Логическая операция штрих шеффера сообщение
Обновлено: 05.07.2024
Если высказывание A истинно, будем писать A =1, а если - ложно, то A =0.
Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных — или наборов входных переменных — обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности (комбинационной таблицей). Количество наборов входных переменных (Q) можно определить по формуле:Q=2n, где n — количество входных переменных.
Простейшим примером логической функции является функция одной переменной:
| Аргумент | Функция | |||
| X | F0(X) | F1(X) | F2(X) | F3(X) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
- F 0 (X) - константа 0;
- F1(X) - переменная X;
- F2(X) - инверсия X;
- F3(X) - константа 1.
Рассмотрим таблицу значений функции от n переменных. Число строк в такой таблице будет равно числу всевозможных n -ок, т.е. равно 2 n . А число столбцов – числу переменных плюс единица, т.е. ( n +1). При построении таблицы учтем, что каждую n можно рассматривать как двоичное число, и выпишем их в порядке возрастания от 0 до 2 n –1.
| x1 | x2 | x3 | . | xn-1 | xn | f(x1, x2, x3, . xn-1, xn) |
| 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | f(0, 0, 0, . 0, 0) |
| 0 | 0 | 0 | . | 0 | 1 | f(0, 0, 0, . 0, 1) |
| 0 | 0 | 0 | . | 1 | 0 | f(0, 0, 0, . 1, 0) |
| . | . | . | . | . | . | . |
| 1 | 1 | 1 | . | 1 | 1 | f(1, 1, 1, . 1, 1) |
В правом столбце таблицы записывают значения функции на соответствующих n -ках.
Тождественно-истинные функции – это логические функции, истинные на всех наборах значений входных переменных.
Тождественно ложные функции – это логические функции, ложные на всех наборах значений входных переменных.
ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ.
Штрих Шеффера, обычно обозначаемый |, задаётся следующей таблицей истинности:
| X | Y | X|Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Таким образом, высказывание X | Y означает, что X и Y несовместны, т.е. не являются истинными одновременно. От перемены мест операндов результат операции не изменяется.
Штрих Шеффера, как и стрелка Пирса, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть используя только штрих Шеффера можно построить остальные операции. Например,
— отрицание \right)\,|\,\left( \right) = X \vee Y " width="" height="" />
— дизъюнкция \right)\,|\,\left( \right) = \left( \right) " width="" height="" />
— конъюнкция — константа 1
В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента. С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих логические выражения схем и тем самым снижает их надёжность. Примером может являться промышленная 155 серия.
Элемент, реализующий штрих Шеффера обозначается следующим образом (по стандартам ANSI):
В европейских стандартах принято другое обозначение:
См. также
Литература
- Булева алгебра
- Логические элементы
- Логические операции
- Бинарные операции
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое "Штрих Шеффера" в других словарях:
ШЕФФЕРА ШТРИХ — логическая операция, обычно обозначаемая |, к рая задается следующей истинностной таблицей: Таким образом, высказывание означает, что Аи Внесовместны, т. е. не являются истинными одновременно. Через Ш. ш. выражаются все другие логич. операции.… … Математическая энциклопедия
Аксиома Вольфрама — является результатом исследований, осуществленных Стивеном Вольфрамом[1] в поиске кратчайшей аксиомы из одного уравнения, эквивалентной аксиомам булевой алгебры (или логике высказываний). Результатом[2] его поиска стала аксиома с шестью… … Википедия
Булева функция — В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из за отсутствия сносок … Википедия
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ — раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями. В рамках данного раздела высказывания (пропозиции, предложения) рассматриваются только с т.зр. их истинности или ложности, безотносительно к их внутренней субъектно … Философская энциклопедия
Логические операции — логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов (См. Логика предикатов), содержащие переменные (См. Переменная) и обращающиеся в высказывания при… … Большая советская энциклопедия
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… … Философская энциклопедия
Стрелка Пирса — Стрелка Пирса бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880 1881 г.г. Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, задаётся следующей таблицей истинности:… … Википедия
Битовая операция — Битовые операции, иногда также булевы или логические операции[1] операции над битами, применяемые в программировании и цифровой технике, изучаемые в дискретной математике и математической логике. Содержание 1 Введение 1.1 … Википедия
Булевы операции — Битовые операции, иногда также булевы или логические операции[1] операции над битами, применяемые в программировании и цифровой технике, изучаемые в дискретной математике и математической логике. Содержание 1 Введение 1.1 … Википедия
Штрих Ше́ффера (NAND [1] , отрицание конъюнкции) — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 году.
Штрих Шеффера, обычно обозначаемый | или ↑, эквивалентен операции И-НЕ [1] и задаётся следующей таблицей истинности:
| X | Y | X | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Таким образом, высказывание X | Y означает, что X и Y несовместны, то есть не являются истинными одновременно. От перемены мест операндов результат операции не изменяется.
Штрих Шеффера, как и стрелка Пирса, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть, используя только штрих Шеффера, можно построить остальные операции. Например,
Цифровая ТТЛ-микросхема SN7400N, содержащая в корпусе четыре элемента 2И-НЕ, реализующих функцию штрих Шеффера
В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента. С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих логические выражения схем и тем самым снижает их надёжность. Примером может являться промышленная 155 серия.
Элемент 2И-НЕ (2-in NAND), реализующий штрих Шеффера, обозначается следующим образом (по стандартам ANSI):
Логические операции в создании компьютерных программ — действия, которые производятся над входными данными. Такие функции производятся над сигналами булевского типа, то есть над примитивными выражениями, имеющими только два возможных значения: истина или ложь.
Виды операций
В программировании выделяют следующие виды функций:
- Логическое умножение или конъюнкция.
- Логическое сложение или дизъюнкция.
- Логическое отрицание или инверсия.
- Логическое следование или импликация.
- Логическая равнозначность или эквивалентность.
- Стрелка Пирса.
- Штрих Шеффера .
Логическое умножение (конъюнкция)
Конъюнкция — это действие, в результате которого каждым двум входным данным соответствует одно новое высказывание. Истинное значение на выходе получается, когда оба входных значения истинны.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Таблица истинности для логического умножения выглядит так:
A, B — исходные данные;
A и B — значение, приобретаемое в результате реализации конъюнкции.
Из таблицы следуют свойства логического умножения:
- при ложном значении одной входной информации из двух конъюнкция будет ложной;
- при истинном значении переменных конъюнкция будет истинной;
- результат логического умножения не зависит от порядка записи ее переменных.
Логическое сложение (дизъюнкция)
Дизъюнкция — это булева функция, в итоге которой выходные данные будут ложными только при ложности всех исходных выражений.
Таблица истинности логического сложения:
A, B — входная информация;
A или B — значение, приобретаемое в результате выполнения дизъюнкции.
Для дизъюнкции справедливы следующие утверждения:
- при истинности хотя бы одного подвыражения дизъюнкция будет истинной;
- при ложности всех высказываний дизъюнкция примет ложное значение;
- итог дизъюнкции не зависит от перемены мест слагаемых.
Логическое отрицание (инверсия)
Инверсия — выражение, ставящее в соответствие одному значению противоположное.
Таблица истинности инверсии:
A — исходные данные;
не A — значение, приобретаемое в результате логического отрицания.
Логическое следование (импликация)
Импликация — это булева операция, ложная лишь тогда, когда первая исходная переменная является истиной, а вторая — ложью.
Следование записывается с помощью знака \(\rightarrow.\)
Таблица истинности для импликации:
A — входная информация, означающая условие;
B — входная информация, означающая следствие;
A → B — значение, приобретаемое в результате импликации.
Логическая равнозначность (эквивалентность)
Эквивалентность — выражение, являющееся истинным лишь в случае равенства двух входных элементов.
При записи равнозначности используют стрелки \(\Leftrightarrow\) , \(\leftrightarrow\) , \(\Xi\) .
Таблица истинности для равнозначности:
Стрелка Пирса
Стрелка Пирса — двухместное логическое действие со следующей последовательностью: сначала над исходными показаниями производится дизъюнкция, затем происходит отрицание полученного результата.
Данная манипуляция является отрицание логического сложения. Свое название рассматриваемая функция получила от своего автора — американского ученого Чарльза Пирса.
Запись стрелки Пирса осуществляется через знак \(\downarrow\) .
Таблица истинности для этой операции следующая:
Особенность стрелки Пирса заключается в ее возможности строить другие булевы функции.
Пример
Штрих Шеффера
Штрих Шеффера — это действие, приводящее к ложному итогу лишь при истинности обоих исходных данных. По порядку выполнения операций эта функция эквивалентна отрицанию конъюнкции.
Символ Шеффера назван по фамилии своего создателя — американского логика Генри Шеффера — и обозначается посредством знака \(\vert.\)
Таблица истинности для данной функции:
С помощью штриха Шеффера можно воспроизвести другие логические манипуляции.
Пример
Порядок выполнения операций
В составном логическом выражении действия выполняются в такой последовательности:
- инверсия;
- конъюнкция;
- дизъюнкция;
- импликация;
- эквивалентность.
Для построения нужного порядка, как и в математических выражениях, используют скобки.
Читайте также: