Замечательные пределы интересная сведения о них и их применение реферат

Обновлено: 04.07.2024

Понятие предела последовательности или функции является одним из фундаментальных понятий математического анализа.

Основные определения

Предел числовой последовательности, подробнее →

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\\right\>$ , если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_=n_(\epsilon)$ такой, что для любого $n>n_$ выполняется неравенство $\left|x_-a\right| \lt \epsilon$ :

$\lim _ x_=a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists n_=n_(\epsilon) : \forall n>n_,\left|x_-a\right| \lt \epsilon$

Предел функции в точке, подробнее →

Число $b$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для $\forall \epsilon>0 \exists \delta>0$ такое, что для $\forall x \in(a-\delta ; a+\delta) \cap D[f]$ из того, что $0 \lt |x-a| \lt \delta$ следует, что $|f(x)-b| \lt \epsilon$ : $\lim _ f(x)=b$ или $f(x) \rightarrow b$ при $x \rightarrow a$ .

Предел функции на бесконечности, подробнее →

Число $b$ называется пределом функции $y=f(x)$ на бесконечности или при $x \rightarrow \infty$, если для любого $\forall \epsilon>0$ существует такое число $\delta=\delta(\epsilon)>0$ такое, что для всех $x \in D(f)$ из того, что $|x|>M$, выполняется неравенство $|f(x)-b| \lt \epsilon$.

История развития

Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.

Применение пределов на практике

Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.

Число А наз-ся пределом последоват-ти X_n если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N₀ , такое что при всех n>N₀ будет выполн-ся нер-во |X_n -A| A-E N₀ попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во:предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N₁ "n>N₁ |a-Xn| " E/2 $ N₂ "n>N₂ |Xn-и| N₀ . |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N₁ Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во:1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N₂ |Xn-a| n>N₃ , a-E N₀ Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N₀ , n>N₀ , |Xn| " E/2 $N₁ , n>N₁ |Xn| " E/2 $N₂ , n>N₂ |Yn| N₀ ,|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn| lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N₀ n>N₀ |Yn| Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во:Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N₀ n>N₀ |Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N₀ , n>N₀ , |Xn|>M => M "M $N₁ , n>N₁ |Xn|>M

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N₀ , n>N₀ |Xn|>M =>n>N₀ .

|Yn|=1/|Xn| Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во:lim Xn=a => Xn=a+a_n ; lim Yn=b => Yn=b+b_n ;

2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x₀ , если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x₀ | A-E 0 сколь угодно большого $d>0, что "x |x-x₀ | M, "x x₀ -d f(x)>M.

Lim f(x)= ¥ (x ® x₀ ).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x ® ¥ , если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A| (sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

II замечательный предел.

Бином Ньютона: (a+b) n =a n +na n-1 b+(n(n-1)a n-2 b 2 )/2!+. +(n(n-1)(n-2)(n-3)a n-4 b 4 )/4!+. +b n .

(1+1/n) n =1+n1/n+n(n-1)/2!n 2 +n(n-1)(n-2)/3!n 3 +. +1/n n = =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+. +1/n n = 2 (1-1/n)(1-2/n)+1/2 3 (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2 n 2 +1/2 3 +. +1/2 n =2+0.5(1-1/2 n )/(1-0.5)=2+1-1/2 n =3-1/2 n n $ lim_n _® _¥ (1+1/n) n =e.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х₀ , если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х₀ равный значению фун f(x₀ ).limf(x)=f(x₀ )

Если Х₀ т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х₀ – 1 род

Если Х₀ – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х₀ т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х₀ – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f₁ (x) и f₂ (x) непрерывны в точке х₀ , то сумма (разность) y(х)=f₁ (x)±f₂ (x), произведение у(х)=f₁ (x)*f₂ (x), а также отношение этих фун у(х)=f₁ (x)/f₂ (x), есть непрерывная фун в точке х₀ .

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х₀ , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z₀ =j(х₀ ), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х₀ .

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а Dy=Df(x₀ )=f(x₀ +Dx)-f(x₀ ), Dy/Dx=(f(x₀ +Dx)-f(x₀ ))/Dx.

Если $ lim_Dx _®0 Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х₀ . · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. Lim_Dх _®0 (f(x₀ +Dx)-f(x₀ ))/Dx= =f / (х)=df(x)/dx=dy/dx=y | (x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х₀ равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х₀ ; f(x₀ )).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М₀ (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.

3. Основ теоремы о производных.

2. y=uv, y | =u | v+uv | . Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,

3. y=u/v, y | =(u | v-uv | )/v 2 . Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)

4. y=a x , y | =a x ln a. Док-во: ln y=x ln a, y | /y=ln a, y | =yln a y | =a x ln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)·

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать.

Формула Лейбница.

y ( n ) =(uv) (n) =(u) (n) v+nu (n-1) v | +([n(n-1)]/[1*2])*n (n-2) v || +…+uv (n)

Дифференцирование ф-ии в точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х₀ , если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. lim_D _x _® ₀ O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.

Теорема : y=f(x) дифф-ма в т-ке Х₀ т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f \ (x₀ ).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f \ (x₀ ) – число, f \ (x₀ )=lim_Dx _®0 Dy/Dx => Dy/Dx=f \ (x₀ )+a(Dx) , Dy=f \ (x₀ )Dx+a(Dx)Dx => Dy=f \ (x₀ )Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => lim_Dx _®0 O(Dx)/Dx=lim_Dx _®0 a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.

Термин "замечательный предел" широко используется в учебниках и методических пособиях для обозначения важных тождеств, которые помогают существенно упростить работу по нахождению пределов.

Но чтобы суметь привести свой предел к замечательному, нужно к нему хорошенько приглядеться, ведь они встречаются не в прямом виде, а часто в виде следствий, снабженные дополнительными слагаемыми и множителями. Впрочем, сначала теория, потом примеры, и все у вас получится!

Первый замечательный предел

Первый замечательный предел записывается так (неопределенность вида $0/0$):

Следствия из первого замечательного предела

Примеры решений: 1 замечательный предел

Пример 1. Вычислить предел $$\lim\limits_\frac.$$

Решение. Первый шаг всегда одинаковый - подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $\left[\frac\right]$, которую следует раскрыть. Если посмотреть внимательно, исходный предел очень похож на первый замечательный, но не совпадает с ним. Наша задача - довести до похожести. Преобразуем так - смотрим на выражение под синусом, делаем такое же в знаменателе (условно говоря, умножили и поделили на $3x$), дальше сокращаем и упрощаем:

Выше как раз и получился первый замечательный предел: $$ \lim\limits_\frac = \lim\limits_\frac=1, \text < сделали условную замену >y=3x. $$ Ответ: $3/8$.

Решение. Подставляем предельное значение $x=0$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $\left[\frac\right]$. Преобразуем предел, используя в упрощении первый замечательный предел (три раза!):

Решение. А что если под тригонометрической функцией сложное выражение? Не беда, и тут действуем аналогично. Сначала проверим тип неопределенности, подставляем $x=0$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $\left[\frac\right]$. Умножим и поделим на $2x^3+3x$:

Снова получили неопределенность, но в этом случае это просто дробь. Сократим на $x$ числитель и знаменатель:

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел записывается так (неопределенность вида $1^\infty$):

$$ \lim\limits_ \left( 1+\frac\right)^=e, \quad \text \quad \lim\limits_ \left( 1+x\right)^=e. $$

Следствия второго замечательного предела

Примеры решений: 2 замечательный предел

Пример 4. Найти предел $$\lim\limits_\left( 1-\frac\right)^.$$

Решение. Проверим тип неопределенности, подставляем $x=\infty$ в функцию и получаем:

Получили неопределенность вида $\left[1^<\infty>\right]$. Предел можно свести к второму замечательному. Преобразуем:

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $\lim\limits_ \left( 1+\frac\right)^=e$, только $t=-3x/2$, поэтому

Решение. Подставляем $x=\infty$ в функцию и получаем неопределенность вида $\left[ \frac<\infty><\infty>\right]$. А нам нужно $\left[1^<\infty>\right]$. Поэтому начнем с преобразования выражения в скобках:

Выражение в скобках фактически и есть второй замечательный предел $\lim\limits_ \left( 1+\frac\right)^=e$, только $t=\frac \to \infty$, поэтому

Понятие замечательных пределов используется на просторах бывшего Советского Союза для обозначения хорошо известных математических тождеств со взятием предела. Замечательны они потому, что они уже доказаны великими математиками и нам нам остается лишь пользоваться ими для удобства нахождения пределов. Из них наиболее известны первый и второй замечательные пределы. Дальнейшее чтение статье будет намного интереснее, если вы уже знакомы с понятием пределов. Если для вас lim , это то что новое, то рекомендуем к прочтению статью "Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов."

Теперь со спокойной душой переходим к рассмотрению замечательных пределов.
Первый замечательный предел имеет вид .

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0.

Необходимо вычислить предел

Как видно, данный предел очень похож на первый замечательный, но это не совсем так. Вообще, если Вы замечаете в пределе sin, то надо сразу задуматься о том, возможно ли применение первого замечательного предела.

Согласно нашему правилу №1 подставим вместо х ноль:

Получаем неопределенность .

Теперь попробуем самостоятельно организовать первый замечательный предел. Для этого проведем нехитрую комбинацию:

Таким образом мы организовываем числитель и знаменатель так, чтобы выделить 7х. Вот уже и проявился знакомый замечательный предел. Желательно при решении выделять его:

Подставим решение первого замечательного примера и получаем:

Как видите – все очень просто.

Второй замечательный предел имеет вид , где e = 2,718281828… – это иррациональное число.

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к .

Необходимо вычислить предел

Здесь мы видим наличие степени под знаком предела, значит возможно применение второго замечательного предела.

Как всегда воспользуемся правилом №1 – подставим вместо х:

Видно, что при х основание степени , а показатель – 4x > , т.е. получаем неопределенность вида :

Воспользуемся вторым замечательным пределом для раскрытия нашей неопределенности, но сначала надо его организовать. Как видно – надо добиться присутствия в показателе, для чего возведем основание в степень 3х, и одновременно в степень 1/3x, чтобы выражение не менялось:

Не забываем выделять наш замечательный предел:

Дальше знак предела перемещаем в показатель:

Вот такие действительно замечательные пределы!
Если у вас остались какие то вопросы по первому и второму замечательным пределам, то смело задавайте их в комментариях.
Всем по возможности ответим.

Также вы можете позаниматься с педагогом по этой теме.
Мы рады предложить вам услуги подбора квалифицированного репетитора в вашем городе. Наши партнеры оперативно подберут для вас хорошего преподавателя на выгодных для вас условиях.

А пределы-то действительно замечательные. Я раньше такого понятия не встречала, но соглашусь, что название подобрано очень правильно. Я так понимаю, что для того, чтобы их использование облегчило решение, нужно их для начала просто "заметить" )))

Что-то я ничего замечательного в этих пределах не заметил. Почему их так называют? Потому что они давно доказаны? Так многие вещи в математике давно доказаны. И называют их аксиомами, если я не ошибаюсь

Ой, а что такое "замечательные пределы" и где вообще они используются? Я если честно, то услышал такое название в первые, потому что в школе точно не проходили. В институте так же не припомню всех этих тонкостей. Расскажите, когда они применяются в жизни?

В чем отличие первого от второго замечательных пределов? Понятно, что уравнения, но в чем их главная разница? И если есть отличия, то как найти их сразу, чтобы долго время не терять и не думать где правильно и где нет.

Да уж смешное немного название - "замечательные" пределы". Вон какую бурю комментариев вызвало. Но вот где применяется первый , а где применяется второй замечательный предел я так и не понял.

Читайте также: