Если сообщение несет 3 бита информации величина обратная вероятности отъезда черной машины равна 8

Обновлено: 10.05.2024

Решение задач по теме "Количество информации" (10кл)

Пример 1. В коробке 32 карандаша, все карандаши разного цвета. Наугад вытащили красный. Какое количество информации при этом было получено?

Решение.
Так как вытаскивание карандаша любого цвета из имеющихся в коробке 32 карандашей является равновероятным, то число возможных событий равно 32.
N = 32, I = ?
N = 2 I , 32 = 2 5 , I = 5 бит.
Ответ: 5 бит.

Решение.
Количество информации вычисляется по формуле: 2 i = N, где i - искомая величина, N - количество событий. Следовательно, 2 3 =8.
Ответ: 3 бита.

Пример 5. Заполнить пропуски числами:

а) 5 Кбайт = __ байт = __ бит, б) __ Кбайт = __ байт = 12288 бит; в) __ Кбайт = __ байт = 2 13 бит; г) __Гбайт =1536 Мбайт = __ Кбайт; д) 512 Кбайт = 2__ байт = 2__ бит.

Решение.
а) 5 Кбайт = 5120 байт =40 960 бит,
б) 1,5 Кбайт = 1536 байт = 12 288 бит;
в) 1 Кбайт = 2 10 байт = 2 13 бит;
г) 1,5 Гбайт = 1536 Мбайт = 1 572 864 Кбайт;
д) 512 Кбайт = 2 19 байт = 2 22 бит.

Решение.
1) 1/512 Мб * 1024 = 2 Кб * 1024 = 2048 байт
2) К = 2048 символов, следовательно, i = 1 байт = 8 бит
3) 2 i = N; 2 8 = 256 символов

Ответ: 1) 1/512 Мб * 1024 = 2 Кб * 1024 = 2048 байт
2) К = 2048 символов, следовательно, i = 1 байт = 8 бит
3) 2 i = N; 2 8 = 256 символов.

Пример 7.Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц; на каждой странице - 40 строк, в каждой строке - 60 символов. Каков объем информации в книге?

Решение.
Мощность компьютерного алфавита равна 256. Один символ несет 1 байт информации.
Значит, страница содержит 40*60=2400 байт информации. Объем всей информации в книге: 2400*150 = 360 000 байт.
Ответ: 360 000 байт.

Решение.
Для кодировки одной из 10 цифр необходимо 4 бита. Это получаем из 2 3 4 . Объём 150 символов получим 150*4=600(бит).
Ответ: 600 бит.

Пример 9.В кодировке Unicode на каждый символ отводится два байта. Определите информационный объем слова из двадцати четырех символов в этой кодировке.

Решение.
I= K*i; I = 24*2 байт = 48 байт = 48*8бит = 384 бит.
Ответ: 384 бита.

Решение.
Количество информации вычисляется по формуле: 2 i = N, где i - искомая величина, N - количество событий.
2 i =128. Следовательно, i=7.
Ответ: 7 бит.

Решение задач данной группы надо начинать с определения исходов (равновероятностных или разновероятностных), заданного в условии задачи.

Решение задач с равновероятностными исходами.

Воспользуемся формулой I=log₂N в нашем случае

I= log₂16,

I=log₂2 4 ,

I=4 бит.

2 I =N,

2 I =16, 2 I =2 4 ,

I=4 бит.

Решение. Эта задача является «обратной! По отношению к задачи 1. Для решения данной задачи используется формула Хартли 2 I =N.

Необходимо найти количество возможных событий (в данном случае, количество подъездов в доме)

2 I =N,

2 4 = N,

2 4 =16,

N =16 (под.)

Ответ: в доме 16 подъездов.

Решение. Для решения данной задачи также используется формула Хартли 2 I =N.

Необходимо найти количество возможных событий (в данном случае, количество баночек с краской)

2 I =N,

2 3 = N,

2 3 =8,

N=8 (б.)

Ответ: у ребят было 8 баночек с краской разного цвета.

Задача 4. В книжном магазине 16 стеллажей с художественной литературой, на каждом – по 8 полок. Консультант сообщили покупателю, что нужная книга находится на 2-ой полке 4-го стеллажа. Какое количество информации получил покупатель?

Решение. Для решения данной задачи также используется понятие равновероятных событий и формула Хартли 2 I =N.

1) Число стеллажей (случаев) – 16.

N1 = 16,

2 I =N,

2 I =16,

2 4 =16,

2) Число полок на каждом стеллаже (случаев) – 8.

N2 = 8,

2 I =N,

2 I =8,

2 3 =8,

3) I = I1 + I2,

I = 4 бита + 3 бита = 7 бит.

1 вопрос: Число >100? Да (Вариантов 100)

2 вопрос: Число 175? Нет (Вариантов 25) и т.д.

2 I =200,

т.к. 2 7 =128, а 2 8 =256, то 7 I =N) правильнее было бы записать так: наименьшее целое I такое, что 2 I >=N.

Для отгадывания числа нужно задать 8 вопросов. Продолжим задавать вопросы для числа 152.

4 вопрос: Число > 160? Нет

5 вопрос: Число > 155? Нет

6 вопрос: Число 151? Да

8 вопрос: Число =152? Да

Ответ: Наименьшее количество вопросов для отгадывания числа равно 8.

Решение задач на вычисление количества информации разновероятностных исходов.

Количество информации в случае различных вероятностей событий определяется по формуле Шеннона:

где I – количество информации;

Pi - вероятности i-го исхода событий;

Ii -частное количество информации, получаемое в случае реализации i-ого исхода;

N – количество возможных событий;

Ki - количество случаев реализации i-го события.

Решение. События поимки щуки или сома не являются равновероятными, так как сомов в озере меньше, чем щук. Общее количество щук и сомов в реке 1500 + 500 = 2000.

Pi=k/N, Pi- вероятность i-го исхода событий

Вероятность попадания на удочку щуки P1=K1/N, где K1-количество щук в реке, N- общее количество рыб в реке.

P1 = 1500/2000 = 0,75.

Вероятность попадания на удочку сома P2 = 500/2000 = 0,25.

I = P1log₂(1/P1)+ P2log₂(1/P2) I = 0,75*0,42+0,25*2 =0,815бит≈0,8бит

Решение. В данной задаче разное количество автомобилей черного, красного и белого цвета, поэтому въезд на стоянку автомобиля определенного цвета имеет разную вероятность. Будем использовать формулу Шеннона.

Из условия задачи имеем

8=log₂(1/P_б), где Р_б- вероятность въезда белого автомобиля.

1/Р_б=2 8 , тогда Р_б=1/2 8 =1/256.

Обозначим через N количество автомобилей на стоянке.

Так как на стоянке находится 36 авто красного цвета, тогда вероятность выезда красного автомобиля можно вычислить по формуле:

Р_К =36/N, где Рк – вероятность въезда красного автомобиля.

6=log₂(1/Р_б+кр) , следовательно 1/Р_б+кр=2 6 ,

Так как Р_б+кр=Р_б +Р_кр=1/64, получим, 1/256+36/N=1/64, тогда (N+36х256)/(256+N)=1/64

64(N+9216)=256N,

N+9216=4N,

3N=9216,

N=3072 – количество машин на автостоянке.

Т.к. Р_б=N_б/N, где N_б – количество автомобилей белого цвета,

N_б=N/256=3072/256=12 – количество автомобилей белого цвета.

Пусть Nч- количество автомобилей черного цвета, тогда

Nч= N- N_б- N_кр=3072-12-36=3024-количество автомобилей черного цвета.

Ответ: на автостоянке 3072 машины, среди них 12- автомобили белого цвета, 36-красного, 3024-черного цвета.

Решение. В данной задаче в сундуке лежит разное количество золотых, серебряных и медных монет, поэтому извлечение из сундука золотой, серебряной или медной монеты имеет разную вероятность. Будем использовать формулу Шеннона.

Из условия задачи имеем 4=log₂(1/Рс), где Рс- вероятность извлечения купцом из сундука серебряной монеты.

1/Рс=2 4 , тогда Рс=1/2 4 =1/16.

Обозначим через N количество монет в сундуке, тогда из условия задачи имеем. Рс=Nc/N, где Nс – количество серебряный монет в сундуке,

N=96-по условию задачи.

1/16=Nc/96 ,

Nc=96/16=6-серебряных монет в сундуке.

Аналогичным образом находится количество золотых монет , 5=log₂(1/Рз), где Рз- вероятность извлечения золотой монеты.

1/Рз=2 5 , тогда Рз=1/2 5 =1/32.

Рз=Nз/N ,где Nз – количество золотых монет в сундуке,

N=96-по условию задачи.

1/32=Nз/96 ,

Nз=96/32=3-золотых монеты в сундуке.

Nм=N-Nc-Nз,

Nм=96-6-3=87 – медных монет в сундуке.

Ответ: В сундуке 87 медных, 3 золотых, 6 серебряных монет.

Аналогичным образом проведем преобразование числового выражения 7-log₂120.

Используя формулу Шеннона Ii=log₂(1/Pi) можно вычислить вероятность выбора в многоквартирном доме не двухкомнатной квартиры, т.е. однокомнатной или трехкомнатной:

log₂(128/24)=log₂(1/P₁₊₃), тогда 128/24=1/P₁₊₃ , следовательно P₁₊₃=24/128.

Аналогичным образом вычислим вероятность выбора не однокомнатной квартиры (т.е. двухкомнатной или трехкомнатной).

log₂(128/120)=log₂(1/P₂₊₃), тогда 128/120=1/P₂₊₃ следовательно P₂₊₃=120/128.

Используя аксиомы сложения вероятностей вычислим вероятность выбора однокомнатной квартиры Р₁:

Аналогичным способом вычислим вероятность выбора трехкомнатной квартиры:

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема: Вероятностный подход к определению количества информации

сформировать у уча щихся понимание вероятности, равновероятных событий, не равновероятных событий;

научить находить количество информации.

Мы с вами говорили о том, что в основе нашего мира лежат три состав ляющие - вещество, энергия и информация. А как много в мире вещества, энергии и информации.

- Можно ли измерить количество вещества и как именно? (Вещество можно взвесить (в килограммах, гаммах и т.д.) на весах, определить его длину (в сантиметрах, в метрах и т.д.) с помощью линейки; найти его объем, применив соответствующие измерения и т.д.)

— Можно ли определить количество энергии? (Можно, например, найти количество тепловой энергии в Дж, электроэнергии в кВт/ч, и т.д.)

Можно ли измерить количество информации и как это сделать? (Пол ного и правильного ответа на этот вопрос учащиеся не дадут.)

Оказывается, информацию также можно измерять и находить ее количество.

Существуют два подхода к измерению информации.

Один из них называется содержательный или вероятностный. Из назва ния подхода можно сделать вывод, что количество информации зависит от ее содержания.

Упражнение 1 (устно)

1. Столица России - Москва.

2: Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Дифракцией света называется совокупность явлений, которые обус ловлены волновой природой света и наблюдаются при его распростра нении в среде с резко выраженной оптической неоднородностью.

Эйфелева башня имеет высоту 300 метров и вес 9000 тонн.

Содержит ли информацию учебник физики за 10 класс? (Да).

Для кого он будет информативным - для ученика 10 класса или 1 клас са? (Для ученика 10 класса он будет информативным, так как в нем со держится новая и понятная ему информация, а для ученика 1 класса она информативной не будет, так как информация для него непонятна.)

Вывод: количество информации зависит от информативности.

2. Введение понятия вероятностного подхода в измерении инфор мации

Пояснение: пример можно продемонстрировать практически.

Упражнение 2 (устно)

Еще один пример. На экзамен приготовлено 30 билетов.

Чему равно количество событий, которые могут произойти при вытя гивании билета? (30)

Равновероятны эти события или нет? (Равновероятны.)

Чему равна неопределенность знаний ученика перед тем как он вытя нет билет? ( 30)

Во сколько раз уменьшится неопределенность знания после того как ученик билет вытянул? (В 30раз.)

Зависит ли этот показатель от номера вытянутого билета? (Нет, т.к. события равновероятны.)

Приведите свои примеры равновероятных событий c указанием величины неопределенности знаний.

Из всех рассмотренных примеров можно сделать следующий вывод:

Получите вы новую информацию после броска? (Нет, так как ответ мы уже знали заранее.)

Чему равно количество информации в этом случае? (Нулю, т.к. оно неинформативно.)

Еще одно определение 1 бита:

Опр. 1 бит — это количество информации, уменьшающее неопределенность знаний в два раза.

Действительно, существует формула, которая связывает между собой ко личество возможных событий и количество информации.

N = 2 i ; где N - количество возможных вариантов,

I - количество информации.

Если из этой формулы выразить количество информации, то получится I = log 2 N .

Как пользоваться этими формулами для вычислений:

если количество возможных вариантов N является целой степенью числа 2, то производить вычисления по формуле N = 2 i достаточно легко. Вернемся к примеру: N = 32; I = 5, т.к. 32 = 2 5 ;

если же количество возможных вариантов информации не является целой степенью числа 2, т.е. если количество информации число вещественное, то необходимо воспользоваться сле дующей таблицей.

Например: Какое количество информации можно получить при угадыва нии числа из интервала от 1 до 11? В этом примере N = 11. Чтобы найти I (количество информации), необходимо воспользоваться таблицей. По таб лице I = 3,45943 бит.

Упражнение 4 (устно)

1. Какое количество информации будет получено при отгадывании чис ла из интервала:

- от 1 до 64 - от 1 до 61

3. Неравновероятные события

На самом деле рассмотренная нами формула является частным случаем, так как применяется только к равновероятным событиям. В жизни же мы сталкиваемся не только с равновероятными событиями, но и событиями, которые имеют разную вероятность реализации.

Если на озере живет 500 уток и 100 гусей, то вероятность подстрелить на охоте утку больше, чем вероятность подстрелить гуся.

Если в мешке лежат 10 белых шаров и 3 черных, то вероятность до стать черный шар меньше, чем вероятность вытаскивания белого.

Если одна из сторон кубика будет более тяжелой, то вероятность выпадения этой стороны будет меньше, чем других сторон.

Упражнение 5 (устно)

Приведите примеры событий с разной вероятностью, несколько приме ров запишите в тетрадь.

Для этого необходимо использовать следующую формулу.

I = log ₂ (1/ p ), где I - это количество информации, р - вероятность события.

Вероятность события выражается в долях единицы и вычисляется по формуле:

р = К / N , где К — величина, показывающая, сколько раз произошло ин тересующее нас событие, N — общее число возможных исходов какого-то процесса.

Пояснение: так как дети еще не умеют вычислять значения логарифмической функции, то можно использовать при решении задач этого урока следующий прием:

В какую степень необходимо возвести число 2, чтобы получилось чис ло, стоящее под знаком логарифма

Закрепление изученного

Найдем вероятность того, что достали белый шар: р _б = 15 / 20 = 0,75;

Найдем вероятность того, что достали красный шар: р _к = 5 / 20 = 0,25.

В коробке лежат кубики: 10 красных, 8 зеленых, 5 желтых, 12 синих. Вы числите вероятность доставания кубика каждого цвета и количество информации, которое при этом будет получено.

- Являются ли события равновероятными? Почему? (Нет, т.к. количес тво кубиков разное.)

- Какую формулу будем использовать для решения задачи? ( I = log (1/ N )
Решение:

Всего кубиков в коробке N = 10 + 8 + 5 + 12 = 35.

Найдем вероятности: р _к = 10 / 35 « 0,29, р _з = 8/35-0,22,

3. Найдем количество информации:

I к = log 2( l /0,29) = log 23,4 = 1,85695 бит, Ic = log 2( l /0,34) = log 22,9 = 1,71498 бит, I з = log 2( 1/0,22) = log 24,5 = 2,132007 бит, I ж = log 2( l /0,14) = log 27, l = 2,672612 бит.

Решение задач, в условии которых события не равновероятны

N = 8 + 24 = 32 - шара всего;

р _ч = 8/32 = ¼ — вероятность доставания черного шара;
3) I _ч = log ₂ ( 1/1/4) = 2 бита. Ответ: 2 бита.

Дано: N = 64; I ₆ = 4.

Решение:1 !) I ₆ = log ₂ ( l / p ₆ ); 4 = log ₂ ( l / p ₆ ); 1/р ₆ =16; р _б = 1/16-вероятность доста вания белого карандаша;

2) р ₆ = K ₆ / N ; 1/16 = К/64; К _б = 64/16 = 4 белых карандаша. Ответ: 4 белых карандаша.

2) I ₄ = log ₂ ( l / p ₄ ) = log ₂ ( l / l /2)=1 бит. Ответ: 1 бит.

Известно, что в ящике лежат 20 шаров. Из них 10 - синих, 5 - зеленых, 4 — желтых и 1 — красный.

Решение :

р _с = K _с / N = 10/20 = 1/2 — вероятность доставания синего шара;

р _з = K з/ N = 5/20 = 1/4 — вероятность доставания зеленого шара;

р _ж = K _ж / N = 4/20 = 1/5 — вероятность доставания желтого шара;

р _к = K _K / N = 1/20 — вероятность доставания красного шара;
5) I _с = log ₂ (1/1/2)=1бит;

7) I _ж = log ₂ ( 1/1/5) = 2,236 бит ; ( 2,3219281 бит )

8) I _K = log ₂ ( 1/1/20) = 4,47213 бит . ( 4,32193 бит)

Ответ: 1 _с = 1 бит, 1 _з = 2 бит, 1 _ж = 2,236 бит, 1 _к = 4,47213 бит.

Дано: N = 100,1 ₄ = 2 бита. Найти: К ₄ - ? Решение:

Дано: К _ч = 2, I _ч = 4 бита.

I _ч = log ₂ ( l / p _ч ), 4 = log ₂ ( l / p _ч ), 1/р _ч = 16, р _ч = 1/16 - вероятность доставания черных перчаток;

р _ч = K ч/ N , N = Кч/р _ч , N = 2*16 = 32 - всего перчаток в ящике;

К ₆ = N - К _ч = 32 - 2 = 30 пар белых перчаток.
Ответ: 30 пар белых перчаток.

Дано: К _б = Кс =8, I ₆ = 2 бита.

I ₆ = log ₂ ( l / P ₆ ), 2 = log ₂ ( l / p ₆ ), 1/р ₆ = 4, р ₆ = '/ ₄ - вероятность расхода белой банки;

N = К _б /р _б = 8/(1/4) = 32 - банки с краской было всего;

К _к .= N - К ₆ - Кс = 32 - 8 - 8 = 16 банок коричневой краски.
Ответ: 16 банок коричневой краски.

Дано: Кч = 16, I _б = 2 бита.

1) 1/р _б = 2 i , 1/р ₆ = 2 2 = 4, р _б = 1/4 - вероятность доставания белого шара;

3) N = К _ч +К _б = 18 + 6 = 24 шара было в корзине.
Ответ: 24 шара лежало в корзине.

Решение задач, в условии которых события равновероятны

Ответ: 1 бит.

Вы подошли к светофору, когда горел красный свет. После
этого загорелся желтый свет. Сколько информации вы при
этом получили?

Решение: из двух сигналов (желтого и зеленого) необходимо выбрать один - зеленый. Поэтому N = 2, а I = 1 бит.

Решение: из 4 дорожек необходимо выбрать одну, т.е. N = 4. Значит по [формуле 1 = 2, т.к. 4 = 2 2 .

Пояснение: номер дорожки (3) не влияет на количество информации, так как вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми. Ответ: 2 бита.

Решение: так как из 16 вагонов нужно выбрать один, то N = 16, следова тельно, I = 4 (16 = 2 4 ).

Ответ: 4 бита.

При угадывании целого числа в некотором диапазоне было
получено 6 бит информации. Сколько чисел содержит этот
диапазон?

Решение: N = 2 9 = 512. Ответ: диапазон чисел имеет значение от 1 до 512.

Решение: N = 2 4 = 16 этажей. Пояснение: события равновероятны, т.к. номера этажей не повторяются. Ответ: 16 этажей.

Решение: N = 2 3 = 8 подъездов. Пояснение: события равновероятны, т.к. номера подъездов не повторяются. Ответ: 8 подъездов.

Решение: N = 6, следовательно, I = log ₂ 6. Смотрим по таблице и видим, что I - 2,58496 бит. Ответ: 2,5 бит.

На железнодорожном вокзале 8 путей отправления поездов. Вам сообщи ли, что ваш поезд прибывает на четвертый путь. Сколько информации вы получили?

Решение: из 8 путей нужно выбрать один. Поэтому N = 8, а I = 3, т.к. 8 = 2 3 . Пояснение: номер пути (4) не влияет на количество информации, так как | вероятности событий в этих задачах мы приняли считать одинаковыми. Ответ: 3 бита. №8

Домашнее задание:

Вы угадываете знак зодиака вашего друга. Сколько вопросов вам нуж но при этом задать? Какое количество информации вы получите?

В ведерке у рыбака караси и щуки. Щук в ведерке 3. Зрительное со общение о том, что из ведра достали карася, несет 1 бит информации. Сколько всего рыб поймал рыбак?

i = log ₂ (l/p), где i - это количество информации, р - вероятность события.

Вероятность события выражается в долях единицы и вычисляется по формуле:

р = К / N, где К — величина, показывающая, сколько раз произошло интересующее нас событие, N — общее число возможных исходов какого-то процесса.

1. Найдем вероятность того, что достали белый шар: р_б = 15 / 20 = 0,75;

2. Найдем вероятность того, что достали красный шар: р = 5 / 20 = 0,25.

И коробке лежат кубики: 10 красных, 8 зеленых, 5 желтых, 12 синих. Вычислите вероятность доставания кубика каждого цвета и количество информации, которое при этом будет получено.

- Являются ли события равновероятными? Почему? (Нет, т.к. количество кубиков разное.)

- Какую формулу будем использовать для решения задачи? ( i = log ₂ (l/p))
Решение:

1. Всего кубиков в коробке N = 10 + 8 + 5 + 12 = 35.

2. Найдем вероятности: р_к = 10 / 35 ≈ 0,29,
рз = 8/ 35 ≈ 0,22,

3. Найдем количество информации:

ic = Iog₂ ( 1/0,34) = Iog₂ 2,9 = 1,5360529 бит,

iк = Iog₂ ( 1/0,29) = Iog₂ 3,4 = 1,7655347 бит,

iз = Iog₂ ( 1/0,22) = Iog₂ 4,5 = 2,169925 бит,

iж = Iog₂ (l/0,14) = Iog₂ 7,l = 2,827819 бит.

Ответ: наибольшее количество информации мы получим при доставании желтого кубика по причине качественной связи между вероятностью и количеством информации.

Для этого необходимо использовать следующую формулу.

i = log ₂ (l/p), где i - это количество информации, р - вероятность события.

Вероятность события выражается в долях единицы и вычисляется по формуле:

р = К / N, где К — величина, показывающая, сколько раз произошло интересующее нас событие, N — общее число возможных исходов какого-то процесса.

1. Найдем вероятность того, что достали белый шар: р_б = 15 / 20 = 0,75;

2. Найдем вероятность того, что достали красный шар: р = 5 / 20 = 0,25.

- Являются ли события равновероятными? Почему? (Нет, т.к. количество кубиков разное.)

- Какую формулу будем использовать для решения задачи? ( i = log ₂ (l/p))
Решение:

1. Всего кубиков в коробке N = 10 + 8 + 5 + 12 = 35.

2. Найдем вероятности: р_к = 10 / 35 ≈ 0,29,
рз = 8/ 35 ≈ 0,22,

3. Найдем количество информации:

ic = Iog₂ ( 1/0,34) = Iog₂ 2,9 = 1,5360529 бит,

iк = Iog₂ ( 1/0,29) = Iog₂ 3,4 = 1,7655347 бит,

iз = Iog₂ ( 1/0,22) = Iog₂ 4,5 = 2,169925 бит,

iж = Iog₂ (l/0,14) = Iog₂ 7,l = 2,827819 бит.

Читайте также: