Симметрия вокруг нас сообщение

Обновлено: 02.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Направление работы: математика

Автор: Кабацкий Е. Е.

Руководитель: Гриценко Т. Р.

Введение ……………………………………………………………….……. 2
Глава 1 Теоретическая часть

1.1 Понятие симметрии и ее виды………………………..……. 4

Симметрия в живой природе. …………………………….…. 9

Симметрия в неживой природе. ………………. 12

Симметрия в творениях рук человека

Глава 2 Практическая часть.
2.1 Действительно ли симметрия приятна глазу. 13

Источники информации …………………………………………………… 19

Раньше, я не обращал внимания на то, что симметрия окружает нас повсюду. Она встречается не только в математике, но в живой и не живой природе, в творениях рук человека. На объекты обладающие симметрией приятно смотреть. Симметрия вызывает чувства организованности и спокойствия.

Выбранная нами тема актуальна, так как симметрия повсюду вокруг нас – в науке, искусстве, природе, технике, быту. Создавая симметрию, природа стремится к красоте, гармонии и совершенству. Симметрия кроется в формах транспорта, архитектуре, мебели, одежде, орнаментах и бордюрах и т. д. Понятие симметрии используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в научном познании мира. Все законы природы подчиняются принципам симметрии.

Цели: изучить понятие симметрии и виды симметрии, научиться решать задачи на симметрию, исследовать проявление симметрии в различных объектах окружающих нас.

1) изучить литературу и интернет ресурсы по теме

2) рассмотреть основные виды симметрии;

3) решить задачи из учебника и ВПР на симметрию применяя полученные знания

3) найти симметричные объекты в окружающем мире

4) доказать, что нас окружают симметричные предметы.

симметрия.
Объект исследования:

понятие и виды симметрии, симметрия в окружающем мире
Гипотеза: симметрия не только практична, но и приятна глазу человека, поэтому симметрия широко используется во всех проявлениях жизнедеятельности человека, мы сталкиваемся с ней повседневно, она нас окружает нас.
Методы исследования: поиск и подборка, анализ, систематизация, исследование, выполнение рисунков, чертежей и фотографий.

Практическая значимость.

Написанная нами работа даст возможность учащимся применять полученные знания при решении предметных задач, при изучении тем на других предметах, а также в повседневной жизни.

Глава 1. Теоретическая часть

Понятие симметрии и её виды.

С давних времен люди использовали симметрию в архитектуре, предметах быта, орнаментах.

В математике рассматриваются различные виды симметрии.

В учебнике по математике за 6 класс Г. В. Дорофеева др. мы знакомимся с осевой, центральной, а также с зеркальной симметрией. Решая задания ВПР по математике, мне попалась задача на поворотную симметрию. Поворотную симметрию я изучал из интернет ресурсов.

Осевая симметрия

Возьмём лист бумаги. Проведем на нем какую – ни будь прямую и перегнем лист по этой прямой. Проткнём сложенный лист иглой (рис. а) . Развернув лист, мы увидим две точки, расположенные по разные стороны от этой прямой ( рис. б) . Говорят, что эти точки симметричны относительно прямой – линии сгиба .

Проведем через полученные точки прямую и обозначим её буквой l . С помощью инструментов мы можем убедиться, что прямая l перпендикулярна линии сгиба, а точки находятся от неё на одинаковом расстоянии (рис. в ) . Это важное свойство симметричных точек. С его помощью можно строить точки, симметричные относительно некоторой прямой, и без перегибания листа бумаги.

Пусть дана прямая l и точка M (рис. а). Построим точку, симметричную точке M относительно прямой l . Для этого проведём через точку M прямую, перпендикулярную l (рис. б);

Отметим на ней точку K , расположенную на таком же расстоянии от прямой l , что и точка M (рис. в).

Точка К симметрична точке М относительно прямой l .

Рассмотрите рисунок ниже: четырёхугольники ABCD и A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ симметричны относительно прямой k . Симметричные вершины обозначены одной и той же буквой, но с добавлением индекса – цифры, поставленной внизу. Называя четырёхугольник ABCD , мы обходим его по часовой стрелке, а симметричный ему четырёхугольник A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ – против часовой стрелке. Это означает что осевая симметрия меняет направление обхода на противоположное.

Если перегнуть рисунок по прямой k , то четырёхугольники A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ и ABCD совпадут . Иными словами, эти четырёхугольники равны .

Если фигуры симметричны, то они равны .

В пространстве аналогов осевой симметрии является симметрия относительно плоскости – зеркальная симметрия . Отражение в воде – примерзеркальной симметрии в природе. С этой симметрией мы постоянно встречаемся, глядя на себя в зеркале.

Зеркальная симметрия, как и осевая, меняет ориентацию предмета. Если мы, стоя перед зеркалом, закружимся по часовой стрелке, то наше отражение будет кружиться против часовой стрелки.

Заметим ещё один интересный факт: всё то, что мы делаем правой рукой, наше отражение делает левой, и наоборот.

Центральная симметрия характеризуется наличием центра симметрии точки О , обладающей определённым свойством. Можно сказать, что точка О является центром симметрии, если при повороте вокруг точки О на 180 фигура переходит сама в себя. На рисунке ниже каждая пара отрезков ОА и ОА ₁ , ОВ и ОВ ₁ , ОС и ОС ₁ равна и лежит на одой прямой. Фигуры симметричные относительно некоторой точки, равны.

Если одна фигура получена из другой фигуры поворотом всех её точек относительно центра O на один и тот же угол в одном и том же направлении, то такое преобразование фигуры называется поворотом.

Чтобы поворот имел место, должен быть задан центр O и угол поворота α.

Против часовой стрелки положительный угол поворота, наоборот — отрицательный угол поворота. Треугольник ABC повёрнут в положительном направлении (приблизительно на α=45 градусов).

Если угол поворота равен 180 или −180 градусам, то фигура отображается как центрально симметричная данной, и этот поворот называется центральной симметрией.

Плоскость на рисунке покрыта фигурами (бабочки), которые взаимно повёрнуты.

В заданиях 12 ВПР по математике за 6 класс встречаются задачи на отрицательный и положительный поворот на угол в 90 0 смотрите приложение задача №5.

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело).

Зеркальная симметрия — это тип симметрии объекта, когда объект при операции отражения переходит в себя. Это математическое понятие в оптике описывает соотношение объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале. Проявляется во многих законах природы (в кристаллографии, химии, физике, биологии и т. д., а также в искусстве и искусствоведении). На рисунке ниже точки А и В называются симметричными относительно плоскости а (плоскость симметрии), если плоскость а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости а считается симметричной сама себе.

1.2 Симметрия в живой природе

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить. В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрий.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой.

Осевая симметрия встречается и в животном мире. Так у бабочки симметрия левого правого крыльев проявляется с математической строгостью. Симметрия форм и окраски растений и животных придает им красоту.

Всех животных делят на одноклеточных и многоклеточных . Наличие форм симметрии прослеживается уже у простейших – одноклеточных (инфузории, амёбы).

У подавляющего большинства животных части тела расположены симметрично. Лишь у немногих (например, у некоторых губок и простейших) тело имеет неправильную, лишенную симметрии форму (например, амеба протей).

Можно сказать, что каждое животное состоит из правой и левой половин. Например, правое и левое ухо, правый и левый глаз, правый и левый рог и т.д. Симметрия животным также служит для равновесия движения

Отметим, наконец, зеркальную симметрию человеческого тела (речь идёт о внешнем облике и строении скелета).

Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом.

В природе почти везде можно найти симметрию. Спил дерева, цветок, плоды многих растений. Посмотрим в более глобальном масштабе: планеты, звезды, звездные системы – все относительно симметрично.

Необходимо отметить, что в природе невозможна идеальная математическая симметрия. Отсюда можно сделать вывод: в реальной жизни не может быть совершенной симметрии.

1.3. Симметрия в неживой природе

На первый взгляд мир неживой природы кажется лишенным симметрии и порядка, но это не так.
Сколько вопросов возникает у человека, глядящего на снежинки. Именно кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии.

Каждая снежинка – это маленький кристалл замёрзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они имеют форму шестиугольника и обладают симметрией – поворотной, зеркальной и осевой.
Единственная горизонтальная симметрия , которую мы встречаем в природе, - отражение в зеркале воды. Возможно, в необычности такой симметрии и заключается её завораживающая сила.

Получается, что всякий раз, когда мы, говорим о гармонии, красоте, мы тем самым касаемся симметрии.

Симметрия в творениях рук человека

Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение проекту архитектора И. Г. Хворинова Омский академический театр драмы, чтобы убедиться в этом.

Принципы симметрии являются основополагающими для любого архитектора, но вопрос о соотношении между симметрией и асимметрией каждый архитектор решает по-разному. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоническую композицию симметричных элементов.

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми.

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, архитектуре, быту, искусстве, науке, музыке, литературе. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Свойство симметричности, присущее живой природе, человек использовал в своих достижениях: изобрел самолет, технику, бытовые приборы, электронные устройства, создал уникальные здания архитектуры.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Глава 2. Практическая часть.
2.1. Действительно ли симметрия приятна глазу

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Стоя пред черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия?

С давних времен математика считается одной из главных наук. Математика одна из древнейших и необходимых для прогресса разных дисциплин наука.

Числа, формулы, геометрические фигуры в математике, внешне холодные и сухие, но полные внутренней красоты.

–"Можно ли с помощью симметрии создать порядок, красоту и совершенство?", "Во всём ли в жизни должна быть симметрия?"– эти вопросы я поставила перед собой уже давно, и попробую ответить на них в этой работе.

Предметом данного исследования является симметрия как одна из математических основ законов красоты, взаимосвязи науки математики с окружающими нас живыми и неживыми объектами.

Актуальность проблемы заключена в том, чтобы показать, что красота является внешним признаком симметрии и, прежде всего, имеет математическую основу.

Цель работы - на примерах найти и показать симметрию как основу красоты в природе, технике, архитектуре и искусстве.

На основе данной цели были сформулированы следующие задачи исследования:
- определить сущность симметрии;
- рассмотреть, как проявляется симметрия в окружающем нас мире.
Методы исследования:
- обработка, анализ научных источников;
- анализ научной литературы, учебников и пособий по исследуемой проблеме.

Многие люди даже не задумываются, проходя мимо обычных, на первый взгляд, вещей о том, какой удивительной формой эти объекты обладают и с какой точностью они созданы природой или человеком. Симметрия окружает нас, находя своё проявление, как в живой, так и в неживой природе.

В данной работе была сделана попытка систематизации литературных источников по данной проблематике в общее понятие симметрии и в теоретической главе рассмотрены гипотезы появления симметрии в природе, красота симметрии в архитектуре, необходимость симметрии в технике. В практической части данной работы были проведены небольшие опыты, доказывающие необходимость симметрии в технике и показывающие красоту симметрии в искусстве и народном творчестве народов Кузбасса.

На протяжении веков симметрия остается предметом, который очаровывает философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков. Древние греки были совершенно одержимы ею – и даже сегодня мы, как правило, сталкиваемся с симметрией во всем от расположения мебели до стрижки волос.

Просто имейте в виду: как только вы осознаете это, вы, вероятно, испытаете непреодолимое желание искать симметрию во всем, что видите.

Глава 1. Теоретические аспекты симметрии

Возникновение симметрии

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

В научном мире существует несколько гипотез, с помощью которых пытаются объяснить, как возникла симметрия в пространстве нашего мира. Согласно одной из них, все, что растет вверх или вниз, подчинено закону радиально-лучевой симметрии. А то, что формируется параллельно земной поверхности или под наклоном к ней, принимает зеркально-симметричную форму. Эти свойства пытаются объяснить земным притяжением от центра планеты и различной степенью освещенности объектов солнечным светом в зависимости от их расположения.

Чтобы иметь более точное представление о том, что же такое симметрия, нужно рассмотреть её виды.

Виды симметрии

С точки зрения геометрии выделяют три основных вида симметрии: центральная, осевая и зеркальная.

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором единственная точка (точка О – центр симметрии) остаётся на месте, остальные же точки меняют своё положение: вместо точки А получаем точку А1 такую, что точка О середина отрезка АА1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно точки О, нужно через каждую точку фигуры Ф провести луч, проходящий через точку О (центр симметрии), и на этом луче отложить точку, симметричную выбранной относительно точки О. Множество построенных, таким образом, точек даст фигуру Ф1.

Большой интерес вызывают фигуры, имеющие центр симметрии: при симметрии относительно точки О любая точка фигуры Ф преобразуется опять же в некоторую точку фигуры Ф. Таких фигур в геометрии встречается много. Например: отрезок (середина отрезка – центр симметрии), прямая (любая её точка – центр её симметрии), окружность (центр окружности – центр симметрии), прямоугольник (точка пересечения его диагоналей – центр симметрии). Много центрально симметричных объектов в живой и неживой природе. Часто люди сами создают объекты, имеющие центр симметрии.

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором только точки прямой р остаются на месте (эта прямая является осью симметрии), остальные же точки меняют своё положение: вместо точки В получаем такую точку В1, что прямая р является серединным перпендикуляром к отрезку ВВ1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф, относительно прямой р, нужно для каждой точки фигуры Ф построить точку, симметричную ей относительно прямой р. Множество всех этих построенных точек и дают искомую фигуру Ф1. Много существует геометрических фигур, имеющих ось симметрии.

У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у круга – любая прямая, проходящая через его центр. Если присмотреться к буквам алфавита, то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе. В своей деятельности человек создаёт много объектов, имеющих несколько осей симметрии.

Плоскостная (зеркальная) симметрия (или симметрия относительно плоскости) – это преобразование пространства, при котором только точки одной плоскости сохраняют своё местоположение (α-плоскость симметрии), остальные точки пространства меняют своё положение: вместо точки С получается такая точка С1, что плоскость α проходит через середину отрезка СС1, перпендикулярно к нему.

Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно плоскости α, нужно для каждой точки фигуры Ф выстроить симметричные относительно α точки, они в своём множестве и образуют фигуру Ф1.

Чаще всего в окружающем нас мире вещей и объектов нам встречаются объёмные тела. И некоторые из этих тел имеют плоскости симметрии, иногда даже несколько. И сам человек в своей деятельности создаёт объекты, имеющие плоскости симметрии.

Глава 2. Симметрия вокруг нас

2.1. Симметрия в природе

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания, защитить себя от недоброжелателей и просто выжить.

Для начала давайте рассмотрим, какие виды симметрии встречаются в растительном мире. Например, для листьев характерна зеркальная симметрия. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Центральную симметрию можно наблюдать у следующих цветов: лук, цветок одуванчика, цветок кувшинки, цветок мать и мачехи. Цветок ромашки обладает центральной симметрией, только в случае четного количества лепестков. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Нередки случаи и переносной симметрии в растительном мире, например: веточки акации, рябины и многие другие.

Двусторонняя симметрия ярче всего представлена в биологии. Одним из примеров подобной симметрии являются красивые и конструктивно непростые узоры у бабочек на крыльях. Двусторонняя симметрия возникла в связи с потребностью организмов передвигаться в пространстве в соответствии с определёнными целями. В первую очередь, она затронула органы движения: ноги у пауков, ракообразных, амфибий, насекомых, млекопитающих и рептилий, крылья у летучих мышей и птиц, плавники у миног, кальмаров, тюленей, рыб, дельфинов и китов. Органы, которые управляют движением, нервная система человека и животных тоже имеют подобную симметрию. Очевидно, что так проще координировать работу ног, крыльев или плавников для того, чтобы активнее передвигаться в пространстве, не сталкиваясь с различными предметами, поддерживая равновесие тела, осуществлять точное приземление и совершать другие движения. Таким образом, мы рассмотрели некоторые виды симметрии.

Симметрия – базовое свойство большинства живых существ. Быть симметричным очень удобно. Подумайте сами: если у вас со всех сторон есть глаза, уши, носы, рты и конечности, то вы успеете вовремя почувствовать что-то подозрительное, с какой бы стороны оно ни подкрадывалось, и, в зависимости от того, какое оно, это подозрительное, — съесть его или, наоборот, от него удрать. Симметрия в животном мире определяется в соответствие размеров, форм и очертаний, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Ярким примерами симметрии у животных можно считать бабочку, жука плавунца, морскую звезду, лягушку (см. Приложение 1).

2.2. Симметрия в архитектуре

Особенно интересно проявление симметрии в древнерусских постройках, в частности в деревянных церквах, которыми издавна славилась Россия. В XVII - XVIII вв. на Руси были распространены так называемые ярусные храмы, завершавшиеся поставленными друг на друга, уменьшающимися по величине срубами. Старая русская архитектура дает много и других примеров использования симметрии. Достаточно назвать колокольни, звонницы, сторожевые башни, внутренние опорные столбы. Более поздние каменные русские храмы, дворцы, садово-парковые ансамбли тоже несут на себе явный отпечаток симметрии.

От нее в первую очередь зависит впечатление, которое производит архитектурное сооружение.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора кружатся в своем асимметричном, беспорядочном танце вокруг его центрального шатра: они то поднимаются, то опускаются, то, как бы набегают друг на друга, то отстают, создавая впечатление радости и праздника. Без своей удивительной асимметрии храм Василия Блаженного просто немыслим!

Здания симметричной формы характеризуют собой строгость, вызывает чувство организованности и скованности. Яркими примерами в архитектуре являются: Казанский собор в Санкт-Петербурге (выполнен в стиле классицизма); Кафедральный собор Дуомо в Милане (выполнен в стиле готики), обладает зеркальной - осевой симметрией; Собор Святого Петра в Риме; дворец Лувр; ну и, конечно же, Нотр-Дам-Де-Пари и Эйфелева Башня (см. Приложение 2).

2.3. Симметрия в технике

Симметрия в технике. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе.

Что будет, если произойдет нарушение симметрии в технических устройствах, мы проверили опытным путем, результаты которых представлены в главе 4 (см. Приложение 3).

2.4. Симметрия кристаллов

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией (см. Приложение 4).

2.5. Симметрия в живописи

2.6. Литература и симметрия

Вспомним хотя бы закон возмездия в греческой трагедии, где виновный становится жертвой такого же преступления.

Рассмотрим буквы русского языка с точки зрения симметрии:

А; Д; Л; М; П; Е; Ф; Ш. (вертикальная ось симметрии)
В; Е; З; К; С; Э; Ю. (горизонтальная ось симметрии)
Ж; Н; О; Х. (и вертикальные и горизонтальные оси симметрии)
Б; Г; И; Й; Р; У; Ц; Ч; Щ; Я. (ни вертикальные, ни горизонтальные оси)

Шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп, топот

Могут быть палиндромическими и предложения. Написаны тысячи таких предложений.

А роза упала на лапу Азора. (А. Фет)
Я иду с мечем судия. (Т. Державин)

Симметрией обладают так называемые фигурные стихи, текст которых имеет очертание какого-либо предмета-звезды, креста, треугольника, пирамиды…

"О, где же те мечты? Где радости, печали,
Светившие нам столько долгих лет?
От их огней в туманной дали
Чуть виден слабый свет
И те пропали,
Их нет".
(А. Апухтин).

Сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

Глава 3. Симметрия родного края

3.1. Симметрия в архитектуре Кемеровской области

3.2. Симметрия национального узора

По материалам музейных коллекций и по имеющимся в научной литературе сведениям у народов Притомья можно выделить следующие типы народного декоративного искусства: вышивку, аппликацию, тканый орнамент, художественную обработку кости, рога и дерева, изготовление женских украшений. Преобладают характерные для северосибирского типа мотивы орнамента, выполненные тамбурным швом: зигзаг, зигзаг с петлей в изломе, прямые параллельные линии, узкие полосы, концентрические круги. В основном все рисунки симметричные. В вышивке кисета ярко проиллюстрировано характерное для шорского орнамента несоблюдение симметрии: на лицевой стороне беспорядочно расположены мифические фигурки наряду с пятилучевыми розетками. В орнаментации пряслиц и колец для нарт четко прослеживается одна из характерных черт шорского декора – нарушение симметрии. Она присутствует и в орнаменте подставки для ружья из рога марала, и в декоре рукояток ножей, плеток (см. Приложение 7).

Глава 4. Опыты применения симметрии

Данный реферат посвящён такому понятию как СИММЕТРИЯ.

Темой всего реферата является понятие симметрии, играющей (есть мнение) ведущую, хотя и не всегда осознанную, роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни. Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Ньюмен говорил, что симметрия устанавливает забавное и удивительное сходство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности.

Вложение	Размер
simmetriya_vokrug_nas.doc	462.5 КБ

Предварительный просмотр:

5.Вывод и список литературы ……… ..…………………………..21

Данный реферат посвящён такому понятию как СИММЕТРИЯ.

Этот реферат выходит за рамки базового школьного курса, он помогает изучить основы геометрии на плоскости. Для данной работы характерно рациональное сочетание логической строгости и геометрической наглядности. Её направленность обеспечивает постоянное обращение к наглядности, использование чертежей. Реферат предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление математических способностей. Содержание работы нацелено также на дальнейшее использование полученных знаний в жизни, работе, учёбе.

1.Показать пути взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры-науки и искусства;

2.расширить представления о сферах применения математики;

3. показать, что закономерности математики являются формообразующими в архитектуре, в музыке, живописи и т. д.

1.Рассмотреть различные виды симметрии и их свойства,

2.Познакомиться с классификацией фигур по порядку (классу) симметрии, возможностью конструирования фигуры, заданного порядка симметрии.

3.Познакомиться с различными видами симметрии в живой и неживой природе.

4.Использование различных видов симметрии в архитектуре, живописи, литературе, и в предметах декоративно прикладного искусства.

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно - в XIX веке. В наиболее простой трактовке (по Г. Вейлю) современное определение симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т. е. обеспечивающее ее само совмещение.

Перечислим виды симметрии.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси 1 точку А, при этом отрезок АА' перпендикулярен l,называется осевой симметрией.

Если точка А лежит на оси 1, то она симметрична самой себе, т. е. А совпадает с А'. В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси 1 фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси 1, а ось 1 называется ее осью симметрии.

Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А',

симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием

центральной симметрии или просто центральной симметрией. Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании

центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра О.

Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.

Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол а. вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол а. – углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры (тела) на 180.

2. Параллельный перенос.

Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом. Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор а.

3. Скользящая симметрия.

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором

последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

отрезок переходит в равный ему отрезок;
угол переходит в равный ему угол;
окружность переходит в равную ей окружность;

любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т. д.;

5) параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

В стереометрии вводится еще один вид симметрии - симметрия относительно плоскости.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру (тело) в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры. В некоторых источниках, такую симметрию называют зеркальной. А зеркало не просто копирует объект, но и меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. В сравнении с самим объектом его за зеркальный двойник оказывается, вывернутым вдоль направления, перпендикулярного плоскости зеркала.

Примерами фигур - зеркальных отражений одна другой - могут служить правая и левая рука человека, правый и левый винты, части архитектурных форм, некоторые природные кристаллы и орнаменты. Исторически сложилось, что именно зеркальная симметрия (ее называют геральдической) использовалась разными народами для изготовления предметов быта. Типичен в этом отношении рисунок на известной серебряной вазе царя Шумеров Энтемены, правившего в городе Лагаше около 2700 г. до н. э.

На рисунке изображен орел с львиной головой и распростертыми крыльями. В когтях у него с каждой стороны по оленю, а на оленей нападают львы. Перенесение точной симметрии, присущей орлу, на других животных заставило, очевидно, удвоить изображение. Позже орла стали изображать с двумя головами, смотрящими в разные стороны. Так требование симметрии полностью восторжествовало над принципом подражания природе. Затем этот геральдический мотив был обнаружен в Персии, в Сирии, а потом стал гербом Византии, символизируя устремленность государства как на запад, так на восток. После падения Византии племянница ее последнего императора Софья Палеолог бежала в Рим, а оттуда была выдана замуж за великого князя московского Ивана ПI. Самым ценным приданым своей невесты жених считал ее родство с византийским императором, что давало ему повод объявить Москву третьим Римом, завладеть государственным гербом - двуглавым орлом - и объявить себя уже не великим князем, а государем (царем) всея Руси. Двуглавый орел хорошо послужил государству

Российскому как символ объединения русских земель вокруг богатого города и умного, волевого лидера.

«Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное

Все знают, что увидеть за зеркальный двойник объекта совсем нетрудно. Достаточно поместить объект перед зеркалом и заглянуть в это зеркало. Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности же это совсем не так. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (представляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Например, если у вас родинка находится на правой щеке, то у за зеркального двойника на левой. Обратимся к более интересному примеру.

Если конус неподвижен, то его легко можно совместить со своим двойником. Если же конус вращать относительно оси, проходя щей через вершину, то направление вращения изменяется при отражении на противоположное. Теперь уже никакими перемещениями и поворотами нельзя совместить объект с за зеркальным двойником.

Впрочем, можно обойтись и без вращения конуса. Достаточно изготовить из конуса винт. Винт-объект и винт-двойник имеют разные направления нарезки: чтобы ввинтить в дерево винт-объект, надо вращать его головку по часовой стрелке, а чтобы ввинтить винт-двойник, - против часовой стрелки.

Пара зеркально асимметричных объектов (фигур), являющихся зеркальным изображением один другого, называются энантиоморфами.

параллельный перенос;
осевая симметрия (отражение от прямой);

3) поворот вокруг точки (частичный случай - центральная симметрия);

В пространстве к вышеперечисленным видам симметрии добавляется зеркальная.

Одна из самых симметричных фигур конечных размеров - это круг. Каждая прямая, проходящая через его центр, является его осью. симметрии, а центр круга является центром поворотной симметрии, причем поворот может быть совершен на любой угол. Рассмотрим симметрию простейших фигур.

1) Отрезок имеет две оси симметрии и центр симметрии.

2) Треугольник общего вида не имеет никакой симметрии.

У равнобедренного (но не равностороннего) треугольника одна ось симметрии – серединный перпендикуляр, проведенный к его основанию.

3) У равностороннего треугольника три оси симметрии, и он имеет поворотную симметрию с углом поворота 120 градусов.

4) У каждого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он имеет также поворотную симметрию с углом поворота 360 градусов/n.При п - четном одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон (и тех и других осей по n/2).

При нечетным n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет. Рассмотрим более подробно поворотную симметрию. Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360 градусов/n .

На рисунке даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка - от 2-го до 5-го.

У трехмерного объекта может быть несколько поворотных осей. Например, у кирпича – три поворотные оси 2-го порядка.

Тело, изображенное на рисунке, имеет наряду с поворотной осью 4-го порядка четыре поворотные оси 2-го порядка.

Рассмотрим куб. Он имеет три поворотные оси 4-го порядка, шесть поворотных осей 2-го порядка, проходящих через середины противоположных параллельных ребер, а также четыре поворотные оси 3-го порядка, совпадающие с внутренними диагоналями куба. Таким образом, куб имеет всего 13 поворотных осей.

Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра n=2 n=бесконечность. Он имеет бесконечное число поворотных осей 2-го порядка и одну поворотную ось

бесконечно высокого порядка.

Для описания симметрии конкретного объекта (фигуры, тела) надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.

По тому, сколько симметрий имеют фигуры, можно проводить их классификацию. Например, все фигуры, изображенные на рисунке, обладают теми же симметриями, что и квадрат, поэтому их относят к одному классу симметрий.

Распределение по классам симметрий дает нам новый взгляд на фигуры.

Раньше мы видели только их хаотическое множество, теперь же можно навести в этом множестве порядок. Мы будем рассматривать всевозможные виды симметрий. Остановимся подробнее на осевой симметрии (обозначение S1) и на повороте вокруг данной точки О на угол а (обозначим R0^a).

Рассмотрим одну из простейших фигур - отрезок А1А 2 • Повернем его вокруг произвольной точки О на 60градусов, потом еще на 60градусов. Через 6 поворотов мы возвратим отрезок на прежнее место, а в фигуре, которую он опишет, узнаем правильный шестиугольник. Значит, он отображается сам в себе при шести поворотах. Легко заметить, что каждая из прямых OA 1 , ОА 2 , ОА з , 0B1, 0B2, 0Bз служат осью симметрии правильного шестиугольника.

В математике доказано, что множество симметрий правильного п-угольника состоит из 2п преобразований: n-поворотов и n-осевых симметрий. Класс симметрий обозначается через Dn . Вообще, порядком оси называется число самосовмещений фигуры при повороте вокруг данной оси на 360°. Легко видеть, что порядок оси симметрии правильного шестиугольника равен 6, а о нем самом говорят, что он имеет класс симметрии D 6 • Задавая симметрии, можно самим конструировать фигуры. Построим, например, фигуру с симметрией D 8 • Ее внешний вид будет зависеть от фигуры, которую мы выберем в качестве исходной. Пусть это будет отрезок ОА, с четырьмя дугами на нем. Центром поворота пусть

служит один из концов данного отрезка - точка О. Теперь определим углы, на которые будем поворачивать нашу фигуру:

А0 = 360°· О = 0; а1 = 360° ·1 = 45; а2 = 360°·2 = 90; .

а7= 360°·7 = 315;а8= 360°·8 =360

к построению фигур с заданной симметрией можно подойти и несколько иным способом. Выберем в плоскости произвольную точку О и из нее проведем п лучей, которые разделят плоскость на п углов. В одном из углов нарисуем какую-нибудь фигуру Ф, а потом выполним повороты на угол 360*0/n;360*1/n. В общем случае на 360*k/n.Например, для фигуры класса симметрии D 16.

Словом, большинство строительных материалов - металлы, камень, песок, глина – кристаллические вещества. Можно сказать, что мы живем в домах, построенных из кристаллов. Не удивительно, что кристаллы являются предметом тщательного изучения. Кристаллы - это твердые тела, имеющие естественную форму многогранников. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образцов кристаллов одного и того же вещества. Что же касается формы граней, то для одного и того же вещества они могут

значительно отличаться друг от друга. Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему одному, идеальная форма его кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии, т. е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путем поворотов, отражений, параллельных переносов.

Кристалл каждого вещества характеризуется определенным комплексом элементов симметрии - видом (классом) симметрии.

Внутреннее устройство кристалла представляется в виде так называемой

пространственной решетки, в одинаковых ячейках которой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие материальные частицы - молекулы, атомы, ионы или их группы.

Опираясь на эти представления, А. В. Гадолин в 1867 г. доказал, что всего существует 32 вида симметрии идеальных форм кристалла. Любое кристаллическое вещество, каждый кристалл должны принадлежать к одному из этих видов симметрии. Эти утверждения представляет закон симметрии, один из законов кристаллографии. Следующий фундаментальный результат был получен в 1890 г. русским кристаллографом

Е. С. Федоровым и одновременно немецким математиком А. Шенфлисом, доказавшими чисто геометрически, что существует 230 типов пространственных решеток. В 1912 г.

исследованиями кристаллов при помощи рентгеновских лучей была установлена реальность кристаллической решетки.

Многие, если не все, кристаллы более или менее легко раскалываются по некоторым строго определенным плоскостям. Это явление, называемое спайностью, свидетельствует о том, что механические свойства кристаллов анизотропные, т. е. не одинаковы по разным направлениям. Но кристаллы анизотропные и в отношении многих других физических свойств. Свет, например, в определенных кристаллах распространяется по различным направлениям с различной скоростью. При нагревании кристалл расширяется по различным направлениям различно. Это же можно сказать о теплопроводности, электропроводности и т. д.

Мы с тем большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, что это произведение записывается при помощи нот, т. е. получаем пространственный геометрический образ. Гамма до мажор. Композитор в своем произведении может по несколько раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее.

А; д; л; М; п; Т; Ф; Ш. В; Е; 3; К; с; э; Ю.

Вертикальная ось симметрии:

Горизонтальная ось симметрии:

И вертикальные и горизонтальные оси симметрии:

Ни вертикальные, ни горизонтальные оси:

Математик, так же как художник или поэт, создает узоры. г. Харди Принцип симметрии используется в построении орнамента. Орнамент (от лат. orпameпtum - украшения) - узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов.

Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений. Связанный с поверхностью, которую он украшает и зрительно организует, орнамент, как правило, выявляет и подчеркивает своим построением, формой и цветом конструктивные особенности предмета, природную красоту материала. В народном творчестве, каждая национальная культура выработала свою систему орнамента - мотивы, формы, расположения на украшаемой поверхности. Поэтому часто по орнаменту можно определить, к какому времени и к какой стране относится то или иное произведение искусства. Так, в орнаментах Древнего Египта наибольшее распространение нашли растительные мотивы, и среди них особенно часто встречались листья и цветы лотоса.

Один из примеров - это обои, которыми оклеивают стены.

Помогаем учителям и учащимся в обучении, создании и грамотном оформлении исследовательской работы и проекта.

Темы исследований

Оформление работы

Наш баннер

Сайт Обучонок содержит исследовательские работы и проекты учащихся, темы творческих проектов по предметам и правила их оформления, обучающие программы для детей.

Код баннера:

Исследовательские работы и проекты

Симметрия вокруг нас

Классы симметрии

По тому, сколько симметрий имеют фигуры, можно проводить их классификацию. Множество симметрий правильного n-угольника состоит из 2n преобразований: n-поворотов и n-осевых симметрий. Класс симметрий обозначается через Dn.

Я построила фигуру с симметрией D8, D12.

Симметрия в природе

В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Я убедилась в этом сама.

Листья растений обладают осевой симметрией, а в строении некоторых цветов (например, кактусов) присутствует центральная симметрия.

Зеркальная симметрия характерна для представителей животного мира. Эта симметрия очень ярко выражена у бабочек. Симметрия левого и правого крыла проявляются здесь с почти математической строгостью.

Еще более ярко и систематически симметричность обнаруживается в неживой природе, например в кристаллах. Сахар и поваренная соль, лед и песок состоят из множества кристалликов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов. Кристаллы – это твердые тела, имеющие естественную форму многогранников.

Каждая снежинка – это маленький кристалл замершей воды. Сфотографировать и увеличить фото снежинки у меня не получилось, поэтому я нашла фотографии в интернете.

Симметрия внутри нас

Несмотря на то, что огромное количество предметов, обладающих симметрией находится вокруг нас, в нашем теле есть органы, которым тоже не чуждо понятие симметрия. Почти все подобные органы симметричны относительно той или иной оси (т.е. осевая симметрия). Например: легкие, почки, глаза, руки, ноги .

Симметрия в предметах декоративно-прикладного искусства

Принцип симметрии используется в построении орнамента. Орнамент предназначен для украшения различных предметов и архитектурных сооружений.

Читайте также: