Использование дифференциальных исчислений в профессиональной деятельности сообщение
Обновлено: 05.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.
Цель: Изучение применения дифференциального исчисления для решения задач по физике, экономике, биологии, химии и географии
Найти информацию об истории возникновениядифференциального исчисления , изучить ее и систематизировать.
Подбор задач из разных разделов биологии, которые решаются с помощью производной
Узнать, какие процессы регулирует производная в географии. Рассмотреть задачи по географии, которые решаются с помощью производной
Подобрать задачи из разных разделов физики, которые решаются с помощью производной.
Подобрать экономические задачи, которые решаются с помощью производной.
Рассмотреть применение правил вычисления производной к решению практических задач с экономическим содержанием.
Исторически понятие производной возникло из практики. Скорость неравномерного движения, плотность неоднородной материальной линии, а та же тангенс угла наклона касательной к кривой и другие величины явились прообразом понятия производной. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что ещё более усилило его прикладное значение. Создание дифференциального исчисления чрезвычайно расширило возможности применения математических методов в естествознании и технике. В дифференциальном исчислении устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами дифференциального исчисления. К их числу относятся теорема Ролля, формула Лагранжа, признаки постоянства и монотонности функции.
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производных, прежде всего ее первой производной.
1. Понятие производной
1-1. Исторические сведения
Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа , в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций .
В современном научном сообществе принято однозначно разделять науку на античный период и период нового времени. Но в чём же состоит отличие этих периодов? Чем принципиально отличался научный подход Платона, Аристотеля и прочих известных учёных античности от подхода крупных деятелей науки нового времени? В реальности, у разделения на два периода существует множество оснований. В рамках данной статьи мы рассмотрим одно, наиболее фундаментальное и показательное основание – возникновение дифференциального исчисления. Через предпосылки к появлению этого известнейшего метода в современной науке в трудах философов и математиков мы сможем проследить чёткую границу между античным и современным взглядом на науку, однозначно ответив на поставленные в начале статьи вопросы.
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика
Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе
изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается
наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась
кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в
работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производных, прежде всего ее первой производной. [1]
Метод применения дифференциального исчисления к изучению различных процессов состоит в том, что данный процесс мы разбиваем на ряд коротких процессов, каждый из которых предполагаем протекающим равномерно. При этом приращение функции, определяющей ход явления, мы заменяем ее дифференциалом. [2]
В главе 8 описано применение дифференциального исчисления при определении цен, максимизирующих прибыль. [3]
Вторая часть посвящена изложению применений дифференциального исчисления к анализу и к высшей геометрии. Общую алгебру дифференциальное исчисление обогащает многими удобными средствами для нахождения корней уравнений, для изучения и суммирования рядов, для определения значений выражений, которые в некоторых случаях кажутся неопределенными, и для других целей. Высшая геометрия также многое приобретает благодаря дифференциальному исчислению; с его помощью можно определять с изумительной легкостью касательные кривых линий и их кривизну и решать многие другие вопросы, как, например, задачу о лучах, отраженных от кривых линий или преломленных ими. Хотя этим можно было бы заполнить обширнейший трактат, но я постараюсь, несколько это возможно, изложить все кратко и ясно. [4]
Так как нам нужно показать применение дифференциального исчисления в общем анализе и в учении о рядах, то здесь придется привести некоторые вспомогательные сведения из общей алгебры, которые обычно не излагаются. Хотя большая их часть уже рассмотрена нами во Введении, однако кое-что мы там опустили, отчасти потому, что считали более удобным изложить это тогда, когда в этом будет необходимость, а отчасти потому, что нельзя было предвидеть все, что нам позднее понадобится. Сюда относится преобразование рядов, которому мы посвящаем эту главу и с помощью которого какой-либо ряд можно преобразовать в бесчисленные другие ряды, которые все будут иметь одну и ту же сумму, так что если известна сумма предложенного ряда, то и остальные ряды можно будет тотчас же суммировать. На основе того, что будет изложено в этой главе, мы сможем в дальнейшем с помощью дифференциального и интегрального исчислений расширить учение о рядах. [5]
Строго говоря, сам факт применения дифференциального исчисления предполагает, что катализатор можно рассматривать, как сплошную среду. Конечно, в действительности катализатор состоит из отдельных зерен, однако, ошибка при таком подходе, по-видимому, не очень велика, если на расстоянии, равном размеру зерна, температура и концентрация изменяются незначительно по сравнению с их абсолютными величинами. [7]
Мы расскажем еще об одном применении дифференциального исчисления к учению о рядах, а именно, о применении его к самому образованию рядов. Мы ужо упоминали об этом, когда речь шла о разложении в ряд дроби, знаменатель которой есть степень какой-либо функции. Этот метод сходен с тем, который мы уже применяли несколько раз, когда полагали функцию, разлагаемую в ряд, равной некоторому ряду, имеющему при отдельных членах неопределенные коэффициенты, которые затем должны быть определены из устанавливаемых равенств. Этот способ определения коэффициентов часто облегчается удивительным образом, если, прежде чем его применить, мы продифференцируем уравнение, введя первые, а иной раз и вторые дифференциалы. Так как этот метод имеет очень широкое применение в интегральном исчислении, то мы его изложим здесь обстоятельно. [8]
В девятой главе ( О применении дифференциального исчисления к решению уравнений) дается способ получения более точных значений корня уравнения по исходному грубому приближению. Идея, которую здесь использует Эйлер-представление искомого корня в виде ряда, расположенного по степеням разности между искомым корнем и исходным приближением, была широко использована впервые Ньютоном, а затем его английскими последователями, так что в этой главе мы не находим принципиально новых вещей. Но систематическое применение ряда Тэйлора и большое число примеров выгодно отличают лзложение Эйлера от изложения его предшественников. [9]
Работа Пуассона, по-видимому, - первый пример применения дифференциального исчисления для решения термодинамических задач. [10]
Работа Пуассона, по-видимому, является первым примером применения дифференциального исчисления для решения термодинамических задач. [11]
Наконец, последняя, восемнадцатая глава ( О применении дифференциального исчисления к разложению дробей) дает основанный на применении дифференцирования метод определения числителей простейших дробей, на которые разлагается рациональная дробь; предполагается, что корни знаменателя известны. Заметим что ни здесь, ни во Введении, где вопрос этот решался чисто алгебраическими способами, не дается доказательства возможности такого разложения. [12]
Однако можно привести много примеров таких функций, где экстремумы можно находить строго и без применения дифференциального исчисления . [13]
Мы еще вернемся к этому вопросу и в § 4 главы IV, где будут даны общие методы раскрытия неопределенностей уже с применением дифференциального исчисления . [14]
Термин составление непрерывных величин звучит как некая попытка дифференцирования. Необходимость применения дифференциального исчисления при решении математических задач непрерывно возрастала. Галилею самому такие методы были необходимы, и он пытался их разработать. Следующее поколение еще больше стало нуждаться в подобных методах, и не удивительно, что Ньютон и Лейбниц независимо изобрели дифференциальное исчисление. [15]
Место темы в школьном курсе математики .
Развитию у учащихся правильных представлений о характере отражения алгеброй основных элементов в геометрии и физике, роли математического моделирования в научном познании способствует знакомство их с решением и визуализацией различных математических задач на компьютере. Изложение факультативного курса базируется на основных возможностях версии 6.1 пакета математических и инженерных вычислений MATLAB, ставшего в настоящее время стандартным средством поддержки изучения высшей математики, численного анализа и других учебных курсов во многих университетах. Учащимся излагаются основные возможности численных и символьных вычислений, программирования и визуализации результатов, предоставляемые ядром системы MATLAB и его пакета расширения SymbolicMathToolbox.
Основные понятия факультативного курса : определённый интеграл, длина кривой, площадь, поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, объём тела и др.
Цели факультативного курса.
2. Воспитывающие: создание условий для успешного профессионального самоопределения учащихся посредством решения трудных задач с использованием компьютера, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного изучения математики.
3. Развивающие: расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие профессиональных интересов учащихся, развитие навыков самостоятельной и исследовательской деятельности, развитие рефлексии учащихся (осознание своих склонностей и способностей, необходимыми для будущей профессиональной деятельности).
1. История интегрального и дифференциального исчисления
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н.э.). Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом (ок. 287 – 212 до н.э.). С этой модификацией вы знакомы: вывод формулы площади круга, предложенный в курсе геометрии, основан на идеях Архимеда
Его остроумные и глубокие идеи, связанные с вычислением площадей и объёмов тел, решением задач механики, по существу, предвосхищают открытие математического анализа и интегрального исчисления, сделанное почти 2000 лет спустя. Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод — метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f (х) , которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме – нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов. Простейшие следствия принципа Кавальери вы можете вывести сами. Докажите , например, что прямой и наклонный цилиндры с общим основанием и высотой имеют равные объемы.
В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 г. решил задачу квадратуры любой кривой , где п — целое (т. е. по существу вывел формулу , и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести.
Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона — Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики — интегральное исчисление (calculus integralis ), которое ввел И. Бернулли.
В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768—1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии. В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801—1862), В. Я. Буняковский (1804-1889), П. Л. Чебышев (1821—1894).
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826—1866, см. рис. 4.), французского математика Г. Дарбу (1842— 1917).
2. Дифференциал в физике
Мы ввели понятие дифференциала с помощью равенства . Для вычисления дифференциала надо найти производную. Однако, помня о том, что дифференциал — это главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращений аргумента, мы из физических соображений получим равенства вида dy = kdx и сделаем вывод о том, что k — это производная у по х.
1. Работа. Найдем работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х: F =F ( x ). Приращение работы А на отрезке [х, x + dx ] нельзя точно вычислить как произведение F ( x ) dx , так как сила меняется, на этом отрезке. Однако при маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет главную часть , т. е. является дифференциалом работы (dA = = F ( x ) dx ). Таким образом, силу можно считать призводной работы по перемещению.
2. Заряд. Пусть q — заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t . Если сила тока / постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt . При силе тока, изменяющейся со временем по закону / = /(/), произведение I ( t ) dt дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [/, t +- dt ], т.е.- является дифференциалом заряда: dq = I t ) dt . Следовательно, сила тока является производной заряда по времени.
3. Масса тонкого стержня. Пусть имеется неоднородный тонкий стержень. Если ввести координаты так, как показано на рис. 130, то функция т= т(1) — масса куска стержня от точки О до точки /. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки / по некоторому закону р = р(/). Если на маленьком отрезке стержня [/, / + d/] предположить, что плотность постоянна и равна р(/), то произведение p(/)d/ дает дифференциал массы dm . Значит, линейная плотность — это производная массы по длине.
5. Снова работа. Рассмотрим работу как функцию времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени, — это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt . Это выражение представляет дифференциал работы, т.е. dA = N ( t ) dt , и мощность выступает как производная работы по времени.
Все приведенные примеры были построены по одному и тому знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; масса, длина, линейная плотность; и т. д. Каждый раз одна из этих величин выступала каккоэффициент пропорциональности между дифференциалами двумя других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dy = k ( x ) dx . На такое соотношение можно смотреть как на способопределения величины k ( x ). Тогда k ( x ) находится (или определяется) как производная у по х. Этот вывод мы и фиксировали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у от х из заданного соотношения междуих дифференциалами.
3. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y = f ( x ), a ≤ x ≤ b , и имеет плотность = ( x ) , то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и O y равны
моменты инерции I Х и I у относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
а координаты центра масс и — по формулам
где l — масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y = chx при 0≤ x ≤ 1.
◄ Имеем: Следовательно,
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена . Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 2.Найти координаты центра масс полуокружности
◄Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем
Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C .
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью (t ) за отрезок времени [t1 ,t2 ], выражается интегралом
►
4. Дифференциальные уравнения
Многие физические законы имеют вид дифференциальных уравнений, т. е. соотношений между функциями и их производными. Задача интегрирования этих уравнений — важнейшая задача математики. Одни дифференциальные уравнения удается проинтегрировать в явном виде, т.е. записать искомую функцию в виде формул. Для решения других до сих пор не удается найти достаточно удобных формул. В этих случаях можно найти приближенные решения с помощью вычислительных машин. Мы не будем подробно изучать методы интегрирования дифференциальных уравнений, а только рассмотрим несколько примеров.
1. Уравнение механического движения. Пусть материальная точка массы т движется под действием силы F по оси х. Обозначим t время ее движения, и — скорость, а — ускорение. Второй закон Ньютона, а = Fm примет вид дифференциального уравнения, если записать ускорение, а как вторую производную: a = x ’’.
Уравнение тх" = F называют уравнением, механического движения, где x = x ( t ) —неизвестная функция, т и F — известные величины. В зависимости от условий задачи по-разному и записываются различные дифференциальные уравнения.
2. Радиоактивный распад
— масса распадающего вещества. Количество распадающего вещества пропорционально количеству и времени, т.е. при имеем
.
Решение дифференциального уравнения- . Дополнительные условия- , тогда задача
Решение задачи:
3.Движение системы N материальных точек.
Система уравнений Ньютона
,
-масса, - радиус вектор i- ой точки, - сила воздействующая на i -ую точку.
Частный случай колебания маятника
.
При малых колебаниях и тогда уравнение имеет вид:
.
4. Прогибание упругого стержня.
Если стержень однороден, то вдоль стержня постоянное касательное натяжение . Тогда вертикальная сила в точке x , где смещение u(x ). Если в каждой точке стержня действует внешняя сила то
.
Рассмотрим частный случай , тогда получаем уравнение
.
Дополнительные условия (закрепленные концы) - . Тогда задача
.
5. Примеры решения задач в matlab
Задача 1. Построить семейство функций () и найти их общие точки, при чём в объекте Figure подписать графики и точки, обозначить оси, подписать заголовок и использовать разные цвета для построенных графиков. При решении использовать функцию num2str(x), переводящее число x в строковую величину:
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В СОЦИОЛОГИИ
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В наше время многие достижения высшей математики применяются не только непосредственно в самой математике, но и во многих других науках и социология не исключение.
Многие специалисты работающие в сфере изучения общества очень часто сталкиваются с необходимостью использовать такие математические методы как дифференциального исчисления.
Теоретическая часть
Дифференциальное исчисление было разработано в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем на примере таких задач, как:
1. задача о разыскании касательной к произвольной линии;
2. задача о разыскании скорости при произвольном законе движения
Дифференциальные исчисления связаны с производной и дифференциалом функции. Для более подробного понимания данной темы предлагаю начать с обзора ключевых понятий:
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0. Предел отношения приращения Δу функции в этой точке (если он существует) к приращению Δх аргумента, когда Δх → 0, называется производной функции f(x) в точке х0[1]. Обозначение производной - f`(x0). Вычисление производной называется дифференцированием функции. Для использования данной операции используется таблица производных и основные правила дифференцирования:
Дифференциалом функции называется главная линейная относительно Δх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной. Обозначение дифференциала функции – dy = f`(x)Δх.
Дифференциал обладает следующими свойствами:
Разобрав теоретическую часть, необходимо подумать о практическом значении дифференциального исчисления именно в социологии.
Практическая часть
Практически во всех отраслях социологии используются производные. Например, в социологии экономики социологи используют производные, чтобы узнать изменения в гос. бюджете страны.
В социологии труда можно обратиться к производной во время подсчета производительности труда на каком-либо предприятии.
На мой взгляд, дифференциалы используются в социологии при измерении тех единиц, которые используются социологами чаще. Общей чертой всех измерений является то, что ни одно из них в нашей науке нельзя провести абсолютно точно, в любом случае придется прибегнуть к выражению данных через приближенное число, разница между полученным и приближенным числом будут являться погрешностью в нашем исследовании.
Заключение
Список используемой литературы
Сканави, М.И. Элементарная математика [Текст] / М.И. Сканави - М.: 1974 - 592с.
Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - 2 изд. - М.: ЮНИТИ, 2004. - 471 с.
Читайте также: