Задача об удвоении куба реферат

Обновлено: 05.07.2024

Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

Наряду с трисекцией угла и квадратурой круга, является одной из самых известных неразрешимых задач на построения с помощью циркуля и линейки.

Содержание

История

Согласно античной легенде, однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили ещё один такой же куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник также должен иметь форму куба.

Попытки решения

(начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора, конуса и кругового цилиндра.

(первая половина IV в. до н. э.) предложил механическое решение, основанное на построении трёх прямоугольных треугольников с нужным соотношением сторон.

(середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором — параболы и гиперболы.

мезолябия

(II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой — конхоиды.

Группа схожих между собой решений, принадлежащих Аполлонию, Филону Византийскому и Герону, также использует метод вставки.

В ещё одной группе схожих между собой решений, принадлежащих Диоклу, Паппу и Спору, используется та же идея, что и в решении Платона, при этом Диокл применяет для построения специальную кривую — циссоиду.

Неразрешимость

В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Решение имеет вид . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной " width="" height="" />
. П. Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Хотя удвоение куба неразрешимо с помощью циркуля и линейки, его можно осуществить, если помимо циркуля и линейки использовать некоторые дополнительные инструменты. Например, удвоение куба возможно осуществить построением с помощью плоского оригами.

Решение с помощью дополнительных средств

Удвоение куба с помощью невсиса

Возьмём равносторонний треугольник MPN со стороной a, продлим сторону PN и на расстоянии a от точки N построим точку R (рис. 1). Продлим влево отрезки NM и RM. Возьмём линейку невсиса с диастемой a и используя прямую NM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и прямую RM в качестве целевой линии, построим отрезок AB. Длина отрезка BP соответствует стороне куба удвоенного объёма по сравнению с кубом со стороной a.

Литература

Примечания

↑Аристотель. Вторая аналитика, часть I, гл. 7. М.: Госполитиздат, 1952.

Математика в Древней Греции
Математики	Анаксагор · Анфимий · Архит · Аристей · Аристарх · Аполлоний · Архимед · Автолик · Бион · Боэций · Брайсон · Каллипп · Карп · Хрисипп · Клеомед · Конон · Ктезибий · Демокрит · Дикеарх · Диокл · Диофант · Динострат · Дионисодор · Домнин · Эратосфен · Евдем · Евклид · Евдокс · Евтокий · Гемин · Герон · Гиппарх · Гиппас · Гиппий · Гиппократ · Гипатия · Гипсикл · Исидор · Лев Математик · Марин · Мелисса · Менехм · Менелай · Метродор · Никомах · Никомед · Энопид · Папп · Персей · Филолай · Филон · Порфирий · Посидоний · Прокл · Птолемей · Пифагор · Серен · Симпликий · Созиген · Фалес · Теэтет · Феано · Феодор · Феодосий · Теон Александрийский · Теон Смирнский · Ксенократ · Зенон Элейский · Зенон Сидонский · Зенодор
Трактаты	Альмагест · Арифметика · Исчисление песчинок · Начала · О движущейся сфере · Палимпсест Архимеда · Труд о конических сечениях
Влияние	Вавилонская математика · Древнеегипетская математика
Под влиянием	Европейская математика · Индийская математика · Средневековая исламская математика
Таблицы	Список греческих математиков
Проблемы	Задача Аполлония · Квадратура круга · Трисекция угла · Удвоение куба

Геометрические построения
Неразрешимые задачи древности

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Удвоение куба" в других словарях:

УДВОЕНИЕ КУБА — знаменитая задача древности (делийская задача) о построении куба, имеющего вдвое больший объем, чем данный куб. Задача удвоения куба сводится к построению отрезка, равного , и, как доказано в 19 в., не может быть решена при помощи только циркуля… … Большой Энциклопедический словарь

удвоение куба — знаменитая задача древности (делийская задача) о построении куба, имеющего вдвое больший объём, чем данный куб. Задача удвоения куба сводится к построению отрезка, равного , и, как доказано в XIX в., не может быть решена при помощи только циркуля … Энциклопедический словарь

Удвоение куба — или делийская задача состоит в следующем: построить куб, объем которого равен удвоенному объему данного куба. По преданию, оракул на о ве Делосе посоветовал удвоить алтарь храма, посвященного Аполлону в Афинах, чтобы избавить население Аттики от… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

УДВОЕНИЕ КУБА — задача на построение куба, объем к рого вдвое больше объема данного куба; одна из классич. задач древности на точное построение циркулем и линейкой. Длина ребра хискомого куба численно равна и определяется из кубического уравнения х 3 2 =0.… … Математическая энциклопедия

Удвоение куба — классическая задача древности о построении куба, имеющего объём вдвое больший, чем данный куб. Задачу об У. к. нередко называют делийской (иногда делосской) задачей, так как, по преданию, для избавления от эпидемии на острове Делос… … Большая советская энциклопедия

УДВОЕНИЕ КУБА — знаменитая задача древности (делийская задача) о построении куба, имеющего вдвое больший объём, чем данный куб. Задача У. к. сводится к построению отрезка, равного 3корень из 2, и, как доказано в 19 в., не может быть решена при помощи только… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Невсис — Построение с помощью невсиса Невсис (от греч. νεῦσις) метод геометрического построения, цель которого вписать отрезок заданной длины между двумя кривыми линиями таким образом, чтобы этот отрезок или его продолжение проходил через заданную точку.… … Википедия

Квадратура круга — Круг и квадрат одинаковой площади Квадратура круга задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данно … Википедия

геометрические построения — приёмы, позволяющие по графически данным элементам (точкам, прямым, окружностям) найти (построить) с помощью наперёд заданных средств другие элементы, связанные с данными некоторыми условиями. Наиболее известны построения с помощью циркуля и… … Энциклопедический словарь

Построение с помощью циркуля и линейки — Построения с помощью циркуля и линейки раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности: Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной … Википедия

С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку. Древние греки сравнительно легко решили задачу на удвоение квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Рассмотрим легенду. Откуда Чтобы построить… Читать ещё >

Делосская задача об удвоении куба ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Легенда. Царь Минос повелел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы дали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал его удвоить. Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба переводится к геометрическому построению корня кубического из двух. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в ½ раз больший данного, т. е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Гиппократ Хиосский (конец V в. до н. э.) показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его.

Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора, конуса и кругового цилиндра.

Менехм (середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором — параболы и гиперболы.

Эратосфен (III в. до н. э.) предложил ещё одно решение, в котором используется специальный механический инструмент — мезолябия, а также описал решения своих предшественников.

Никомед (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой — конхоиды.

Попытка решить задачу об удвоении куба при помощи циркуля и линейки.

Древние греки сравнительно легко решили задачу об удвоении квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Если сторона определенного квадрата равняется a, а сторона искомого квадрата x, то, согласно условию задачи, будем иметь:

Откуда Чтобы построить, надо провести гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого каждый катет равен единице. Далее отрезок, равный, увеличить в a раз. Если ребро данного куба положить равным a, а ребро искомого куба — x, то, согласно условию задачи будем иметь:

Откуда Однако все старания построить циркулем и линейкой не увенчались успехом.

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности:

о квадратуре круга о трисекции угла

о удвоении S круга.

Задача о квадратуре круга

Одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре круга , т.е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому данному кругу. Если обозначить радиус круга через r , то речь будет идти о построении квадрата, площадь которого равна r 2 , а сторона равна r . Теперь известно, что число -отношение окружности к своему диаметру – число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926… было, между прочим, вычислено с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим.

Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение построением. Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто, убедившись доказательствами Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор ещё надеется, что можно найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить приближенное значение (и корня квадратного из ), удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки.

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернётся,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут –

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые.

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.

Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками.

По теореме Пифагора:

Отношение площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров , которые в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора OAC ровна площади полукруга, построенного на диаметре . Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что площадь треугольника AOC ровна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадрату, и продолжал свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.

Различные другие, продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в 4в. до н.э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была найдена еще в 5в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом , и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.

Задача о трисекции угла

Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла ( от латинских слов tria– три и section – рассечение , разрезание), т.е.о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое ограничение вспомогательных приборов знаменитым греческим философом Платоном.

Так, деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 о . Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN (Рис. 2). Откладываем на полупрямой произвольный отрезок , на котором строим равносторонний треугольник ACB . Так как угол Рис. 2 CAB

равен 60 о , то = 30 о . Построим биссектрису

угла САВ , получаем искомое деление прямого угла MAN

на три равных угла: , , .

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в , п – натуральное число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Это было доказано лишь в первой половине ХIХ в.

Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда

Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для черчения этой кривой.

Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя насечками предложенное Кемпе:

Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей линейки обозначены 2 точки, P и Q (см. ту же фигуру, внизу)

На одной из сторон угла откладываем от вершины B прямую BA = PQ . Делим ВА пополам в точке М ; проводим линии Рис. 6 и .

Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так, чтобы точка Р

линейки лежала на прямой КМ , точка Q лежала бы

на прямой LM , и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через вершину данного угла В . тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью часть угла В .

Доказательство

как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N соединим с М прямой NM . Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника PQM , а потому PN = N М , а следовательно, треугольник PNM равнобедренный, и значит

Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого. На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру – и только.

Задача об удвоении куба

Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.

Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению

x 3 = 2a 3 , илиx =

Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а 2 , служит отрезок длиной а , т.е. диагональ данного квадрата со стороной а . Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а 3 , т.е. отрезок х , равный , не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

а : х = х : у = у : b (1)

Суть одного механического решения задач об удвоении куба, относящегося к IVв. до н.э. , основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим на стороне прямого угла отрезок =а , где а - длина ребра куба (рис.7), а на другой его стороне – отрезок =2а . На продолжениях сторон прямого угла стараемся найти такие точки M иN , чтобы (АМ) и (В N ) были перпендикулярны к ( MN ) ; тогда (х) и(у) будут двумя серединами пропорциональными между отрезками и . Для этого устраивается угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на рисунке.

а : х = х : у = у : 2а.

Это значит что отрезок искомый.

КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ

Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Прошли тысячелетия, и только в наше время, наконец, были получены их решения.

История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой п. Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2pr2, а так как площадь круга равна S = 2pr2, то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2pr2 и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.

т.е. 3,1408 p , вычисленное с 32 знаками.

Но все эти уточнения значения числа л производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон (рис. 1,а). Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника— больше. Но при этом оставалось неясным, является ли число p рациональным, т.е. отношением двух целых чисел, или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик И. Г. Ламберт доказал, что число л иррационально, а еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик— Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.

Конечно, способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано великое множество. Так, в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9; p =256/81 = =3,1604.

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой).

Чрезвычайно любопытно, что квадратриса Динострата решает и вторую из знаменитых задач древности- задачу о трисекции угла. Для этого нужно отложить данный угол так, чтобы его вершина находилась в точке О, а одна из сторон совпала с лучом ОА. Из точки N пересечения квадратрисы со вторым лучом угла опускаем перпендикуляр NК на ОА, а затем делим отрезок KА на три равные части. Если восставить , в точках деления перпендикуляры к прямой ;

ОА до пересечения с квадратрисой , а затем соединить полученные точки пересечения l с точкой О, то полученные углы окажутся равными. Это следует из метода построения квадратрисы. Аналогичным образом можно делить любой угол на произвольное количество равных частей.

Напомним, что в классической постановке задачи о трисекции угла такое построение требовалось произвести лишь с помощью циркуля и линейки! В 1837 г. французский математик П. Ванцель доказал, что в общем виде задача не имеет решения, а возможно такое деление лишь в нескольких исключительных случаях, в частности для угла а = p/2 и всех углов вида p/2n.

Решение задачи сводится к уравнению х3 - Зх - а = 0. Оказалось, что трисекция угла возможна для тех углов a, для которых корни этого уравнения выражаются через параметр а и целые числа лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной. Если обозначить через а длину стороны исходного куба, а через х-длину стороны вдвое большего куба, то получим соотношение х3 = 2а3 -снова кубическое уравнение. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с по мощью только циркуля и линейки отрезок, в 1/2 раз больший данного, т.е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Естественно, что существовали способы приближенного решения этой задачи и решения ее с помощью других инструментов и кривых. Так, уже в IV в. до н.э. древнегреческие математики умели находить корень уравнения x3 = 2a3 как абсциссу точки пересечения двух парабол х2 = aу и у2 = 2ах, а также других конических сечений.

На протяжении многих веков три знаменитые задачи древности привлекали внимание выдающихся математиков. В процессе их решения рождались и совершенствовались многие математические методы.

УДВОЕНИЕ КУБА

В этой задаче требуется построить циркулем и линейкой куб вдвое большего объёма, чем заданный. Ребро искомого куба равно а, где а - ребро исходного куба. Если принять, что а = 1, то искомое ребро х есть корень уравнения x3 - 2 = 0. У данного уравнения нет рациональных, а значит, и квадратично-ирациональных корней. Следовательно, удвоение куба нельзя осуществить циркулем и линейкой. Примерно такое расуждение было применено в начале XIX в., когда был подготовлен необходимый для этого алгебраический аппарат.

Считают, что задача об удвоении куба появилась во времена пифагорейцев, около 540 г. до н. э. Возможно, она возникла из задачи об удвоении квадрата, которую легко решить, опираясь на теорему Пифагора, — надо построить квадрат на диагонали данного квадрата. Согласно легенде, жители Афин, на которых боги ниспослали эпидемию чумы, отправили делегацию к оракулу на остров Делос за советом, как задобрить богов и избавиться от морового поветрия. Ответ был таков:

Известна и другая легенда. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём — в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу.

a : x =x : y = y : b

(при b=2a получаем x=a). Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов — двух прямых углов (рис. 1).

Менехм примерно в .350 г. до н. э. решал задачу об удвоении куба, используя конические сечения — кривые, по которым плоскости пересекают конус. Свои решения дали также крупнейшие древнегреческие математики Евдокс, Эратосфен, Аполлоний, Герон, Папп и др.

Одно из решений задачи об удвоении куба показано на рис. 2. Здесъ BC=BD, AB=AC=EF, а прямая l=CE параллельна АD. Полагая ВС = a, АВ = b/2, АЕ = x и СF =у, можно найти, что x и y — два средних пропорциональных а и b или что

, а

в частности, x=aпри b = 2а. Все точки и линии на этой фигуре, кроме прямой АЕF, строятся циркулем и линейкой; а прямую можно провести, если разрешить метки на линейке. Хватит двух меток Е и F; их нужно сделать на расстоянии b/2 друг от друга. Тогда прямую АЕF строят, поместив линейку так, чтобы её край проходил через A, одна метка попала на l, а другая на прямую ВС.

Несложно разделить любой угол с помощью циркуля и линейки на две, а некоторые углы — и на три равные части. Последняя операция называется трисекцией угла. Например, мы можем построить треть прямого угла, поделив пополам угол правильного треугольника, а проведя биссектрису в образовавшемся угле в 30°, получим угол величиной 15° — треть угла в 45°. Есть и другие углы, для которых трисекция выполнима. Наверное, подобные построения и вселили надежду открыть способ трисекции любого угла посредством циркуля и линейки. Эту задачу пытались решить ещё в V в. до н. э. в Греции.

На рис. 3 А0В — заданный угол, из точки В проведены прямая p = ВС, перпендикулярная ОА, и прямая l, параллельная ОА. Если теперь начертить прямую а = ОРQ так, чтобы её отрезок РQ, заключённый между р и l, равнялся 20В, то угол РОС составит треть данного угла. (Это можно доказать, пользуясь тем, что треугольники ОBD и ВDQ, где О — середина РQ, равнобедренные, и теоремой о внешнем угле треугольника.) Построить прямую а можно с помощью меченой линейки, т. е. линейки, на которой нанесены две метки на расстоянии 20В друг от друга.

Никомед с той же целью чертил свою конхоиду с полюсом О, основанием p и интервалом 20В; она пересекает l в искомой точке О.

Архимед придумал свой способ трисекции. На данный угол — это угол AОВ между радиусами окружности. С помощью меченой линейки проведём прямую через точку А так, чтобы её отрезок РQ между окружностью и продолжением прямой ВО равнялся радиусу окружности. Как и на рис. 3, здесь образуются равнобедренные треугольники ОАР и ОРQ, и легко доказать, что угол ОQA втрое меньше данного.

Гиппий Элидский (около 420 г. до н. э.) для трисекции угла использовал кривую, впоследствии названную квадратрисой Динострата, который позже использовал её для решения квадратуры круга.

Квадратриса получается следующим образом. Пусть дана окружность радиуса а. Начнем вращать радиус ОА с угловой скоростью p/2 вокруг точки О - центра окружностии одновременно равномерно перемещать влево со скоростью а вертикальную прямую от точки А к точке С. Точка М их пересечения и будет описывать квадратрису. Если взять за оси координат прямую ОА и прямую 0В, то в момент времени t точка М будет иметь координаты

При стремлении t к 1 точка М стремится, к точке Р, при этом абсцисса точки М стремится к нулю, а у ординаты один множитель стремится к нулю, а другой - к бесконечности. Их произведение будет стремиться к числу 2а/p, поэтому длина отрезка ОР равна 2a/p. Следовательно, имеет место соотношение АС/ОР=p.

Пусть теперь дана окружность радиуса г. Тогда имеем соотношение 2pr/2r = АС/ОР, в котором известны АС, ОР и 2r-диаметр данной окружности. По ним мы можем построить отрезок, равный 2r- длине окружности, это будет четвертый пропорциональный отрезок к известным трем.

Французский математик П. Ванцель в 1837 г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой. Пусть b = a/3. По известной формуле, соs a = = 4 соs3 b - 3 соs b. Тогда для величины х = 2 сов b получается уравнение x3 – 3x - а = 0, где а = 2 соs a . Геометрическая задача трисекции данного угла а циркулем и линейкой разрешима тогда и только тогда, когда полученное алгебраическое уравнение разрешимо в квадратных радикалах. Возьмём, например, a = 60°. Тогда уравнение примет вид х3 – 3x - 1 = 0. Оно неразрешимо в квадратных радикалах, а потому и трисекция с помощью циркуля и линейки в данном случае невозможна. Тем более она невозможна в общем случае. Интересно, что вообще для углов вида Зб0°/n с целым п трисекцию удаётся осуществить тогда и только тогда, когда n не делится на 3.

КВАДРАТУРА КРУГА

В задаче о квадратуре круга требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. Вероятно, задача была известна уже за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. Но первая прямая ссылка на неё относится к V в. до н. э. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Анаксагор, коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат. Если считать радиус данного круга равным 1, то сторона искомого квадрата должна составить .

Итак, задача о квадратуре круга оказалась наиболее сложной из трёх. Метод, использованный в двух других задачах, здесь не подошёл, так как число p имеет совершенно другую природу, чем или корни уравнений, к которым сводится трисекция. Только в 1882 г. Фердинанд Линдеман доказал, что число p трансцендентно, т. е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Значит, оно и не квадратично-иррационально, поскольку в противном случае было бы корнем какого-либо многочлена. Так Линдеман наконец поставил точку в проблеме разрешимости посредством циркуля и линейки последней из трёх классических задач древности.

Читайте также: