Прямая в пространстве сообщение
Обновлено: 30.06.2024
Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой; векторное уравнение прямой; канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми.
Уравнения прямой в пространстве
Общие уравнения прямой в пространстве . Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей.Подробнее
Взаимное расположение прямой и плоскости
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве допускает три случая. Прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Они могут быть параллельны. Подробнее
Взаимное расположение прямых
Для двух прямых в пространстве возможны четыре случая: - прямые совпадают; - прямые параллельны (но не совпадают); - прямые пересекаются; - прямые скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и непараллельны.Подробнее
Расстояние до прямой
Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки M1(x1; y1; z1) до прямой L, заданной каноническими уравнениями L: (x - x0)/l = (y - y0)/m = (z - z0)/n , может быть вычислено при помощи векторного произведения.Подробнее
Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в бесконечность. Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. Про это расскажем в данной статье и для наглядности предоставим несколько примеров.
Прямая в пространстве – виды уравнения прямой в пространстве обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру
Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
Параметрическое и каноническое уравнение прямой рассматривается практически так, как и для прямой на плоскости. Значит, нужно составить уравнение прямой , которая проходит через данную точку параллельно направляющему вектору .
Пусть, – произвольная точка прямой, тогда векторы и коллинеарные, а это значит, что координаты их пропорциональны, поэтому получаем:
это и есть канонические уравнения прямой.
Приравнивая каждую из дробей (1) к параметру , запишем параметрические уравнения прямой:
Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки
Уравнение прямой в пространстве – тема очень лёгкая, так как здесь самое важное – знать нужную формулу. Тогда легко можно решить любую задачу.
Итак, через две точки и можно не только геометрично провести линию, но и сложить её уравнения.
За направляющий вектор возьмём , тогда по формуле (1) у нас получается:
уравнение прямой в пространстве, которые проходят через две заданные точки.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению
Объяснение про общее уравнение прямой начнём с прямой, которая задана двумя плоскостями, что пересекаются по этой прямой.
Пусть известны их уравнения:
Тогда система (4) называется общим уравнением прямой.
Чтобы перейти к каноническим уравнениям вида (1), необходимо найти вектор и точку этой прямой.
Точку находим, как один из решений системы (4). Например, положив в (4) находим , тогда и точку . Направляющий вектор , который параллелен к каждой из плоскостей и и перпендикулярен к их нормальным векторам и , то есть , . (см. рис. 1). Поэтому вектор можно найти при помощи векторного произведения и
Найдены координаты и подставим в каноническое уравнение (1).
Например, от общих уравнений прямой:
Перейдём к каноническим, положив в системе (при нём относительно больше коэффициенты). найдём . Нормальные векторы и . Тогда направляющий вектор
и канонические уравнения станут:
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Угол между двумя прямыми :
равен углу между их направляющими векторами и , поэтому
Условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно запишутся:
Примеры решения задач
Давайте рассмотрим первый пример, где можно двумя способами построить прямую:
Задача
При точке и направляющем векторе необходимо:
- составить каноническое уравнение прямой;
- построить эту прямую.
Решение
1) По формуле (1) запишем каноническое уравнение прямой :
2) Рассмотрим два способа построения прямой .
Первый способ
В системе координат строим вектор и точку и проводим через точку прямую параллельную вектору .
Второй способ
По формуле (2) запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде:
На рисунке видно, что при произвольных значениях из системы находим координаты соответствующих точек, которые принадлежат прямой . Так при находим координаты . Через две точки и проводим прямую .
Очевидно, что найти острый угол между прямыми совершенно не сложно при знании темы и определённых формул. Давайте разберём такой пример:
Задача
Найти острый угол между прямыми:
Решение
По формуле (7) получаем:
Так как , тогда угол тупой, , а острый угол .
Ответ
Рассмотрим последний пример, где нужно составить уравнение. Здесь, как и в каждой задаче, важно знать и понимать, какой формулой нужно воспользоваться.
Задача
Составить уравнение прямой , которая проходит через точку и параллельна прямой .
Решение
От параметрического уравнения переходим к каноническому При условии параллельности прямых то есть направляющим вектором новой прямой может служить известный вектор и по формуле (1) у нас получается:
Ответ
Прямая в пространстве – виды уравнения прямой в пространстве обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости:
Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку:
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек:
Признак параллельности прямой и плоскости:
Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости тогда и только тогда, когда она параллельна некоторой прямой в этой плоскости:
Признак параллельности прямых:
Если прямая b параллельна плоскости α , а плоскость β проходит через b и пересекает плоскость α по прямой а , то прямые а и b параллельны:
Признак параллельности прямых:
Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии пересечения этих плоскостей:
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения этой прямой и плоскости.
Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости:
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой:
Прямые, перпендикулярные одной плоскости, – параллельны:
Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, которые соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости, считают расстоянием между этими точкой и плоскостью.
Наклонной, проведённой из данной точки к плоскости, называется любой отрезок, который соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и не является перпендикуляром, проведённым к этой плоскости.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, называется проекцией (ортогональной проекцией) этой наклонной на плоскость.
АВ – перпендикуляр, проведённый из точки А к плоскости α ;
АС – наклонная, проведённая из точки А к плоскости α ;
В – основание перпендикуляра АВ ;
С – основание наклонной АС ;
ВС – проекция наклонной АС на плоскость α .
Свойства перпендикуляра и наклонной:
- перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости;
- равные наклонные, проведённые из данной точки к плоскости, имеют равные проекции; и наоборот: равным проекциям соответствуют равные наклонные;
- из двух наклонных, проведённых из данной точки к одной плоскости, больше та, проекция которой больше.
Углом между наклонной и плоскость называется величина угла между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость:
Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой, проходящей в этой плоскости через основание наклонной:
Теорема про три перпендикуляра:
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной:
Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости:
АВ – расстояние от прямой а до плоскости α .
Отрезок АВ – общий перпендикуляр прямой а и плоскости α.
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых ( a и b ) называется отрезок ( АВ ) с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Две скрещивающиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, и притом только один.
Длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых считается расстоянием между ними:
АВ – расстояние между скрещивающимися a и b .
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку:
Говорят, что две плоскости совпадают, если каждая точка одной плоскости является точкой другой, и наоборот:
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек:
Через точку вне плоскости можно провести плоскость параллельную данной и притом только одну.
Признак параллельности плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны:
Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
Длина некоторого отрезка выражает расстояние между двумя параллельными плоскостями, если этот отрезок является общим перпендикуляром этих плоскостей:
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.
Полуплоскости, о которых шла речь, называются гранями двугранного угла, а прямая – ребром двугранного угла:
α и β – грани, KL – ребро двугранного угла.
Плоскость γ , перпендикулярная ребру двугранного угла KL , пересекает его грани α и β по двум полупрямым: СА и СВ . Угол АВС , образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.
Все линейные углы данного двугранного угла совмещаются параллельным переносом и равны.
Мера линейного угла служит мерой и двугранного угла, которому этот линейный угол соответствует.
Линейные углы, соответствующие равным двугранным углам, равны. И наоборот: равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшая из мер двухгранных углов, образованных этими плоскостями.
Две плоскости называются перпендикулярными ( α⊥β ), если угол между ними равен 90°.
Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.
Если φ – величина угла между некоторыми двумя плоскостями, то
Признак перпендикулярности плоскостей:
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны:
Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости:
Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны:
Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; более того, эта прямая образует с параллельными плоскостями равные углы:
Прямые, полученные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны между собой:
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны:
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:
Уравнения прямой вида (5) (7) называются соответственно общими, каноническими и параметрическими . Между этими уравнениями существует определённая связь. Переход от уравнений (6) к уравнениям (7) уже рассмотрен. Пусть требуется перейти от уравнений (6) к уравнениям (5). Уравнения (6) эквивалентны системе
Система линейных уравнений (8) и определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей. Для перехода от уравнений (5) к (6) необходимо найти из системы (5) координаты любой точки М0 , принад-лежащей прямой, а за направляющий вектор взять вектор .
Пример 7. Прямая задана общими уравнениями
Требуется получить канонические и параметрические уравнения.
Полагая в системе , находим
Выпишем нормальные векторы и найдём их векторное произведение
Тогда канонические уравнени я прямой име ю т вид
и параметрические уравнени я
5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две точки и . Возьмём в качестве направляющего вектора , а за начальную точку любую из точек М 1 и М 2 , например, М 1 . Тогда уравнени я искомой прямой прим у т вид
5.3. Угол между двумя прямыми
Очевидно, что углом между двумя прямыми можно считать угол между их направляющими векторами и . Тогда
Если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны и условие параллельности принимает вид
Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие векторы и условие перпендикулярности из формулы (2) примет вид
Пример 1. Две прямые и проходят через начало координат. При этом точки . При каком значении пара-метра р они перпендикулярны?
В качестве первой точки (см. формулу (1)) возьмём начало координат , тогда направляющие векторы будут равны , и из условия перпендикулярности получаем
5.4. Расстояние от точки до прямой
Пусть требуется найти расстояние от точки до прямой l , заданной каноническими уравнени я м и
Построим вектор . z M 1
Расстояние d от точки M 1 до
Прямой l равно высоте параллело- M 0 d
грамма, построенного на векторах у
Так как площадь параллелограмма х l
Пример 2. Найти расстояние от точки до прямой
Здесь И тогда имеем
5.5. Угол между прямой и плоскостью
Пусть плоскость P и прямая l заданы соответственно уравнениями:
Здесь нормальный вектор l
плоскости P , направляющий
вектор прямой l , а угол между прямой
и плоскостью. l 1
Если l 1 проекция прямой l на P
плоскость P , то и тогда
Окончательно, считая , получаем
Если прямая и плоскость перпендикулярны, то векторы и коллинеарны , и тогда условие перпендикулярности примет вид
Если они параллельны, то эти векторы перпендикулярны , и условие параллельности примет вид
5.6. Пересечение прямой с плоскостью
Пусть требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью .
Подставив параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, получим уравнение
Исключая параметр t , получим
Здесь возможны три случа я :
1. Тогда по формуле (5) вычисляем значение пара-метра t и из уравнений прямой определяем координаты точки пересе-чения.
2. , а . В этом случае прямая параллельна плоскости.
3. и . Тогда прямая принадлежит плоскости.
Пример 3. Определить взаимное расположение прямой, проходящей через две точки и , с плоскостью
Составим по формуле (1) уравнения прямой проходящей через эти точки:
Определим угол между этой прямой и плоскостью по формуле (4):
Из этого следует, что прямая параллельна плоскости. Проверим принадлежит ли она плоскости? Подставим координаты т очки в уравнение плоскости:
откуда следует, что данная прямая принадлежит плоскости.
П ример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку . Р
Читайте также: