Задача распределения ресурсов реферат

Обновлено: 30.06.2024

Основная часть данной работы направлена на практическое освоение метода динамического программирования на примере решения хорошо изученных задач, а именно: простейшей задачи оптимального распределения ресурсов и задачи управления запасами продукта при случайном спросе на него.

Кроме теоретических основ и практических рекомендаций, необходимых для численного решения указанных задач, связанных с простым классом одномерных процессов распределения [1], дополнительно рассматриваются задачи оптимального распределения при наличии двух типов ресурсов и двух типов ограничений, в рамках которых возможны не только постановка и решение большого числа прикладных задач [1, 5], но также выявление существенных и качественных особенностей, связанных с применением метода динамического программирования, при переходе к задачам с многомерными процессами распределения.

Цель работы: знакомство с постановкой задачи оптимального распределения ограниченного ресурса и методом множителей Лагранжа в задачах условной оптимизации, изучение принципа оптимальности Беллмана и вычислительной схемы решения задачи оптимального распределения ограниченного ресурса методом динамического программирования, разработка программы для численного решения задачи и проведение расчетов.

Постановка простейшей задачи оптимального распределения

ограниченного ресурса

В различных производственно-экономических системах значительное число решаемых задач тесно связано с эффективным использованием и распределением ограниченных ресурсов, необходимых для нормального функционирования таких систем. Переходя к формулировке одной из простейшей задач такого класса, вначале опишем кратко процессы, обусловливающие возникновение этого типа задач.

Пусть некоторая производственно-экономическая система располагает заданным количеством какого-либо экономического ресурса, под которым подразумеваются материальные, трудовые, финансовые либо иные ресурсы, необходимые для функционирования системы. В случае нескольких потребителей указанного ресурса или далее соответствующих технологических процессов возникает следующая задача: разделить имеющееся количество ресурса между ними так, чтобы максимизировать их суммарную эффективность или получаемый доход от этих процессов [1].

Для математической постановки этой задачи требуется принять следующие основные предположения [1]:

1) эффективности каждого из рассматриваемых технологических процессов, например в виде соответствующих доходов, могут быть измерены общей единицей: либо в виде валового выпуска однородного продукта, либо в стоимостной форме;

2) эффективность каждого технологического процесса не зависит от

того, какие количества ресурсов были выделены для других технологических процессов;

3) общая эффективность или, что то же самое, суммарный доход от всех технологических процессов – аддитивная величина, то есть величина, равная сумме доходов, получаемых от каждого процесса в отдельности.

Тогда математическая постановка задачи оптимального распределения ограниченного ресурса формулируется следующим образом [1].

Предположим, что имеется N технологических процессов, занумерованных в определенном порядке числами 1, 2, . , N , и каждому такому процессу поставлена в соответствие некоторая функция, оценивающая его эффективность, а именно: величина дохода в зависимости от количества выделенного ресурса для этого процесса. Пусть xi – количество выделенного ресурса i-му процессу (i = 1, 2, . , N ), а величина дохода, получаемого в этом процессе, задается функцией gi = gi (xi ) . Отметим, что в качестве таких функций можно выбирать, например, производственные функции или функции полезности неоклассического типа [2, 3].

С учетом второго и третьего предположения – о независимости процессов и аддитивности их общей эффективности – для суммарного дохода от распределения ограниченного ресурса между указанными N технологическими процессами получим следующее выражение:

В силу ограниченности распределяемого ресурса, располагаемое количество которого здесь обозначим через z, для переменных задачи xi , i = 1, 2, . , N , имеет место следующее ограничение:

которое вместе с условиям неотрицательности для этих же переменных

задает допустимую область определения для функции (1.1). Таким образом, задача оптимального распределения ограниченного ресурса заключается в том, чтобы определить значения переменных xi , i = 1, 2, . , N , которые доставляют максимальное значение функции R(x1, x2 , . , xN ) (1.1), удовлетворяя при этом ограничениям (1.2), (1.3). Задача (1.1) - (1.3) относится к классу задач условной оптимизации. Ограничения, задающие в этих задачах допустимые множества, обычно в математической экономике разделяют на две группы, а именно: ограничения вида (1.2) относят к функциональным ограничениям, а ограничения вида (1.3) – к прямым ограничениям [2]. Значения xi , i = 1, 2, . , N , для которых доставляется максимальное значение функции (1.1) с учетом (1.2), (1.3), называют решением задачи, а соответствующие значения функции (1.1), то есть max R(x1, x2 , . , xN ) , – значением задачи. Если ограничения задачи, заданные в виде нестрогих неравенств, для ее решения обращаются в равенства, то такие ограничения тогда называют эффективными; иначе эти ограничения являются неэффективными, и в связи с этим их можно в процессе решения задачи отбрасывать.

Исходные параметры

1. z – располагаемое количество ресурса,

2. n – мера квантования z

Искомые параметры

1. f_N(z) = f_N(nΔ ) - искомый максимум функции R

2. x_N(z) – искомое оптимальное количество ресурса

Переходя к изложению вычислительной схемы решения задачи с применением основного функционального уравнения (1.15), предположим (а это существенно для дальнейшего изложения), что переменные задачи N i xi , . 2, 1, , = , а также количества распределяемого ресурса как в (1.10), так и в (1.15) могут принимать только дискретные значения с некоторым выбранным шагом Δ >0. То есть имеет место:

где nΔ = z . Соответственно, функции (1.10) в рекуррентном соотношении (1.15) будут вычисляться только для указанных в (1.16) значений или, что то же самое, только для таких точек:

Указанный подход позволяет избежать процедуры интерполирования при вычислении значений , исходя из вычисленных значений fm−1( y) в точках y = 0, Δ , 2Δ , . , z . Действительно, для вычисления под знаком максимума в (1.15) значения − интерполирования не требуется, так как здесь с учетом (1.16) и (1.17) имеет место: .

Согласно (1.15), для вычисления вначале следует найти значения для всех значений из (1.16) с помощью соотношений (1.12)

или (1.13), которые доставляют множество всех требуемых значений

. Затем для всех (1.16) с учетом (1.15) вычисляются значения:

где.Процедура максимизации (1.18) заключается в том, чтобы вначале для каждого z ~ последовательно вычислить значения: а затем выбрать из них максимальное, то есть искомое значение ; при этом определяется и соответствующее ему оптимальное значение .

Получив множество значений для , можно приступить к вычислению функции исходя из (1.15) при m =3:

и т.д. для остальных m = 4, 5, . , N .

Таким образом, в процессе решения уравнения (1.15) для m = 2, 3, . , N

последовательно заполняется таблица, подобная табл. 1.1.

Оптимальные доходы в зависимости от количества процессов

и выделенного ресурса

С заполнением последних двух столбцов указанной таблицы решение

задачи фактически получено. Действительно, поскольку функция по построению монотонно неубывающая по , постольку fN (z) = fN (nΔ ) - искомый максимум функции R (1.1), а xN (z) – искомое оптимальное количество ресурса, выделенное для N-го процесса. Стало быть, оставшееся количество ресурса, равное z − xN (z) , должно быть распределено оптимальным образом между остальными процессами. Соответствующее решение, то есть оптимальный доход (1.10) для первых N −1 процессов, находится в столбце с заголовком − , а именно: в строке, отвечающей значению . В этой же строке в столбце с заголовком − находится величина оптимального количества ресурса, который выделяется для (N −1)-го процесса. Таким образом, перемещаясь по столбцам табл. 1.1 справа налево (это т.н. обратный ход [1, 3]), можно последовательно определить все значения , которые доставляют абсолютный максимум функции R(x1, x2 , . , xN ) (1.1) в области (1.2), (1.3) для заданного количества распределяемого ресурса – z, конечно же, с учетом дополнительных ограничений (1.16), (1.17)

Для начала работы с программой следует задать n и z и нажать кнопку определить

После этого программа создаст таблицы.

2. Ланкастер, К. Математическая экономика / К. Ланкастер. – М.: Советское радио, 1972. – 464 с.

3. Колемаев, В.А. Математическая экономика / В.А. Колемаев. – М.:

ЮНИТИ, 1998. – 240 с.

4. Беллман, Р. Процессы регулирования с адаптацией / Р. Беллман. – М.: Наука, 1964. – 360 с.

5. Первозванский, А.А. Математические модели в управлении производством / А.А. Первозванский. – М.: Наука, 1975. – 616 с.

6. Калихман, И.Л. Динамическое программирование в примерах и задачах / И. Л. Калихман, М. А. Войтенко. – М.: Высшая школа, 1979. – 125 с.
ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

Содержание

Прикрепленные файлы: 1 файл

Курсовая работа по матэкономике rgn.doc

В реально функционирующих больших экономических системах еженедельно требуется принимать микроэкономические решения. Модели ДП ценны тем, что позволяют на основе стандартного подхода с использованием при минимальном вмешательстве человека принимать такие решения. И если каждое взятое в отдельности такое решение малосущественно, то в совокупности эти решения могут оказать большое влияние на прибыль.

Рассматривается управляемый процесс, например, экономический процесс распределения средств между предприятиями, использования ресурсов в течение ряда лет, замены оборудования, пополнения запасов и т. п. В результате управления система (объект управления) S переводится из начального состояния (S₀) в конечное состояние(S_n). Предположим, что управление можно разбить на n шагов, т.е. решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее систему S из начального состояния в конечное, представляет собой совокупность n пошаговых управлений:

На каждом шаге применяется некоторое управленческое решение x_k, при этом множество называется управлением. Таким образом, задача оптимального управления имеет следующую структурную схему:

1-е Задача принятия оптимального решения может быть интерпретирована как n-шаговый процесс управления.

2-е Показатель эффективности всего процесса управления является аддитивной (суммарной) функцией показателей эффективности каждого шага.

3-е Состояние S_k зависит только от состояния S_k-1 и управления X_k.S_k (S_k-1, X_k)

4-е Выбор управления на k-ом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу X_k (S_k-1)

5-е На каждом шаге управления X_k зависит от конечного числа управляющих переменных. Состояние системы на каждом шаге зависит от конечного числа параметров.

Принцип оптимальности Беллмана.

Основное требование - процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Принцип оптимальности утверждает, что для любого процесса без обратной связи оптимальное управление таково, что оно является оптимальным для любого подпроцесса по отношению к исходному состоянию этого подпроцесса. Поэтому решение на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом. Если изобразить геометрически оптимальную траекторию в виде ломаной линии, то любая часть этой ломаной будет являться оптимальной траекторией относительно начала и конца.

Для каждого состояния системы на ближайшем шаге нужно выбрать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к наивысшим показателям эффективности всего процесса управления.

Т.е. на каждом шаге управление должно быть наилучшим с точки зрения управления в-целом.

Соотношение Беллмана (конкурентное соотношение)

Обратная схема Беллмана

Прямая схема Беллмана

4. Решение задачи распределения ресурсов

Решение задачи распределения ресурсов было произведено по прямой схеме Белмана. В следующих таблицах представлены полученные значения:

В условиях рыночной экономики основной целью деятельности предприятия является максимизация прибыли, условием реализации которой вступает рациональное распределение и эффективное использование имеющихся ресурсов.
Исследования показывают, что большинство предприятий сталкиваются с устойчивым ростом затрат ресурсов относительно цен реализации своей продукции, что в итоге сказывается на сокращении прибыльности их деятельности. В связи с этим актуальным становится вопрос рационального распределения ресурсов и повышения эффективности их использования для обеспечения успешной деятельности предприятия на долгосрочную перспективу.
Целью работы является рассмотрение основ рационального распределения и эффективного использования ресурсов предприятия. На основе указанной цели поставлены следующие задачи:
- рассмотреть основные аспекты рационального распределения ресурсов предприятия;
- представить показатели, используемые для оценки эффективности использования ресурсов предприятия;
- указать основные направления повышения эффективности использования ресурсов предприятия.
Информационной базой работы явились труды ученых экономистов и статьи в периодических изданиях по исследуемой теме.

1. Рациональное распределение ресурсов предприятия

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

1. Рациональное распределение ресурсов предприятия

2. Эффективное использование ресурсов предприятия

Эффективность характеризует соотношение полученного эффекта (результата) и ресурсов (затрат), чем больше эффект и меньше ресурсы (затраты), тем выше экономической эффективность производства и наоборот

Задачи распределения ресурсов
Предприятие можно рассматривать в виде некоторой системы переработки ресурсов по участкам производства или операциям. В качестве ресурсов рассматривают материалы,средства труда, деньги. В качестве модели объекта при решении задач распределения ресурсов являются соответственно его производственная или операционная структура, которая охватывает элементы потреблениярассматриваемых ресурсов. Например, производственная структура металлургического завода, приведенная на рис. 2, является моделью объекта управления при решении задачи определения загрузки производства во временидля выполнения заказов. В этом случае параметры загрузки производств (труд) являются ресурсом, который требует распределения.

Рис. 2. Структура металлургического завода

Таким образом, всегдаимеется комплекс операций, а некоторые операции можно выполнить различными способами (с разным назначением ресурсов на операцию).
Различают три типа задач распределения ресурсов.
Для задач первого типахарактерно, что количество ресурсов задано и их достаточно для выполнения операций при некоторых способах их распределения, но не хватает для выполнения всех операций оптимальным способом. Задача состоит в определениитакого распределения ресурсов по операциям, при котором достигается максимальная эффективность выполнения всего комплекса операций. В качестве критерия оценки эффективности распределения может бытьпринят уровень суммарных затрат (задача минимизации затрат) или общая прибыль при выполнении комплекса операций (задачи максимизации показателя эффективности).
Задачи второго типа отличаются тем, чтоколичество ресурсов задано, но их не хватает для выполнения всех операций. Задача состоит в выборе комплекса операций, подлежащих выполнению, и таком распределении ресурсов по выбранным операциям, чтобыдостигалась максимальная эффективность.
В задачах третьего типа задано исходное количество ресурсов, возможно изменение общего количества ресурсов и известны функции.

Читайте также: