Частные случаи вращательного движения точки сообщение

Обновлено: 02.07.2024

Движение твердого тела, при котором все точки, лежащие на некоторой прямой, принадлежащей телу или неизменно с ним связанной, остаются неподвижными в рассматриваемой системе отсчета, называется вращательным движением. Упомянутая выше прямая называется осью вращения.

Рис. 2.18. Вращение тела вокруг неподвижной оси

Очевидно, что все точки тела, не лежащие на оси вращения, будут двигаться по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Положение тела при вращательном движении можно однозначно определить углом j между неподвижной полуплоскостью I и подвижной, вращающейся вместе с телом, полуплоскостью II, проходящими через ось вращения. Положительным направлением отсчета угла j, называемого также угловой координатой, принято считать вращение против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу оси вращения z . Сам угол j принято измерять в радианах.

Для однозначного определения положения тела в любой момент времени, необходимо располагать зависимостью угловой координаты j от времени:

j = j (t) . (2.25)

Уравнение (2.25) называется уравнением или законом вращательного движения твердого тела.

Введем основные кинематические характеристики вращательного движения - угловую скорость w и угловое ускорение e . Пусть за промежуток времени Dt тело повернется на угол Dj. Тогда отношение Dj / Dt называют средней угловой скоростью за этот промежуток времени: w_ср = Dj / Dt . Предел данного отношения при стремлении Dt к нулю, называют мгновенной или просто угловой скоростью:

Аналогичным образом вводится понятие углового ускорения:

Согласно (2.26) и (2.27) угловая скорость и угловое ускорение измеряются в радианах в секунду (рад/с) и в радианах в секунду за секунду (рад/с 2 ) соответственно. Так как радиан является безразмерной величиной, допустимы и более компактные обозначения - (с -1 ) и (с -2 ).

Для того, чтобы использовать угловую скорость и угловое ускорение в векторных выражениях, необходимо рассматривать угловую скорость как вектор, с модулем равным dj/dt и направленным вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращения тела видно происходящим против хода часовой стрелки. Вектор углового ускорения, модуль которого равен dw/dt, также считают направленным вдоль оси вращения. Он совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположен ему при замедленном вращении тела (рис. 2.19). Необходимо отметить, что введенные таким необычным способом векторы называют псевдовекторами ( как бы векторами), чтобы подчеркнуть их некоторую “векторную неполноценность”. Тем не менее теперь становится возможна запись следующей векторной формулы:

правильно отражающей не только количественную связь и , но и взаимосвязь направлений векторов и , отображенной на рисунке 2.19.

Рис. 2.19. Взаимосвязь направлений ц и e

Перейдем теперь к определению индивидуальных кинематических характеристик точек вращающегося тела по известному закону вращательного движения . Для этого рассмотрим движение любой точки М, не лежащей на оси вращения. Пусть за время dt тело повернется на угол dj , а точка М переместится по дуге окружности радиуса R на расстояние dS(рис. 2.20).

Тогда ее скорость будет равна , т.е. (2.29)

Так как всех точки тела вращаются с одной и той же угловой скоростью, то из (2.29) следует, что линейные скорости точек тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Для определения ускорений воспользуемся формулами (2.19) и (2.20):

Полное ускорение точки М будет равно (рис. 2.21) геометрической сумме и :

Рис. 2.21. Ускорение точек тела при вращательном движении

3. Рассмотрим теперь частные случаи вращательного движения

а) Равномерное вращение - вращение с постоянной угловой скоростью

Пусть при t = 0: j = 0, тогда С = 0 и мы получаем следующее уравнение или закон равномерного вращения:

в) Равнопеременное вращение - это вращение с постоянным угловым ускорением (e = const):

Пусть при t = 0: w = w₀ и j₀ = 0, тогда С₁ = w₀ , C₂ = 0. Подставляя найденные значения констант интегрирования в полученные выше выражения, получаем:

В полученном законе изменения угловой скорости (2.34) и в уравнении равнопеременного вращения (2.35), угловое ускорение e будет положительным при равноускоренном вращении и отрицательным при равнозамедленным.

В заключение приведем вполне очевидные соотношения, которые часто используются при решении задач:

где N - число оборотов, n - угловая скорость в оборотах в минуту.

4.Формула Эйлера

В заключение получим векторные формулы для скорости и ускорения точек в круговом движении. Рассмотри движение точки М, не лежащей на оси вращения (рис. 2.22). Покажем, что ее скорость полностью определяется формулой Эйлера : . (2.37)

Рис. 2.22. Иллюстрация формулы Эйлера

Действительно, модуль векторного произведения равен V=w r sina= = w R, что совпадает с выражением (2.29). Формула (2.34) правильно определяет и направление вектора скорости: вектор направлен перпендикулярно плоскости треугольника ОСМ в ту сторону, откуда поворот от к виден происходящим против хода часовой стрелки (т.е. вектор направлен, как и полагается, по касательной к траектории в направлении вращения тела).

Для вывода векторных формул, определяющих ускорение, продифференцируем формулу Эйлера по времени:

Учитывая, что согласно (2.28) и (2.5)

В справедливости выражений (2.36) можно убедиться непосредственно, определив модули и направления входящих в них векторных произведений. Так согласно первой формуле (2.39) , что совпадает с уже известным выражением (2.30). Правильно определяется и направление вектора (см. рис.2.22). Вторая формула (2.39) дает [сравните с (2.31)]. Направлен вектор , как и положено, перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемы векторы внутрь траектории, откуда поворот от к вектору виден происходящим против хода часовой стрелки.

Пусть при угол поворота тела . Разделяя переменные в предыдущем равенстве и интегрируя его в соответствующих пределах, будем иметь

Уравнение (88) называется уравнением равномерного вращения тела.

Уравнение (88) выведено из условия, что и поэтому оно применимо лишь для случая равномерного вращения тела.

Угловое ускорение тела при равномерном его вращении, очевидно, равно нулю. Отсюда следует, что при равномерном вращении тела вращательное ускорение любой его точки также всегда равно нулю. Таким образом, полное ускорение точки равномерно вращающегося тела состоит только из одного центростремительного ускорения

и направлено, конечно, к центру окружности, описываемой данной точкой.

Равномерно переменное вращение

Равномерно переменным (равномерно ускоренным или равномерно замедленным) вращением тела называется такое его вращательное движение, при котором за равные, произвольно взятые промежутки времени угловая скорость тела меняется на одну и ту же величину.

Очевидно, что при равномерно переменном вращении тела его угловое ускорение постоянно:

Пусть при угловая скорость тела . Разделяя переменные в предыдущем равенстве и интегрируя его в соответствующих пределах, будем иметь:

Отсюда получается формула угловой скорости тела при его равномерно переменном вращении

Заменяя в последнем равенстве его значением , будем иметь:

Пусть при угол поворота тела . Тогда, разделяя переменные в предыдущем равенстве и интегрируя его в соответствующих пределах, находим

Отсюда получается уравнение равномерно переменного вращения тела

Формулы (89) и (90) выведены из условия

и, следовательно, они применимы лишь для случая равномерно переменного вращения тела. В этих формулах под понимается алгебраическое значение углового ускорения тела, положительное при ускоренном вращении и отрицательное при замедленном.

Очевидно, что при равномерно переменном вращении тела все его точки совершают равномерно переменное движение по окружностям соответствующих радиусов, а потому для определения их движения применимы формулы, установленные в § 49.

С равномерно переменным вращением мы обычно встречаемся в задачах, связанных с пуском и остановкой машины. Угловое ускорение тела, как это будет доказано в динамике, есть величина постоянная в случае постоянной величины приложенного к телу вращающего момента сил.

Полезно для запоминания обратить внимание на аналогии, существующие между формулами кинематики точки и формулами для соответствующих случаев вращательного движения твердого тела. Нетрудно заметить, что для перехода от первых формул ко вторым требуется лишь заменить в них дуговую координату точки углом поворота тела, скорость точки — угловой скоростью тела и касательное ускорение точки — угловым ускорением тела.

Пример задачи:

Шкив радиусом 0,3 м, вращаясь равномерно, делает 1200 об /мин. Найти его угловую скорость а также скорость , и ускорение точки, лежащей на окружности шкива.

Решение:

Так как при равномерном вращении тела вращательное ускорение

то полное ускорение

и направлено к центру шкива.

Пример задачи 44.

Тело, вращаясь равномерно ускоренно из состояния покоя, приобрело в течение 10 сек угловую скорость, равную 30 рад/сек. Сколько оборотов сделало тело за эти 10 сек?

Решение:

По условию задачи начальная угловая скорость тела . Так как вращение тела — равномерно переменное, то его угловое ускорение

Приращение угла поворота тела за 10 сек равно

Зная угол поворота, определяем соответствующее ему число оборотов тела:

Пример задачи:

Маховик, имевший угловую скорость в 600 об/мин, был предоставлен самому себе и вследствие трения в подшипниках остановился, сделав 200 оборотов. Определить угловое ускорение колоса, считая его постоянным.

Решение:

Определяем угол поворота маховика, соответствующий сделанным до остановки 200 оборотам:

Начальная угловая скорость маховика

Конечная угловая скорость маховика

При равномерно переменном вращении тела угол его поворота определяется формулой

Решая эти два уравнения совместно, находим

Отрицательное значение 8 говорит о замедленном вращении маховика.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

23. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого тела, при котором хотя бы две его точки остаются неподвижными.

Прямая, проходящая через эти неподвижные точки называется осью вращения.

Траекториями движения точек твердого тела являются окружности с радиусами равными расстояниям от заданных точек тела до оси вращения.

Уравнение вращательного движения твердого тела.

Уравнение вида , где - угол поворота тела вокруг оси, является законом вращения твердого тела, так как определяет положение точки на траектории в любой момент времени.

Если ось вращения совпадает с осью , то величина называется модулем угловой скорости. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения.

Величина называется угловым ускорением.

Частные случаи вращательного движения твердого тела.

Если , то вращение происходит в положительном направлении (против движения часовой стрелки);
Если , то вращение происходит в отрицательном направлении (в направлении движения часовой стрелки);
Если и имеют одинаковые знаки, то вращение является ускоренным;
Если и имеют разные знаки, то вращение является замедленным;
Если , то и вращение является равномерным;
Если , то вращение является равноускоренным (или равнозамедленным).

Скорости и ускорения точек вращающегося твердого тел

При вращении твердого тела все его точки движутся по своим окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

Пусть произвольная точка движется вокруг оси вращения по окружности радиуса с угловой скоростью . В соответствие с формулой Эйлера (К.12) для движения точки по окружности можно определить линейную скорость движения точки

Запишем также модули касательной и нормальной компоненты ускорения точки .

Касательное ускорение .

Нормальное ускорение. Так как радиус кривизны окружности равен радиусу окружности , то при движении по окружности . В этом случае .

Полное ускорение. .

Пример.

Вал, делающий об/мин после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и останавливается через .

Определить число оборотов вала до остановки.

Решение.

Начальная угловая скорость .

Поскольку вал вращается равнозамедленно, то . Интегрируя последнее уравнение, получим , где - константа интегрирования.

Определим константу интегрирования . При угловая скорость , поэтому или . Интегрируя последнее уравнение, получим . Будем считать, что при начальный угол . (Этого всегда можно добиться соответствующим выбором системы отсчета). Тогда .

Конечная угловая скорость при равна нулю, то есть . Следовательно, (*).

Конечный угол поворота равен (**). Тогда с учетом (*) можно записать .

Поскольку один оборот равен радиан, число оборотов вала до остановки равно об.

Пример. Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя. В первые он совершает оборотов. Какова угловая скорость по истечении 5 секунд?

В начальный момент времени при начальный угол и начальная угловая скорость равны нулю, то есть и . Время вращения . За это время вал повернулся на угол (радиан).

Решение. Вал вращается равноускоренно, поэтому , следовательно или . Интегрируя последнее равенство, получим , где - константа интегрирования.

Определим константу интегрирования . При начальная угловая скорость , поэтому (*) или или . Интегрируя последнее уравнение, получим . Будем считать, что при начальный угол . (Этого всегда можно добиться соответствующим выбором системы отсчета). Тогда .

Нам из условия задачи известно, что конечный угол поворота равен (**). Тогда можно определить угловое ускорение .

Теперь из уравнения (*) можно определить искомую угловую скорость при : (1/сек).

Вращательное движение твердого тела – движение, при котором все точки объекта описывают траекторию в виде окружности.

Распространенный случай в физике – вокруг покоящейся оси (рис. 1).

Рис. 1 Вращение твердого тела вокруг оси

Линия, соединяющая неподвижные точки, читается осью вращения. Кинематика перемещения в целом аналогична поступательной. Только путь измеряется не в метрах, а в радианах или градусах.

Последние связаны между собой следующей формулой:

ϕ – угол в радианах (рад);

γ – угол в градусах (°).

Закон и уравнение вращательного движения твердого тела

Законы движения также схожи. Для равноускоренного движения:

ϕ₀ – начальный угол (рад);

ω₀ – начальная угловая скорость (рад/с);

ε – угловое ускорение (рад/с 2 ).

Под положительным понимают перемещение против часовой стрелки.

Угловая скорость

В обычной жизни вращение оценивается в оборотах за единицу времени. За минуту чаще всего. Для расчетов такие характеристики неудобны. Поэтому определяется так:

Скорость в оборотах ν легко связать с угловой:

ν – скорость в оборотах (1/с).

Используется еще одна важная величина – период вращения T. За это время предмет совершает полный поворот:

Угловое ускорение

В уравнении движения был показан частный случай равноускоренного перемещения. Но это не всегда так. Также ε может принимать отрицательные значения в случае замедления.

Линейные величины

При малых величинах пройденный путь (см. рис. 2) будет равен:

где r – расстояние до центра вращения (м).

Рис. 2 Перемещение

Откуда следует линейная скорость:

Вектор, перпендикулярный отрезку, r. То есть расположенный на касательной к окружности вращения.

И, соответственно, ускорение:

Кроме того, передвижение по кривой линии невозможно без центростремительного ускорения:

Возвратно-вращательное движение

Общий случай раскачивания маятника. Анализ подобных противоположных телодвижений пары объектов порождает некоторые парадоксы.

Приверженцы таких рассуждений существуют и доводы имеют право на жизнь. Не все общепринятые взгляды безупречны. Евклидова геометрия тому пример. Теория довольно запутана, и здесь мы ее рассматривать не будем.

С учетом масс

Представив себе, что тело состоит из незначительных масс m_i, получим любопытные результаты. Кинетическая энергия выразится так:

Джоуль (Дж) – единица энергии и работы в системе СИ.

Моментом инерции относительно выбранной оси называется:

или в соответствующей интегральной форме.

Тогда энергия выразится следующим образом:

То есть имеется некий аналог массы. Но последняя является неизменной присущей объекту величиной. Момент же инерции зависит от местонахождения оси.

В реальных условиях распространен случай вращения вокруг оси, включающей центр масс. Найдем его для системы, указанной на рис. 3.

Рис. 3 Определение центра масс.

Определится по формулам:

Вектор, направленный из начала координат в центр масс, в общем случае выразится следующим образом:

Можно перевести в интегральную форму. В присутствии гравитации – заодно и центр тяжести.

Можно сказать, что общее движение предмета включает поступательное и вращательное. Пример – качение чего-то округлого (рис. 4). При этом все перемещение точек можно исчерпывающе изобразить на рисунке. В таком варианте движение называется плоским.

Полная кинетическая энергия равна:

m – масса объекта;

I_C – момент инерции относительно оси, включающей центр масс.

Рис. 4 Качение колеса

Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное (рис. 5), с постоянной скоростью, с нулевым ускорением.

Выражается уравнением: φ = φ₀ + ωt

Рис. 5 При ε = 0.

2. Равноускоренное. Рассмотрено ранее. Но все же уместны некоторые пояснения (рис. 6).

Рис. 6 ε = const.

3. Вокруг неподвижной оси. Наиболее распространенный в рассмотрении вариант. Как для реальных нужд, так и в теории.

4. Возвратно-вращательное. В математическом выражении напоминает колебания. При подробном рассмотрении вызывает неудобные вопросы.

Заключение

Для разработчиков оборудования тема отнюдь не праздная. Рассматриваются задачи по передаче силового момента (в частности в ременных механизмах). Разбирается механика работы подшипников, гироскопов.

В артиллерии снаряды стабилизируются вращением. Да и расчеты их на прочность связаны со сложным напряженным состоянием в связи с раскручиванием в стволе.

Орбиты планет имеют отношение к рассматриваемой кинематике.

На самом деле все сферы использования данной темы невозможно перечислить, это действительно нужный раздел.

По виду траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное. При прямолинейном движении а_п = 0, т.к. ρ = ∞.

По изменению величины скорости движения делится на равномерные и неравномерные.

Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна (V=const).

Закон равномерного движения:

Движение называется равномерным, если величина касательного ускорения постоянна.

Т.о. равномерное движение описывается двумя формулами:

(1.19)

Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения

Тема 2 Простейшие движения тела

К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси.

2.1 Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение тела, при котором любой отрезок прямой проведенной в теле перемещается параллельно самому себе.

Это самое простое движение тела.

Оно описывается одной теоремой:

При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые, при наложении совпадающие траектории, и имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения.

Проведем в теле произвольный отрезок АВ. При движении тела он остается параллельным самому себе (рис. 2.1). траектория точки А на величину АВ, т.е. они одинаковые.

Проведем из неподвижного центра О радиусы-векторы точек А и В (), а также вектор из точки А в точку В.

Продифференцируем это векторное равенство по времени, учитывая, что .

; но , значит

(2.1)

дифференцируя (2.1) по времени: , получаем:

(2.2)

Так как точки А и В взяты произвольно, то все выводы справедливы для всех точек тела.

Следовательно, при поступательном движении тела его можно считать точкой и пользоваться формулами кинематики точки.

2.2 Вращение тела вокруг неподвижной оси

Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или жестко с ним связанные, во все время движения остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две неподвижные точки называется осью вращения.

Проведем через ось вращения две полуплоскости: неподвижную І и подвижную II, жестко связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.2).

Положением тела будет однозначно определяться углом φ между этими полуплоскостями. Угол φ называется углом поворота. Измеряется он в радианах. Положительное направление φ – против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси Z.

называется уравнением вращательного движения.

Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью ω. Средняя угловая скорость определяется как отношения приращения угла поворота ∆φ к промежутку времени ∆t, за который оно произошло.

Угловая скорость в данный момент времени:

(2.3)

(2.4)

Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением ε, которая определяется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени:

(2.5)

Направлен вектор также по оси вращения в сторону при ускоренном и противоположном при замедленном вращении. Единица измерения – 1Рад/с 2 .

Читайте также: