Для кого информативно сообщение ромб это параллелограмм у которого все стороны равны

Обновлено: 05.07.2024

Презентация на тему: " Определение Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны." — Транскрипт:

2 Определение Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

3 Свойства ромба противолежащие стороны равны: (АВ=CD), (AC=BD) и попарно параллельны: (АВ||CD), (AC||BD) ; противоположные углы равны: ( CAB = BDC), ( CAB = BDC) диагонали перпендикулярны: (AD CB); диагонали точкой их пересечения делятся пополам: (CO=OB), (AO=OB); сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ( CAB + ABD = 180°); диагонали являются биссектрисами углов ромба: ( CAO = OAB) O 4 Построение ромба

5 Тест по теме 1) Сторона ромба 3 см. Найдите периметр этого ромба. 2) Угол ромба равен Найдите второй прилежащий к этой стороне угол. 3) Угол ромба равен Найдите противоположный угол этого ромба. 4) У ромба диагонали перпендикулярны? (да / нет) 5) Чему равна сумма углов прилежащих к одной стороне?

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.

Определение ромба

Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).

Примечание: квадрат является частным случаем ромба.

Свойства ромба

Свойство 1

Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.

Свойство 2

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.

Свойство 3

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Свойство 4

Сторону ромба a можно найти через его диагонали d₁ и d₂ (согласно теореме Пифагора).

Свойство 5

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:

Его диагонали пересекаются под прямым углом.
Если его диагонали являются биссектрисами его углов.
Две смежные стороны равны (следовательно, все стороны равны).

Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти неизвестные этлементы ромба по известным элементам. Для нахождения неизвестных элементов ромба, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку "Вычислить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Определение ромба

Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 1 изображен ромб ABCD.

Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.

Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.

Свойства ромба

Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:

1. У ромба противолежащие углы равны (\( \small \angle A = \angle C, \; \angle B = \angle D.\) )
2. У ромба противолежащие стороны равны (\( \small AB = DC, \; BC=AD.\) )
3. У ромба противолежащие стороны параллельны \( \small( AB \ || \ DC, \; BC \ || \ AD).\)
4. У ромба соседние углы дополняют друг друга до 180° \( \small ( \angle A +\angle B=180°, \) \( \small \angle C + \angle D=180°).\)
5. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам \( \small ( AO = OC, \) \( \small BO=OD).\)

Ромб имеет также и следующие свойства:

6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (\( \small AC \perp BD.\) )
7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (\( \small \angle ABD = \angle CBD, \) \( \small \angle ADB = \angle CDB, \) \( \small \angle DAC = \angle BAC, \) \( \small \angle BCA = \angle DCA. \))
8. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
9. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженная на четыре \( \small (AC^2+BD^2=4AB^2). \)

Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:

Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство. По определению 1, \( \small AD = DC \) (Рис.2). Следовательно треугольник \( \small DAC \) равнобедренный. Тогда \( \small \angle DCO = \angle DAO. \) Учитывая, что \( \small AO = OC \) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники \( \small DOA \) и \( \small DOC \) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно \( \small \angle DOC= \angle DOA=90°. \) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.

Из равенства треугольников \( \small DOA \) и \( \small DOC \) также следует, что \( \small \angle CDO= \angle ADO,\) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.

Признаки ромба

Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.

Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла BAD (Рис.4). Тогда \( \small \angle 1= \angle 2 .\) У параллелограмма ABCD \( \small AB \ || \ DC .\) Тогда для параллельных прямых AB и DC и секущей AC справедливо равенство \( \small \angle 1= \angle 4 .\) (см теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично, для параллельных прямых BC и AD и секущей AC справедливо равенство \( \small \angle 2= \angle 3 .\) Так как \( \small \angle 1= \angle 2 ,\) то \( \small \angle 1= \angle 2=\angle 3= \angle 4 .\) Из \( \small \angle 1= \angle 3\) следует, что треугольник ABC равнобедренный (Признак 2 статьи Равнобедренный треугольник). Тогда AB=BC. У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда AB=BC=CD=DA. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.

Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Читайте также: