометрии" лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Пьер де Ферма Рене Декарт Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц

История возникновения функции Слово "функция" (от лат. совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле величины, выполняющей ту или иную операцию. Понятие "функция от переменной х" стало употребляться в 1718 г. одним из учеников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: "Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных". Иоганн Бернулли

Особенности функции Функция сыграла и поныне играет большую роль в познании реального мира. Функция – это не только математическое понятие, но и работа, производимая человеком; роль, значение чего-либо; возможность; опция; умение программы или прибора; обязанность; круг деятельности; функция персонажа в литературном произведении; вид подпрограммы в информатике; социальная функция.

Особенности функции В повседневной деятельности человеку приходится применять практические приемы геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков.

Практическая часть Функции – неотъемлемая часть нашей жизни В повседневной жизни мы часто встречаемся с разными зависимостями (функциями). Например, выбирая путевку, мы определяем линейную зависимость её стоимости. Номер Стандарт Номер Люкс 1000 руб. – 1 день проживания; 2050 руб. – 1 день проживания; 50 руб. – курортный сбор; 50 руб. – курортный сбор; Х – количество дней; Х – количество дней; У – стоимость путевки. У – стоимость путевки. Формула стоимости путевки с проживанием в номере категории Стандарт у = 1000х+50. Формула стоимости путевки с проживанием в номере категории Люкс у = 2050х +50.

Функции – неотъемлемая часть нашей жизни Еще один пример - ежемесячный расчет оплаты за свет по квитанции Х – количество потребляемой энергии за месяц 2,57 руб. – стоимость 1кВт У – стоимость потребляемой энергии за месяц, которая находится по формуле у = 2,57х

Парабола в природе Несомненно заблуждается тот, кто считает, что параболу можно встретить только на страницах учебника. Очертания растений напоминают нам параболические формы.

Парабола в природе Это необычное творение находится в Ерга́ках, горах Западного Саяна (юг Красноярского края). Скальное образование Братья (второе название - Парабола) состоит из двух вершин разного размера и высоты, соединенных перемычкой. Контур этой перемычки имеет очень плавные и правильные, действительно - параболические очертания.

Парабола в природе Радуга – разноцветная дуга, составленная из всех цветов спектра - классический пример параболы.

Парабола в природе Скалы — каменные глыбы с крутыми склонами и выступами.

Параболы в животном мире Траектории прыжков животных близки к параболе.

Парабола в архитектуре Архитектурные свойства арки в форме параболы делают ее идеальной математически. Ворота Сент-Луиса в Миссури, США

Парабола в архитектуре Дом Мила в Барселоне

Парабола в архитектуре Над Марсовым полем в Париже возвышается всемирная знаменитость - Эйфелева башня.

Парабола в архитектуре Стадион Фишт, расположенный в Адлере в Олимпийском парке.

Парабола в архитектуре Океанографический парк Валенсии, Испания

Парабола в архитектуре Отель Хучжоу, Китай

Парабола вокруг нас Струя воды фонтана поднимается вверх, достигнув определенной высоты, а потом возвращается вниз. Путь, проложенный потоком воды, напоминает параболу.

Функции в пословицах У русского народа, как и любого другого, существует бесчисленное множество пословиц, поговорок, загадок. Они создавались и накапливались народом в течение многовековой его истории, они отражают его жизнь, условия труда, культуру, являются его духовным достоянием. Функции в пословицах и поговорках – это отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа. График показывает, как нарастает количество дров по мере продвижения вглубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя. Согласно данной пословице, эта функция неизменно возрастает.

Функции в пословицах Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому, что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках. Это как вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

Функции в пословицах Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице, эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и на прежнем уровне. Пословицы и поговорки отражают взаимосвязи, существующие между различными жизненными категориями (объектами), т.е. являются отражениями функциональных зависимостей и доказывают, что функция - это сама жизнь!

Заключение Цель работы достигнута и выдвинутая гипотеза о том, что функции – неотъемлемая часть нашей жизни, подтверждена. Функции являются частью нашей жизни и науки в целом, так как функциональные зависимости, действительно, существуют во всех сферах жизни человека.

2021

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………….3
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ ……………4
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, ВИДЫ ФУНКЦИЙ, ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ …….……………….6
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ В НАШЕЙ ЖИЗНИ …..………….9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………….……10
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………..……. …11

Люди тоже является функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы и человек меняется. Люди также зависим от своей наследственности, от книг, которые они читают, от температуры окружающей их среды и от многих других факторов.

Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.[2]

На занятиях математики все знакомятся с различными функциями, их свойствами и графиками, но мало знают о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Изучить и исследовать связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека.

1.Выявить связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека.

2.Показать, что функции находят широкое применение в жизни и в математике. что одним из инструментов описания реального мира является функция.

2. История развития понятия функции

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=Пr2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, . и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Понятие функции, применение функций и графиков функций

Что же такое функция?

Функция – это не только математическое понятие, но и:

функция — работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего-либо;

функция в математике — закон зависимости одной величины от другой;

функция — возможность, опция, умение программы или прибора;

функция — обязанность, круг деятельности;

функция персонажа в литературном произведении;

функция — вид подпрограммы в информатике социальная функция.

Функция — может быть, например, величиной изменяющейся с течением времени (или не времени, а чего-то другого, просто время более понятно).

Например, скорость это функция изменения расстояния от времени. Если расстояние пройденное за определенное время разделить на это время получим — скорость. v=s/t x=f(t) функция изменения координаты по времени. Можно сказать ”зависимость изменения координат от времени.”

Для того чтобы понимать, что означают слова "это количество растет экспоненциально" или "этот процесс характеризуется экспоненциальным спадом", необходимо рассмотреть понятие самой экспоненциальной функции. Для этого возьмем некоторое положительное число "a", которое не равно 1, и возведем его в степень "x", при этом переменная x может иметь как положительные, так и отрицательные значения, но не должна равняться нулю. Также возьмем некоторое постоянное число k (константа), которое не равно нулю. Теперь введем математическую функцию f(x) = k*ax. Возведение в степень "x" положительного числа "a" - это экспоненциальная зависимость, а сама функция f(x) называется показательной. В функции f(x) число "a" называется основанием, а "x" - это независимая переменная.

Рассмотрим некоторые примеры, подтверждающие факт использования функциональной зависимости в астрономии. Чтобы доказать данное подтверждение, Г. Галилей использует появившееся новшество – изобретённый телескоп, хотя первые телескопы были далеки от совершенства: первая труба телескопа давала всего лишь трёхкратное увеличение. Вскоре Галилей имел трубу с 30-кратным увеличением, а потом он "оставив дела земные, обратился к небесным". Галилей исследует поверхность Луны, открывает фазы Венеры, кольца Сатурна, спутники Юпитера. Позднее Галилей писал: "Я нашёл целый двор у Юпитера и двух прислужников у старика (Сатурна), они его поддерживают и никогда не отскакивают от его боков". Перед глазами Галилея Млечный Путь распался на отдельные звёзды: "все споры, в течение веков мучившие философов, умолкли сами собой благодаря наглядности и очевидности. Млечный Путь представляет собой ничто иное, как скопление бесчисленного множества звёзд, как бы расположенных в кучах". Все эти открытия были сделаны благодаря зрительным трубам – телескопам. Понятно, что миллионы и миллионы звёзд не были бы открыты и изучены, если бы не мощные телескопы, который делают глаз человека более "зорким". Задача телескопа – "уловить" этот слабый световой поток от звёзд. Чтобы уловить свет далёких звёзд, необходимо было увеличить площадь зрачка – в этом заключалась первоначальная задача телескопа. Поэтому телескоп можно охарактеризовать такой величиной, как "входное отверстие" для света звёзд – объектив, характеристикой которого является диаметр (D). Объектив – та часть телескопа, которая "смотрит" на объект. Ту часть телескопа, к которой прикладывается глаз наблюдателя, называют окуляром (от слова "око"). Объектив строит изображение объекта (Луны, планет) или участков звёздного неба в фокальной плоскости. Окуляр, выполняющий роль лупы, позволяет приблизиться к изображению этого объекта и рассматривать его под большим углом, чем сам объект. Количество света (J), собираемого объективом телескопа зависит от его площади, т. е. оно пропорционально квадрату диаметра объектива или это можно выразить математическим языком:– имеем функциональную зависимост

Математические функции являются одним из основных понятий в различных областях науки и техники.[1]

Математическое понятие функции широко используется в описании и изучении процессов и явлений реального мира.

Функциональные зависимости присутствуют во всех сферах жизни человека; в медицине, в экономике, в быту, в природе, в архитектуре и в технике, в создании сооружений любой высоты.

Из всего выше сказанного можно сделать вывод. Изучение функциональных зависимостей необходимо человеку любой профессии.

Используя показания сейсмографов (приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики – сейсмограммы), геологи могут предсказать приближение землетрясение или цунами.

Врачи выявляют болезни сердца с помощью кардиографа, их называют кардиограммами.

В ходе работы мы убедились в том, что функции являются частью нашей жизни и науки в целом, так как функциональные зависимости, действительно, существуют во всех сферах жизни человека.

Графики и функции широко распространены в нашей жизни, так как они содержательные, наглядные и удобны для передачи и восприятия информации, дальнейшей обработки информации.

Функции как уже было сказано выше, широко используются в медицине и сейсмологии. Это очень важно для нормальной повседневной жизни.

Функция – это одно из основных общенаучных и математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Описание разработки

Введение

Наука неисчерпаема, но этим она и интересна. Познание ее приносит человеку настоящую радость. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

Функции – математические портреты устойчивых закономерностей природы. Функции позволяют воспринимать зависимость различных величин как живой, изменяющийся процесс. Человек, владеющий ими, способен видеть процесс взаимосвязи явлений окружающего мира в динамике. Это помогает проникать в саму суть физических явлений, заданных аналитически, позволяет решать сложные задачи графически, осуществлять переход от формулы к функциональной зависимости.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.

Систематизируя наиболее устойчивые и поддающиеся осмыслению взаимозависимости, человек научился рассматривать их, как частный случай сравнительно немногих общих соотношений. Человек назвал их законами природы. Знание законов природы дало человеку возможность объяснить и предсказывать её разнообразнейшие явления.

В рамках одной работы невозможно полностью показать все многообразие применений функций и их исследований, поэтому

целью моей работы является показать некоторые примеры нестандартного взгляда на применение математических понятий и функций в окружающей нас жизни.

То, что на первый взгляд ускользает из поля зрения, и на что не всегда можно обратить внимание.

Тем не менее, это очень интересно и познавательно - видеть знакомое в незнакомом!

I. Функции в математике

1. Из истории возникновения функции. Определения функции.

Люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны, достаточно давно. Они ещё не умели считать, писать, но уже интуитивно чувствовали, и на практике проверяли некоторые закономерности и делали выводы. С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Э йлером (1751 год), затем — у Лак руа (1806 год) — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачев ским (1834 год) и Дир ихле (1837 год).

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторн ые функции, вскоре Ф реге ввёл логические функции (18 79), а после появления теори и множеств Дед екинд (188 7) и Пе ано (19 11) сформулировали современное универсальное определение.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна велич ина полностью определяет значение другой величины.

Весь материал - смотрите документ.

Содержимое разработки

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Функции вокруг нас.

Автор: Синенкова

Руководитель: Моренкова

I квалификационной категории

I. Функции в математике.

1. Из истории возникновения функции. Определения функции..4

2. Способы задания функции, особенности. График функции….5

3. Виды функций, типы функций, некоторые характеристики….6

II. Функции вокруг нас

2. Мой первый в жизни график…………………………………….9

3. Кардиограмма – график работы сердца……………………….10

4. Мороженое и кусочно-линейная функция……………………..11

6. Функции и юмор

IV. Список использованных источников и литературы………….22

«Когда математика стала изучать

переменные величины и функции,

как только она научилась

описывать процессы, движение,

То, что на первый взгляд ускользает из поля зрения, и на что не всегда можно обратить внимание.

Тем не менее, это очень интересно и познавательно - видеть знакомое в незнакомом!

I. Функции в математике

1. Из истории возникновения функции. Определения функции.

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год) — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины.

Понятие функции можно считать стержнем, вокруг которого группируется преподавание математики. Никакое другое понятие не отражает явлений реальной действительности с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости.

Облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций. Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами. Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин.

Знакомое обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины x по определенному закону, или правилу, обозначаемому f.

2. Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину x, делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат) – и получаем величину y.

3. В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается x, а на выходе получается .

Итак, в данном случае, функция – это действие над переменной.

4. Определение функции, чаще всего встречающееся в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

2. Способы задания функции. Особенности. График функции.

1. Табличный способ.

2. Отсутствие наглядности при большом объеме таблицы, трудно выявить характер изменения функции.

Читайте также: