Сообщение единичная система счисления

Обновлено: 28.06.2024

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

пронумеровать разряды исходного числа;
записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

В непозиционных системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от положения в числе. К тому же, система может накладывать ограничения на расстановку цифр, например, чтобы цифры располагались по убыванию.

Существуют такие непозиционные системы счисления:

- Единичная система счисления,

- Пятеричная система счисления (Счёт на пятки́),

- Древнеегипетская система счисления,

- Вавилонская система счисления,

- Алфавитные системы счисления,

- Еврейская система счисления,

- Греческая система счисления,

- Римская система счисления,

- Система счисления майя,

Рассмотрим некоторые из, приведенных выше, систем счисления.

Единичная система счисления.

С первых попыток научиться считать у людей возникла необходимость записи чисел. Сначала это было легко — зарубка либо черточка на любой поверхности отвечала за один предмет. Таким образом возникла первая система счисления — единичная.

Число в единичной системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.

В более позднее время для упрощения восприятия больших чисел, эти знаки стали группировать по три или по пять. Далее равнообъёмные группы знаков начали заменять новым знаком — так возникли прообразы современных цифр.

У данной системы есть значительные недостатки — чем больше число, тем длиннее строка из палочек. Кроме того, существует большая вероятность в записи числа, пропустив или случайно дописав палочку.

Изначально в счете использовали пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система счисления.

В Древнем Египте использовали свои символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Вот некоторые из них:

Почему мы ее называем десятичной? Как указано выше — люди начали группировать символы. В Египте — решили группировать по 10, оставив без изменений цифру “1”. Здесь, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а все символы — представление числа 10 в определенной степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывали, в виде комбинаций таких символов, и все они повторялись не больше 9 раз. Результатом было сумма элементов числа. Этот метод получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Для примера посмотрите на запись числа 345:

Вавилонская шестидесятеричная система счисления.

В вавилонской системе счисления использовали только 2 символа: “прямой” клин — для единиц и “лежащий” — для десятков. Для определения значения числа нужно изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. Для примера посмотрим на число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной системы счисления.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а значения больше 59 — в позиционной с основанием 60. Например, число 92:

Запись числа была не конкретной, так как не было цифры, которая обозначала бы нуль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа они ввели новый символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Значит, число 3632 записывают так:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, которая частично основана на позиционном принципе. Эту систему счисления используют и сейчас, например, для определения времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система счисления.

Римская система счисления немного похожа с египетской. Здесь для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используют заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

$<\displaystyle Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента - b, который определяет диапазон представляемых числами x1,b величин, и равно числу размещений с повторениями: (a,n)=_^=a^=1^=1>$
, где:
a=1 - одноэлементное множество a= из которого берутся цифры a_k, n - число элементов (цифр) в числе x_1,b. Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов - n определяет одно число.
Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом

$<\displaystyle x_ Целые числа записываются в виде: =(a_a_. a_a_a_)_=\sum _^a_>$
, где:
a_k - единицы.

Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус , датируемый приблизительно 1850 до н. э.

$<\displaystyle x_ Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел: =(a1_a1_. a1_a1_/a2_a2_. a2_a2_)_=^a1_>^a2_>>>$
, где:
n - число цифр Примеры использования

$<\displaystyle \angle \!\!\!\!\Box > 5: ||||| (иногда$
)

Применение

в первом выборах в малых группахлюдей
в Машина Тьюринга
в цифровой электронике одной унарной единице соответствует один диагонального метода Кантора
в вавилонской системе счисления применялось единичное кодирование десятичных цифр внутри шестидесятиричных разрядов

Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование

Подобно двоично-десятичному кодированию, в обычной десятичной системе счисления внутри каждого разряда возможно единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование, в котором каждой арабской Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование

В обычной двоичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно использование единичнодвоичного (унарнодвоичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от "0" до "1" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "1".

Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование

В обычной троичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичнотроичного (унарнотроичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от "0" до "2" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "11".

Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование

В обычной четверичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичночетверичного (унарночетверичного) кодирования, в которой каждой арабской цифре от "0" до "3" соответствует свой единичный (унарный) код от "" до "111".

Единичные позиционные системы счисления

$<\displaystyle x_ Если весовые коэффициенты b зависят от положения цифр (единиц) (b(k)=f(k)), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде: =(a_a_. a_a_a_)_=\sum _^a_b_>$
, где:

b_k=f(k) - числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе x_1,b.
Пример: при b_k=(k+1)
число 1₁ = 1*1 = 1₁₀,
число 11₁ = 1*2 + 1*1 = 3₁₀,
число 111₁ = 1*3 + 1*2 + 1*1 = 6₁₀,
число 1111₁ = 1*4 + 1*3 + 1*2 + 1*1 = 10₁₀.

При b_k=f(k)=1 единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным сдвоенные единичные показательные системы счисления:
=(a_a_. a_a_a_)_=\sum _^a_b^>" width="" height="" />
, в которых множество a , из которого берутся a_k, равно 1, а основание межразрядной показательной функции не равно 1 (b≠1).
Дробные числа записываются в виде:
=(a_a_. a_a_,a_a_. a_a_)_=\sum _^a_b^>" width="" height="" />
, где:
m - число цифр дробной части числа x_1,b.

Начало развития

Согласно истории человек быстро эволюционировал – изобретались новые орудия для охоты, и появлялись инструменты, которые помогали вести сельское хозяйство. В результате развития людское племя начало быстро отвоевывать земли у дикой природы. Количество добычи, как и население племен неуклонно росло. Человеку больше не хватало обозначений один, пара, несколько или много. Это привело к возникновению и созданию первой, самой древней в истории, простейшей формы счисления, называемой унарной (единичной).

В этой форме счисления алфавит состоял из одного символа. Древние люди использовали зарубки на дереве, либо наносили палочки на стены пещер и кости убитых животных. Сколько объектов могли подсчитывать древнейшие племена – неизвестно. Однако, в 1937 году в Вестонице учеными археологами была найдена волчья кость, на которую было поставлено пятьдесят пять насечек. На данный момент это наибольшее значение, которое удалось подтвердить.

Унарная форма используется и в современной истории – я думаю, что каждый из вас видел фильмы, где заключенные ставят палочки на стенах, обозначая количество дней, проведенных в неволе. Также применяется для обучения маленьких детей счету – вспомните про счетные палочки.

Дальнейшее развитие

После того как люди разбрелись по всему миру было предложено много простых форм записи чисел. Однако, все числовые нумерации можно было разделить на две большие ветви – позиционные и непозиционные системы.

Непозиционные

В непозиционных нумерациях, позиция цифры в числе не влияла на её значение. Например, возьмем римскую нотацию. В ней число 11 представляется двумя латинскими буквами X(10) и I(1). Если поставить единицу до десяти, то получится 9. При перестановке знака его значение не поменялось – единица так и осталась единицей. Более подробно разберем римскую, и некоторые другие системы этого типа, которые были популярны в истории.

Римская – первые упоминания о её возникновении и происхождении в истории появились в 500 годах до нашей эры, в древнем Риме. В качестве алфавита для представления чисел использовались латинские буквы – X, I, V и другие. Популярна и сейчас – обозначения веков, групп крови и воинских частей записываются в этой форме записи. Часы с римским циферблатом установлены на здании кремля в Москве.

Египетская – использовалась до десятого века до нашей эры. Числа в ней записывались при помощи иероглифов. Самое интересное, что с её помощью можно было считать до миллиона. Каких-то специальных приемов и правил для записи не существовало: иероглифы могли записываться как слева направо, так и справа налево. Ниже приведена краткая таблица обозначений с расшифровкой некоторых символов:

К сожалению, данный вид счислений почти не используется. Почему? С помощью непозиционных форм неудобно представлять большие значения и делать перевод из одной нумерации в другую. Именно поэтому, в результате развития, в истории появляется другой вид счислений называемый позиционным.

Позиционные

В позиционном виде имеет роль, какую позицию цифра занимает в числе. Например, возьмем число 10 – здесь единица обозначает количество десятков, а в числе 100 единица представляет количество сотен. С помощью такой формы удобно представлять большие значения и легко выполнять арифметические действия. Именно поэтому большая часть человечества пользуется системами счислений, которые относятся к этой группе.

В истории считается, что позиционное счисление изобрели древние шумеры и жители Вавилона. На его принципах, в пятом веке, индусами была построена десятичная система, которая состояла из индуских цифр (1-9) и нуля, который обозначал отсутствие числа.

В Европе же её возникновение приписывается купцам, перенявшим её у индийцев. Упоминание об этом в истории датируется десятым веком нашей эры. Однако, широкого развития и популярности вначале она не получила. Большинство европейцев продолжали пользоваться римской нумерацией. Всё изменилось после выхода в свет нескольких трактатов великого итальянского математика Леонардо Фибоначчи в 1200 году.

В истории России первые упоминания об арабском алфавите начинаются с четырнадцатого века, а после введения гражданской азбуки в восемнадцатом веке он полностью вытесняет славянские кириллические цифры. Именно в таком виде алфавит дошел до нас.

В мире информатики

Стоит отметить, что системы счисления играют большую роль в развитии и происхождении компьютерной сферы, и цифровой техники. С помощью них ЭВМ представляют информацию в виде удобном для хранения, передачи и обработки. Сейчас наибольшую популярность имеет цифровой код, введенный в историю немецким математиком Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.

Его алфавит состоит всего из двух символов (0 и 1) . Он успешно используется в ЭВМ с 1940 года. Широкое использование обусловлено:

Легкой технической реализацией.
Аппаратура может находиться всего лишь в двух состояниях, а это обеспечивает высокую помехоустойчивость и скорость работы.

Видео урок

Заключение

Ну, вот и всё, теперь вы знаете краткую историю создания и развития систем счисления — от самых древних времен и заканчивая нашими днями. Имеете представление о самых популярных и в курсе, какая из них самая древняя. Я надеюсь, что материал вам понравился. Если у вас возникли вопросы, то задавайте их в комментариях к этому посту.

ГОСТ

Единичная система счисления

Необходимость в записи чисел стала возникать у людей еще в древности после того, как они научились считать. Свидетельством этого являются археологические находки в местах стойбищ первобытных людей, которые относятся к периоду палеолита ($10$-$11$ тыс. лет до н.э.). Изначально количество предметов изображали, используя определенные знаки: черточки, насечки, кружочки, нанесенные на камни, дерево или глину, а также узлы на веревках.

Ученые эту систему записи чисел называют единичной (унарной), поскольку число в ней образовано повторением одного знака, который символизирует единицу.

Недостатки системы:

при написании большого числа необходимо использовать большое количество палочек;

возможно легко ошибиться при нанесении палочек.

Позднее, чтобы облегчить счет, эти знаки люди стали объединять.

С примерами использования единичной системы счисления можно встретится и в нашей жизни. Например, маленькие дети пытаются изобразить на пальцах сколько им лет, или же счетные палочки используют для обучения счету в первом классе.

Единичная система не совсем удобна, так как записи выглядят очень длинно и их нанесение довольно утомительно, поэтому со временем стали появляться более практичые в использовании системы счисления.

Вот некоторые примеры.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления

Данная система счисления появилась около 3000 лет до н.э. в результате того, что жители Древнего Египта придумали свою числовую систему, в которой при обозначении ключевых чисел $1$, $10$, $100$ и т.д. были использованы иероглифы, что было удобным при написании на глиняных дощечках, которые заменяли бумагу. Другие числа составлялись из них с помощью сложения. Сначала записывалось число высшего порядка, а затем низшего. Умножали и делили египтяне, последовательно удваивая числа. Каждая цифра могла повторяться до $9$ раз. Примеры чисел данной системы приведены ниже.

Готовые работы на аналогичную тему

Римская система счисления

Данная система принципиально не намного отличается от предыдущей и сохранилась до наших дней. В ее основе находятся знаки:

$I$ (один палец) для числа $1$;

$V$ (раскрытая ладонь) для числа $5$;

$X$ (две сложенные ладони) для $10$;

для обозначения чисел $100$, $500$ и $1000$ использовались первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча).

При составлении чисел римляне использовали следующие правила:

Необходимо записать число $1986$ в римской системе счисления.

Решение: $1986 = 1000 + 900 + 50 + 30 + 6 = M + (M – C) + L + (X + X + X) + V + I = MCMLXXXVI$,

$900 = M – C$ (группа второго вида);

$30 = X + X + X$ (группа первого вида).

Римскими цифрами пользуются издревле: ими обозначаются даты, номера томов, разделов, глав. Раньше считал, что обычные арабские цифры можно легко подделать.

Алфавитные системы счисления

Данные системы счисления более совершенны. К ним относятся греческая, славянская, финикийская, еврейская и другие. В этих системах числа от $1$ до $9$, а также количество десятков (от $10$ до $90$), сотен (от $100$ до $900$) были обозначены буквами алфавита.

В древнегреческой алфавитной системе счисления числа $1, 2, . 9$ обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел $10, 20, . 90$ применялись следующие $9$ букв а для обозначения чисел $100, 200, . 900$ – последние $9$ букв.

У славянских народов числовые значения букв устанавливались в соответствии с порядком славянского алфавита, использовавшего изначально глаголицу, а затем кириллицу.

Алфавитная система использовалась и в древней Руси. До конца $XVII$ века в качестве цифр использовались $27$ букв кириллицы.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Читайте также: