Логическая операция стрелка пирса сообщение
Обновлено: 06.07.2024
Если высказывание A истинно, будем писать A =1, а если - ложно, то A =0.
Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных — или наборов входных переменных — обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности (комбинационной таблицей). Количество наборов входных переменных (Q) можно определить по формуле:Q=2n, где n — количество входных переменных.
Простейшим примером логической функции является функция одной переменной:
| Аргумент | Функция | |||
| X | F0(X) | F1(X) | F2(X) | F3(X) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
- F 0 (X) - константа 0;
- F1(X) - переменная X;
- F2(X) - инверсия X;
- F3(X) - константа 1.
Рассмотрим таблицу значений функции от n переменных. Число строк в такой таблице будет равно числу всевозможных n -ок, т.е. равно 2 n . А число столбцов – числу переменных плюс единица, т.е. ( n +1). При построении таблицы учтем, что каждую n можно рассматривать как двоичное число, и выпишем их в порядке возрастания от 0 до 2 n –1.
| x1 | x2 | x3 | . | xn-1 | xn | f(x1, x2, x3, . xn-1, xn) |
| 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | f(0, 0, 0, . 0, 0) |
| 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | f(0, 0, 0, . 0, 1) |
| 0 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | f(0, 0, 0, . 1, 0) |
| . | . | . | . | . | . | . |
| 1 | 1 | 1 | . | 1 | 1 | f(1, 1, 1, . 1, 1) |
В правом столбце таблицы записывают значения функции на соответствующих n -ках.
Тождественно-истинные функции – это логические функции, истинные на всех наборах значений входных переменных.
Тождественно ложные функции – это логические функции, ложные на всех наборах значений входных переменных.
ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ.
ГОСТ
Конъюнкция или логическое умножение (в теории множеств – это пересечение)
Конъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными. Такая ситуация возможно лишь в единственном случае, во всех остальных случаях конъюнкция ложна.
Обозначение: &, $\wedge$, $\cdot$.
Таблица истинности для конъюнкции
- Если хотя бы одно из подвыражений конъюнкции ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция будет ложной для этого набора значений.
- Если все выражения конъюнкции истинны на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция тоже будет истинна.
- Значение всей конъюнкции сложного выражения не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется (как в математике умножение).
Дизъюнкция или логическое сложение (в теории множеств это объединение)
Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.
Таблица истинности для дизъюнкции
- Если хотя бы одно из подвыражений дизъюнкции истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция принимает истинное значение для данного набора подвыражений.
- Если все выражения из некоторого списка дизъюнкции ложны на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
- Значение всей дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений (как в математике – сложение).
Готовые работы на аналогичную тему
Отрицание, логическое отрицание или инверсия (в теории множеств это отрицание)
Отрицание - означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно.
Обозначения: не $A$, $\bar$, $¬A$.
Таблица истинности для инверсии
Импликация или логическое следование
Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием ($A$), а второе ($A$) является следствием условия ($A$).
Обозначения: $\to$, $\Rightarrow$.
Таблица истинности для импликации
- $A \to B = ¬A \vee B$.
- Импликация $A \to B$ ложна, если $A=1$ и $B=0$.
- Если $A=0$, то импликация $A \to B$ истинна при любом значении $B$, (из лжи может следовать истинна).
Эквивалентность или логическая равнозначность
Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.
Обозначения: $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, $\equiv$.
Таблица истинности для эквивалентности
- Эквивалентность истинна на равных наборах значений переменных $A$ и $B$.
- КНФ $A \equiv B = (\bar \vee B) \cdot (A \cdot \bar)$
- ДНФ $A \equiv B = \bar \cdot \bar \vee A \cdot B$
Строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 ( в теории множеств это объединение двух множеств без их пересечения)
Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.
Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных $1$, составляющих текущий набор — нечетное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.
Обозначения: $A \oplus B$ (в языках программирования), $A≠B$, $A \wedge B$ (в языках программирования).
Таблица истинности для операции сложения по модулю два
Свойства строгой дизъюнкции:
- $a \oplus 0 = a$(идемпотентность)
- $a \oplus 1 = \bar$(отрицание)
- $a \oplus a = 0$(получение 0)
- $a \oplus b = b \oplus a$(коммутативность)
- $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$(ассоциативность)
- $(a \oplus b) \oplus b = a$(поглощение)
- $\bar \oplus b = a \oplus \bar = (a \equiv b)$(сравнения по модулю)
Стрелка Пирса
Бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Названа в честь Чарльза Пирса и введена в алгебру логики в $1880—1881$ гг.
Обозначения: $\downarrow$ , ИЛИ-НЕ
Таблица истинности для стрелки Пирса
Стрелка Пирса, как и конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, образует базис для булевых функций двух переменных. При помощи стрелки Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:
$X \downarrow X = ¬X$— отрицание
$(X \downarrow Y) \downarrow (X \downarrow Y) \equiv X \vee Y$ — дизъюнкция
$(X \downarrow X) \downarrow (Y \downarrow Y) \equiv X \wedge Y$ — конъюнкция
$((X \downarrow X) \downarrow Y) \downarrow ((X \downarrow X) \downarrow Y) = X \to Y$ — импликация
Штрих Шеффера
Булева функция двух переменных или бинарная логическая операция. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г.
Обозначения: $|$, эквивалентно операции И-НЕ.
Таблицей истинности для функции штрих Шеффера
Штрих Шеффера образует базис для всех булевых функций двух переменных. Применяя штрих Шеффера можно построить остальные операции, например,
$X \mid X = ¬X$ — отрицание
$(X \mid Y) \mid (X \mid Y) = (X \wedge Y)$ — конъюнкция
$(X \mid X) \mid (Y \mid Y) = X \vee Y$ — дизъюнкция
Для электроники это означает, что реализация схем возможна с использованием одного типового элемента (правда это дорогостоящий элемент).
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении
- Инверсия(отрицание);
- Конъюнкция (логическое умножение);
- Дизъюнкция и строгая дизъюнкция (логическое сложение);
- Импликация (следствие);
- Эквивалентность (тождество).
Для того чтобы изменить указанный порядок выполнения логических операций, необходимо использовать скобки.
Общие свойства
Для набора из $n$ логических переменных существует ровно $2^n$ различных значений. Таблица истинности для логического выражения от $n$ переменных содержит $n+1$ столбец и $2^n$ строк.
Стре́лка Пи́рса — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880—1881 г.г.
Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, задаётся следующей таблицей истинности:
| X | Y | X ↓ Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Стрелка Пирса, как и Штрих Шеффера, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. Это означает, что, используя только стрелку Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:
¬X ≡ X↓X
X & Y ≡ (X↓X) ↓ (Y↓Y)
X ∨ Y ≡ (X↓Y) ↓ (X↓Y)
X → Y ≡ ((X↓X) ↓ Y) ↓ ((X↓X) ↓ Y)
Функциональная операция выполняемая при n входах, определяется следующим выражением:
Содержание
См. также
Схемы
Говоря простым языком, вентиль ИЛИ-НЕ, это ИЛИ с подключенным к нему инвертором. Для наглядности, ниже приведен пример логики ИЛИ-НЕ с выключателями. Как известно логика ИЛИ близка к выражению "Или A, Или B, Или то и другое", чтобы получить логику ИЛИ-НЕ, результат ИЛИ необходимо инвертировать, чтобы получить "Не A, и не B". На схеме ниже это выглядит следующим образом: Серым отмечены выключатели в состоянии "выключено", синим в состоянии "включено". На первой слева схеме, оба выключателя находятся в положении "выключено", таким образом, следуя выражению на выходе получаем логический 0. Инвертированный результат будет равен 1, и тем самым логически удовлетворять выражению "Не А, Не B". Следующие схемы демонстрируют соответственно "ИЛИ А","ИЛИ B", "И А, И B" с последующей инверсией результата.
Ниже представлены варианты реализации вентиля ИЛИ-НЕ с помощью диодно-транзисторной логики, и с помощью МОП
Представленная схема на МОП выполнена на однотипных МОП-транзисторах однако существуют вариант схемы ИЛИ-НЕ на дополняющих МОП-тразисторах. Такую схему получают путем последовательного соединения однотипных транзисторов и параллельного соединения группы транзисторов другого типа.
Литература
Примечания
- ↑ Терещук Д. С. Логическое моделирование СБИС на переключательном уровне
- ↑ Ю.С. Забродин "Промышленная электроника" - С. 221.
- Булева алгебра
- Математическая логика
- Логические операции
- Бинарные операции
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое "Стрелка Пирса" в других словарях:
Стрелка (символ) — У этого термина существуют и другие значения, см. Стрелка. Стрелка название ряда типографских символов, внешне похожих на стрелу, например: ← → ↑ ↓. В Юникоде 5.1 имеется 322 символа, содержащих в своём описании слово ARROW, 6 символов,… … Википедия
ПИРСА СТРЕЛКА — двуместная логическая операция, обычно обозначаемая и задаваемая следующей истинностной таблицей: Таким образом, высказывание означает ни А, ни В . П. с. обладает тем свойством, что через нее выражаются все другие логические операции. Например,… … Математическая энциклопедия
Битовая операция — Битовые операции, иногда также булевы или логические операции[1] операции над битами, применяемые в программировании и цифровой технике, изучаемые в дискретной математике и математической логике. Содержание 1 Введение 1.1 … Википедия
Булевы операции — Битовые операции, иногда также булевы или логические операции[1] операции над битами, применяемые в программировании и цифровой технике, изучаемые в дискретной математике и математической логике. Содержание 1 Введение 1.1 … Википедия
Инвертор (логический элемент) — Битовые операции, иногда также булевы или логические операции[1] операции над битами, применяемые в программировании и цифровой технике, изучаемые в дискретной математике и математической логике. Содержание 1 Введение 1.1 … Википедия
Булева функция — В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из за отсутствия сносок … Википедия
Штрих Шеффера — Штрих Шеффера бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г. (в отдельных источниках именуется как Пунктир Чулкова) Штрих Шеффера, обычно обозначаемый |, задаётся… … Википедия
Список статей по логике — Это служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы. Данное предупреждение не ус … Википедия
Стрелка Пирса (символ Лукашевича) — двуместная , задается следующей истинностной таблицей:
 | | |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
См. также
Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.
Читайте также: