Взаимное пересечение поверхностей реферат

Обновлено: 04.07.2024

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Министерство образования и науки РФ

Управление образования г. Великие Луки

Зайцева А.Л. Великие Луки

Введение Пересечение кривых поверхностей

Общие сведения о поверхностях

Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою

Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою

Список используемой литературы

Введение Мы знаем, что фигурой пересечения двух прямых является точка, также мы знаем, что фигурой пересечения двух плоскостей является прямая. Кривые поверхности тоже пересекаются. И поэтому цель нашей работы – узнать фигуру пересечения кривых поверхностей.

Данная тема является актуальной, поскольку всегда существует интерес к задачам на построение. В школьном же курсе геометрии не рассматриваются кривые поверхности и случаи их пересечения.

Предметом нашего исследования являются фигуры пересечения кривых поверхностей, а объектом нашего исследования являются сами кривые поверхности.

В работе использованы следующие методы:

работа с научной литературой работа со специальной литературой анализ синтез

Общие сведения о поверхностях Поверхность – это геометрическое место линии, движущейся в пространстве по определённому закону. Эту линию называют образующей. Она может быть прямой, тогда образованную ей поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая – кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей. В качестве последней иногда используют след поверхности.

Определителем поверхности называют совокупность условий, задающих поверхность в пространстве.

Поверхность считают заданной, если можно построить проекции любой её образующей. Одну и ту же поверхность можно образовать движением различных линий. Например, сфера образуется вращением окружности вокруг её диаметра.

Рассматриваемые ниже поверхности классифицированы следующим образом.

I. Поверхности вращения линейчатые.

Конус. Цилиндр. Однополостный гиперболоид.

II. Поверхности вращения нелинейчатые.

Шар. Тор (круговой, параболический, эллиптический). Эллипсоид (вытянутый и сжатый).

4. Поверхность вращения общего вида.

Поверхности вращения линейчатые.

Все поверхности этого класса образованы вращением прямой линии вокруг другой прямой. Две прямые могут занимать относительно друг друга три различных положения. Каждому из них соответствует своя поверхность вращения.

1. Конус образуют вращением прямой OD вокруг пересекающейся с ней оси Z (рис. 2, а). Координатные плоскости XOZ и YOZ рассекают конус по пересекающимся прямым OD, OE, OK и OF; плоскость XOZ даёт в сечении точку О; плоскость , параллельная XOY, пересекает по окружности (DFEK).

Для построения точки, принадлежащей кривой поверхности, её поверхности располагаем на проекциях линии, лежащей на этой поверхности.

Общие сведения о пересечении кривых поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. Пересечение поверхностей с параллельными осями. Применение способа концентрических сфер. Последовательность нахождения горизонтальных проекций заданных точек.

Рубрика	Математика
Вид	методичка
Язык	русский
Дата добавления	18.02.2015
Размер файла	2,0 M

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

к выполнению расчетно-графической работы

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол №3 от 17 октября 2012 г.)

Составители: доцент Голощапов В.Г.

доцент Тархова Л.М.

кафедры прикладной и теоретической механики Ахмаров Р.Г.

При выполнении машиностроительных и строительных чертежей используются геометрические построения по выполнению проекций линий пересечения поверхностей.

- закрепление и углубление теоретических положений по выполнению чертежа поверхности по заданным определителям и построению проекций линий пресечения поверхностей.

Даны общие принципы решения задач на построение проекций линий пересечения, основанные на анализе пересекающихся поверхностей. Приводятся примеры решения задач.

Методические указания предназначены для студентов всех направлений, изучающих курс начертательной геометрии.

1. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

1.1 Построить комплексный чертеж поверхностей по определителям.

1.2 Построить проекции линии пересечения поверхностей.

1.3 Выполнить развертку одной поверхности с нанесением линии пересечения.

2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ

Студентом выполняется индивидуальный вариант задания (приложения Б.В).

2.1 По конспекту лекций, учебникам 1,2,3,4 и данным методическим указаниям изучить:

- классификацию и образование поверхностей, построение очерка поверхности по определителю;

- способы построения проекции линии пересечения поверхностей с применением вспомогательных секущих плоскостей (посредников) или поверхностей (сфер);

- способы построения развертки поверхностей.

2.2 На листе чертежной бумаги формата А2 или А3 начертить рамку и прямоугольник для основной надписи.

2.3 В левой половине листа по заданным координатам геометрической части определителя построить ортогональные проекции поверхностей.

2.4 Проанализировать положение пересекающихся поверхностей относительно плоскостей проекций П1 и П2, выбрать рациональный способ решения задачи.

2.5 Наметить расположение посредников.

2.6 Построить сначала опорные, а затем промежуточные точки линии пересечения, обозначить проекции полученных точек.

2.7 Соединить точки, принадлежащие соседним образующим, кривыми линиями для кривых поверхностей, а точки, лежащие на одной и той же грани, прямыми ломаными линиями для гранных поверхностей

2.8 Определить видимость участков линии пересечения на проекциях.

2.9 В правой половине листа над основной надписью поместить развертку одной из поверхностей и нанести на нее линию пересечения.

Все построения выполнить сначала в тонких линиях с помощью чертежных инструментов, затем произвести обводку карандашом или гелиевой ручкой следующим образом: исходные данные - черным цветом, вспомогательные построения- синим, результат построения - красным. Масштаб построения 2:1.

Пример оформления чертежа представлен в приложении А.

Ниже дается теоретический материал иллюстрированный примерами и рисунками, некоторые из которых заимствованы из учебников по начертательной геометрии известных изданий 3,4 .

3. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРЕСЕЧЕНИИ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Линия пересечения двух поверхностей представляет собой пространственную кривую, которая может быть замкнутой, или распадаться на две и более части.

Линию пересечения строят, применяя вспомогательные плоскости или поверхности (посредники), пересекающие данные поверхности по каким-либо линиям. Точки пересечения этих линий принадлежат одновременно двум данным поверхностям, т.е. линии их пересечения. Взяв достаточное количество вспомогательных плоскостей (поверхностей), можно найти достаточное количество точек искомой линии. Вид посредника выбирается таким, чтобы он, пересекаясь с данными поверхностями, давал бы простые для построения линии (прямые, окружности), которые проецировались бы на одну из плоскостей проекции в натуральную величину. Часто в качестве посредников используют плоскости или сферы. Соответственно им различают способ вспомогательных плоскостей и способ сфер.

Каким бы способом не производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии соблюдается определенная последовательность:

- определяют опорные точки;

- для более точного построения линии определяют промежуточные точки;

- определяют точки видимости;

- полученные точки соединяют плавной линией с учетом видимости участков линии на каждой плоскости проекции отдельно.

К опорным относятся точки, наиболее удаленные от плоскостей проекций, или приближенные к ним. По этим точкам можно определить характер кривой линии.

К промежуточным относят точки, расположенные между опорными. Для их определения пользуются вспомогательными секущими плоскостями (поверхностями).

К точкам видимости относятся точки, лежащие на крайних образующих поверхностей, т.е. на контурах каждой проекции поверхностей. Эти точки отделяют видимую часть кривой линии от невидимой.

4. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

4.1 Способ вспомогательных секущих плоскостей

Допустим даны две произвольные поверхности и ( рисунок 4.1.).

Чтобы определить точки, общие для этих поверхностей, рассекаем их вспомогательной плоскостью Q .

Рисунок 4.1 - Применение вспомогательных секущих плоскостей

Строим линию m пересечения вспомогательной плоскости Q с заданной поверхностью и линию пересечения l плоскости Q с поверхностью .

Линии l и m пересекаются между собой в точках K и L, т.к. лежат в общей плоскости Q. Эти точки будут общими для поверхностей и и будут принадлежать линии их пересечения.

Способ секущихся плоскостей удобно применять, когда оси поверхностей вращения параллельны и одна из поверхностей занимает частное положение. Если оси поверхностей не параллельны (скрещиваются), то для упрощения построения линии пересечения целесообразно предварительно преобразовать чертеж в положение, при котором вспомогательные плоскости пересекают данные поверхности по простым линиям.

Пример 1. Построить проекцию линии пересечения двух поверхностей вращения и , с параллельными осями i и i. Поверхности заданы очерком проекций (рисунок 4.2.).

Решение. Проекция линий пересечения определяется крайними (опорными) точками 1,2,3, в пересечении линий очерка поверхностей.

Рисунок 4.2 - Пересечение поверхностей с параллельными осями

Промежуточные точки линии пересечения целесообразно определять с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей , которые пересекают заданные поверхности по параллелям p и p. Полученные параллели, расположены в одной плоскости и принадлежат поверхностям и .

Таким образом, пересекающиеся параллели определяют точки искомой линии пересечения q. Для получения достаточного количества точек необходимо вводить не одну, а несколько плоскостей

Пример 2. Построить линию пересечения прямого кругового конуса и кругового цилиндра, оси которых являются скрещивающимися прямыми (рисунок. 4.3.)

Решение. Рассечь обе фигуры семейством параллельных плоскостей так, чтобы в сечениях получились только прямые и окружности, невозможно. Поэтому построим вспомогательную проекцию фигур на плоскость П4, расположив её перпендикулярно к оси цилиндра. На плоскости П4 рассечём обе фигуры пучком плоскости ,, и , каждая из которых проходит через вершину конуса. Отметим положение вспомогательных проекций точек на плоскости П4 пересечения основания конуса(А4,В4,С4,D4) и цилиндра (14,24,34…). На фронтальной проекции находим положение соответствующих образующих заданных фигур, по которым они рассекаются вспомогательными плоскостями . Точки пересечения этих образующих 12,22,32… определяют фронтальную проекцию линии пересечения.

Горизонтальные проекции этих точек 11,21,31… устанавливаются на пересечении линий связи с горизонтальными проекциями образующих конуса.

Видимость участков линии пересечения на каждой плоскости проекций устанавливается отдельно. На плоскости П1 границей видимости служат проекции передней и задней образующих цилиндра.

4.2 Способ вспомогательных сфер

Способ основывается на построении линии взаимного пересечения каждой из пересекаемых поверхностей вращения с соосно-расположенными сферами.

Поверхности вращения называются соосными, если их оси вращения совпадают. Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям. Число окружностей равно числу описывающих эти окружности точек пересечения образующих, лежащих в одной меридиональной плоскости и по одну сторону от оси вращения.

Рисунок 4.3 - Пересечение конуса и цилиндра с скрещивающимися осями

На рисунке 4.4 приведены примеры пересечения со сферой цилиндра и конуса.

Сфера является соосной с данными поверхностями, т.к. центр сферы расположен на оси цилиндра и конуса. Получаемые в пересечении кривые представляют собой окружности, которые проецируются на плоскость, параллельную оси поверхности, в виде отрезков прямых.

Рисунок 4.4 - Пересечение соосных поверхностей

С помощью сферических поверхностей просто решаются задачи по определению линий пересечения двух произвольных поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии.

При этом возможны два случая:

1)если оси поверхностей пересекаются, то для определения линии пересечения поверхностей используют семейство концентрических сфер;

2)если оси не пересекаются, применяют эксцентрические сферы.

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

4.2.1 Способ концентрических сфер

Пример. Построить линию пересечения цилиндра и конуса, оси которых i и f пересекаются в точке О и параллельны плоскости проекций П2( рисунок 4.5.).

Решение. Проведем из точки О, как из центра, произвольную сферу, пересекающую каждую из данных поверхностей. Сфера будет соосна с данными поверхностями и пересечётся с каждой поверхностью по окружностям. Окружности изобразятся на плоскости проекции П2 отрезками прямых, что следует из параллельности осей данных поверхностей плоскости П2. В пересечении отрезков прямых, изображающих окружности, получим проекции точек, принадлежащих обеим данным поверхностям, а, значит, искомой линии пересечения.

Вначале строятся опорные точки A,B,C,D, которые одновременно являются и точками видимости линии пересечения поверхностей. Эти точки находятся на пересечении контурных образующих данных поверхностей.

Далее определяем радиусы максимальной и минимальной сфер. Радиус максимальной сферы (Rmax) равен расстоянию от проекции центра сфер О2 до наиболее удаленной точки пресечения очерковых образующих (точка А2).

Для определения радиуса минимальной сферы (Rmin) необходимо провести через точку О2 нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Больший из отрезков этих нормалей и будет Rmin . Сфера минимального радиуса касается образующих одной из данных поверхностей, а с образующими другой поверхности пресекается. В данном примере сфера минимального радиуса касается образующих цилиндрической поверхности по окружности 1-2; коническую поверхность она пересекает по двум окружностям 3-4 и 5-6. Точки E,F,G,H пересечения этих окружностей принадлежат промежуточным точкам искомой линии пересечения.

Для построения других промежуточных точек необходимо провести ряд концентрических сфер с центром в точке О, причем радиус R этих сфер должен находится в пределах Rmin R Rmax .

В данном примере проведена одна дополнительная сфера радиуса R. Она пересекает цилиндрическую поверхность - по окружностям 7-8 и 9-10, а коническую поверхность - по окружностям 11-12 и 13-14.

В пресечении этих окружностей получаем точки K,L,M,N,P,Q, принадлежащих линии пересечения.

Для построения горизонтальной проекции точек линии пересечения следует воспользоваться окружностями той или другой из данных поверхностей, содержащими искомые точки. В данном примере применены окружности конической поверхности, т.к. они не искажаются на плоскости проекции П1.

Рисунок 4.5 - Применение способа концентрических сфер

Если оси данных поверхностей вращения пересекаются, но не параллельны какой-либо плоскости проекций, то можно при помощи замены плоскостей проекций привести их в положение, параллельное новой плоскости проекций.

4.2.2 Способ эксцентрических сфер

Способ эксцентрических сфер можно применять для построения проекции линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. Каждая из этих поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым её могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.

Пример. Построить линию пересечения тора и кругового конуса, имеющих общую фронтальную плоскость симметрии (рисунок 4.6.)

Для построения линии пересечения нельзя использовать ни один из раннее рассмотренных способов.

Действительно, при использовании вспомогательных горизонтальных плоскостей уровня на торе получим кривые Персея, на конусе - окружности. Фронтальные плоскости уровня при пересечении с конусом дадут гиперболы, с тором - окружности.

Способ концентрических сфер также нельзя применить, т.к. отсутствует точка пересечения осей i и t заданных тел вращения.

Для решения задачи применим эксцентрические сферы.

Вспомогательные эксцентрические сферы необходимо выбирать так, чтобы они пресекались с тором по его меридиональным круговым сечениям, проецируемым в виде отрезков прямых.

Определяем опорные точки.

Высшая В и низшая А точки определяются на пересечении контурных образующих тора и конуса. Эти точки также являются точками видимости на фронтальной плоскости. Для определения промежуточных точек последовательность построения следующая

1. На фронтальной проекции через центр вращения t (t2) тора намечаем положение ряда меридиональных сечений тора 2,2,2,…

2. Из середины полученных круговых сечений тора, проецируемых на фронтальной проекции в виде отрезков прямых (например M2,N2), восстанавливаем перпендикуляры до пересечения с осью i (i2)

Рисунок 4.6 - Применение способа экцентрических сфер

конуса. Полученные точки О2, О2,О2,… определяют центры вспомогательных сфер.

3. Точки C2, D2, E2,…искомой линии пересечения поверхностей тора и конуса устанавливаются на пресечении фронтальных проекции соответствующих окружностей, полученных при взаимном пересечении каждой из заданных поверхностей со вспомогательными сферами. Фронтальные проекции этих окружностей имеют форму отрезков прямых.

Для нахождения горизонтальных проекций точек C, D, E,…необходимо воспользоваться окружностями конической поверхности, которые проецируются на горизонтальную плоскость проекций без искажения.

пересечение поверхность секущий

1.Гордон В.О., Семенцов - Огиевский М.И. Курс начертательной геометрии. М.: Наука, 2004.272 с.

2.Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение. М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 2010.471 с.

3.Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии.- М.: Высшая школа, 1974.-191 с.

4.Ломоносов Г.Г. Инженерная графика. М.: Недра, 1984.285 с.

5.Нартова Л.Г., Якунин В.И. Начертательная геометрия. Теория и практика. М.: Изд-во Дрофа ISBN, 2008.304с.

6. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.:Изд-во ИНФА - м ISBM-М 2010. 288 c.

Построить линию пересечения шара с цилиндром вращения.

Построить развертку указанного в варианте тела с нанесением на ней линии пересечения.

Мы знаем, что фигурой пересечения двух прямых является точка, также мы знаем, что фигурой пересечения двух плоскостей является прямая. Кривые поверхности тоже пересекаются. И поэтому цель нашей работы – узнать фигуру пересечения кривых поверхностей.

В работе использованы следующие методы:

· работа с научной литературой

· работа со специальной литературой

Общие сведения о поверхностях

Поверхность – это геометрическое место линии, движущейся в пространстве по определённому закону. Эту линию называют образующей. Она может быть прямой, тогда образованную ей поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая – кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей. В качестве последней иногда используют след поверхности.

Определителем поверхности называют совокупность условий, задающих поверхность в пространстве.

Рассматриваемые ниже поверхности классифицированы следующим образом.

I. Поверхности вращения линейчатые.

3. Однополостный гиперболоид.

II. Поверхности вращения нелинейчатые.

2. Тор (круговой, параболический, эллиптический).

3. Эллипсоид (вытянутый и сжатый).

4. Поверхность вращения общего вида.

Поверхности вращения линейчатые.

1. Конус образуют вращением прямой ODвокруг пересекающейся с ней оси Z (рис. 2, а). Координатные плоскости XOZи YOZрассекают конус по пересекающимся прямым OD, OE, OK и OF; плоскость XOZ даёт в сечении точку О; плоскость , параллельная XOY, пересекает по окружности (DFEK).

Конус участвует в образовании формы диаграммы направленности антенны, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и её облучателя, диффузора громкоговорителя, резонатора, отражателя радиоволн, электроннолучевых трубок и электронных ламп, световода, деталей вакуумных установок и так далее.

2. Цилиндр образуют вращением прямой ЕD вокруг параллельной ей оси Z (рис. 2, б, в)

Плоскости XOZи YOZ пересекают его по параллельным прямым ED, FK, NP, LM, а плоскость XOY и ей параллельные – по окружностям DPKM и (ENFL).

Цилиндр применяют при образовании формы волноводов, антенн, амортизаторов приборов, зеркал лазеров, корпусов датчиков и так далее.

Поверхности вращения нелинейчатые.

К этому классу относят в основном поверхности, образованные вращением кривых второго порядка.

1. Сферу образуют вращением окружности вокруг её диаметра (рис. 4). Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Очерк фронтальной проекции сферы называют главным меридианом, очерк горизонтальной проекции – экватором. Проекции точки К, лежащей на поверхности сферы, принадлежат проекциям горизонтальной окружности, проведённой на сфере.

Сфера образует форму диаграммы направленности антенн, обтекателя и излучателя антенны, головки микрофона, контактов реле и так далее. Сфера является поверхностью положения объекта в пространстве.

2. Круговой тор образуют вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не являющейся её диаметром. Таким образом, сферу можно рассматривать как частный случай тора. Различают тор-кольцо, когда ось вращения не пересекает образующую окружность, и тор-бочку.

В радиотехнике используют также параболический и эллиптический тор.

Параболический тор образуют вращением параболы вокруг прямой, лежащей в плоскости этой параболы и не являющейся её фокальной осью.

Эллиптический тор образуют вращением эллипса вокруг прямой, лежащей в плоскости этого эллипса и не являющейся его осью.

Торовые поверхности имеют диаграммы направленности антенн, поверхности положения объекта в пространстве, антенны и их обтекатели, волноводы, резонаторы, громкоговорители и так далее.

3. Эллипсоид образуют вращением эллипса вокруг его малой или большой оси. В первом случае получают сжатый (рис. 5, а), а во втором – вытянутый эллипсоиды вращения (рис. 5, б).

Плоскости XOZ и YOZ пересекают их по эллипсам DE и EF, а плоскость XOY – по окружности DF.

Форму эллипсоида имеют зеркала антенн и лазеров, излучатели антенн, поверхности положения и так далее.

4. Поверхность вращения общего вида образуют вращением произвольной кривой.

ОБЩИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДРУГОЮ

Применяя указанный общий способ для построения линии пересечения двух кривых поверхностей, мы можем:

1) пересекать поверхности вспомогательными плоскостями;

2) пересекать поверхности вспомогательными кривыми поверхностями (например, сферами).

В некоторых случаях при решении задач комбинируют применение вспомогательных плоскостей и кривых поверхностей. Следует по возможности подбирать такие вспомогательные поверхности, которые в пересечении с данными поверхностями дают простые для построения линии (например, прямые или окружности).

В общем случае вспомогательные секущие плоскости применяют и для построения линии пересечения кривой поверхности гранной.

Изложенный общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою не исключает применения другого способа, если хотя бы одна из этих поверхностей линейчатая: найти точку, в которой прямолинейная образующая одной поверхности пересекает другую поверхность, и, повторяя этот приём для ряда образующих, через найденные точки провести искомую линию. На рисунке 1 справа показано, что через образующую SM поверхности I проведена плоскость III, которая пересекает вторую поверхность (II) по кривой CD; образующая SM пересекает эту кривую в точке К, через которую пройдёт искомая линия пересечения поверхностей I и II.

Это относится и к случаю пересечения кривой поверхности гранной: здесь роль образующих играют ребра гранной поверхности.

Итак, для построения точек линии, получающейся на одной поверхности при пересечении её другой поверхностью, пользуются вспомогательными секущими плоскостями частного и общего положения, кривыми поверхностями, прямолинейными образующими кривых линейчатых поверхностей и рёбрами гранных поверхностей. При этом прибегают к способам преобразования чертежа, если это упрощает и уточняет построение.

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДРУГОЮ

1. На рисунке 2 изображены пересекающиеся между собой: а) два цилиндра с параллельными образующими, б) два конуса с общей вершиной. В обоих случаях линиями пересечения поверхностей являются общие образующие этих поверхностей.

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Министерство образования и науки РФ

Управление образования г. Великие Луки

Пересечение кривых поверхностей

Общие сведения о поверхностях

Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою

Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою

Список используемой литературы

В работе использованы следующие методы:

работа с научной литературой

работа со специальной литературой

Общие сведения о поверхностях

Определителем поверхности называют совокупность условий, задающих поверхность в пространстве.

Рассматриваемые ниже поверхности классифицированы следующим образом.

I . Поверхности вращения линейчатые.

II . Поверхности вращения нелинейчатые.

Тор (круговой, параболический, эллиптический).

Эллипсоид (вытянутый и сжатый).

4. Поверхность вращения общего вида.

Поверхности вращения линейчатые.

1. Конус образуют вращением прямой OD вокруг пересекающейся с ней оси Z (рис. 2, а). Координатные плоскости XOZ и YOZ рассекают конус по пересекающимся прямым OD , OE , OK и OF ; плоскость XOZ даёт в сечении точку О; плоскость , параллельная XOY , пересекает по окружности ( DFEK ).

2. Цилиндр образуют вращением прямой Е D вокруг параллельной ей оси Z (рис. 2, б, в)

Плоскости XOZ и YOZ пересекают его по параллельным прямым ED , FK , NP , LM , а плоскость XOY и ей параллельные – по окружностям DPKM и ( ENFL ).

Поверхности вращения нелинейчатые.

К этому классу относят в основном поверхности, образованные вращением кривых второго порядка.

Сфера образует форму диаграммы направленности антенн, обтекателя и излучателя антенны, головки микрофона, контактов реле и так далее. Сфера является поверхностью положения объекта в пространстве.

В радиотехнике используют также параболический и эллиптический тор.

Плоскости XOZ и YOZ пересекают их по эллипсам DE и EF , а плоскость XOY – по окружности DF .

Форму эллипсоида имеют зеркала антенн и лазеров, излучатели антенн, поверхности положения и так далее.

Поверхность вращения общего вида образуют вращением произвольной кривой.

ОБЩИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДРУГОЮ

Применяя указанный общий способ для построения линии пересечения двух кривых поверхностей, мы можем:

пересекать поверхности вспомогательными плоскостями;

пересекать поверхности вспомогательными кривыми поверхностями (например, сферами).

Изложенный общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою не исключает применения другого способа, если хотя бы одна из этих поверхностей линейчатая: найти точку, в которой прямолинейная образующая одной поверхности пересекает другую поверхность, и, повторяя этот приём для ряда образующих, через найденные точки провести искомую линию. На рисунке 1 справа показано, что через образующую SM поверхности I проведена плоскость III , которая пересекает вторую поверхность ( II ) по кривой CD ; образующая SM пересекает эту кривую в точке К, через которую пройдёт искомая линия пересечения поверхностей I и II .

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДРУГОЮ

Положим, что надо построить проекции прямой, проходящей через точку В на оси проекций и расположенной под углом φ1 по отношению к плоскости π1 и под углом φ2 к плоскости π 2. Известно, что для прямой общего положения φ1+φ2 градусов.

Геометрическим местом прямых, проходящих через данную точку и составляющих с плоскостью π1 угол φ1, является коническая поверхность вращения, вершина которой находится в данной точке, а образующие составляют с плоскостью π1 угол φ1.

Точно также геометрическим местом прямых, проходящих через данную точку и составляющих с плоскостью π2 угол φ2, является коническая поверхность вращения, вершина которой находится в данной точке, а образующие составляют с плоскостью π2 угол φ2.

Очевидно, искомая прямая должна одновременно принадлежать поверхностям обоих конусов, имеющих общую вершину в данной точке, т.е. должна быть линией их пересечения – общей их образующей. Мы получим восемь лучей, выходящих из точки В, отвечающих поставленным условиям (четыре прямых).

На рисунке 3 выполнено построение одного из этих лучей. Первый конус определяется образующей ВА1 и осью, перпендикулярной к плоскости π1, а второй конус – образующей ВА2 и осью, перпендикулярной к плоскости π2. Для построения искомой прямой имеется пока лишь точка В – общая вершина конусов. Вторую точку – точку К – общую для поверхностей этих конусов, мы находим при помощи сферы с центром в точке В.

Другим примером, когда в процессе некоторого построения используется свойство пересечения двух конических поверхностей с общей вершиной по общей для них прямой линии – образующей, служит построение образующих линейчатой поверхности, называемой цилиндром с тремя направляющими. Положим (рис.4), что в числе направляющих одна прямая АВ и две кривые линии. Если взять точку (К) на прямой направляющей и принять её в качестве общей вершины вспомогательных конических поверхностей, для которых данные кривые служат направляющими, то прямая пересечения этих конических поверхностей, проходя через их вершину, пересечет и их направляющие, то есть окажется прямолинейной образующей цилиндра с тремя направляющими. Очевидно, надо взять ряд точек заданной прямой и выполнить для каждой из них указанное построение, что даст ряд образующих цилиндра с тремя направляющими.

Если для этой поверхности все три направляющие кривые, то указанный способ построения остаётся таким же: точки, служащие вершинами для вспомогательных конических поверхностей, берутся на одной из данных кривых.

2. При взаимном пересечении поверхностей вращения второго порядка получается в некоторых случаях распадения линии пересечения на две плоские кривые второго порядка. Это бывает в тех случаях, когда обе пересекающиеся поверхности вращения (цилиндр и конус, два конуса, эллипсоид и конус и т. п.) описаны вокруг общей для них сферы. В примерах, приведённых на рис. 5, в первых трёх случаях пересечения происходит по эллипсам, в четвёртом – по эллипсу и параболе, а в пятом – по эллипсу и гиперболе.

На рис. 6 показаны два цилиндра равного диаметра с пересекающимися осями. Из точки пересечения осей может быть проведена сфера, вписанная в оба цилиндра. Обе поверхности пересекаются по линии, состоящей из двух эллипсов. На рис. 6 справа также изображены два цилиндра равного диаметра, но их оси пересекаются на этот раз не под прямым углом. Линия пересечения составлена из половин двух эллипсов.

Изображённые на рис. 5 и 6 кривые пересечения поверхностей проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямолинейных отрезков, так как общая плоскость симметрии для каждой пары рассмотренных поверхностей расположена параллельно плоскости π2.

В рассмотренных примерах имеет место двойное соприкосновение двух пересекающихся поверхностей второго порядка, то есть наличие у этих поверхностей двух точек прикосновения, а следовательно, и двух плоскостей, каждая из которых касается обеих поверхностей в общей их точке. Приведём без доказательств следующие два положения, на которых основаны указанные выше построения: 1) поверхности второго порядка, имеющие двойное соприкосновение, пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, причём плоскости этих кривых проходят через прямую, определяемую точками прикосновения; 2) две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в неё вписанные (например, два сжатых эллипсоида вращения, вписанных в сферическую поверхность)), пересекаются между собой по двум кривым второго порядка. Второе положение, известное под названием теоремы Монжа, вытекает из первого.

На основании изложенного можно найти круговые сечения эллиптического конуса и эллиптического цилиндра. Пример дан на рис. 7. Взята некоторая сфера так, чтобы она имела двойное соприкосновение с поверхностью эллиптического конуса. В пересечении сферы с конусом получаются две плоские кривые – окружности в профильно-прецирующих плоскостях γ и α, дают две системы круговых сечений эллиптического конуса.

3. Соосные поверхности вращения (т. е. поверхности с общей осью) пересекаются по окружностям. На рис. 8 даны три примера: а) цилиндр и конус, б) сжатый эллипсоид и усечённый конус, в) две сферы. Во всех этих примерах даны лишь фронтальные проекции, причем общая ось поверхностей расположена параллельно плоскости π2. Поэтому окружности, получаемые при пересечении одной поверхности другою, проецируются на π2 в виде прямолинейных отрезков.

За ось сферы можно принять любой её диаметр. Поэтому пересекающиеся сферы рассматриваются как соосные поверхности вращения. Также в качестве соосных поверхностей могут быть рассмотрены изображенные на рис. 9 цилиндр и сфера, конус и сфера, некоторая поверхность вращения и сфера. Оси цилиндра, конуса и поверхности вращения проходят через центры сфер. Пересечение происходит по окружностям.

На рис. 10 даны примеры изображения соосных поверхностей вращения и встречных сверлений одного и того же диаметра из практики машиностроительного черчения. Поверхности обозначены буквами: Т – круговое кольцо, К – конус, Ц – цилиндр, Сф – сфера; полученные в пересечении линии обозначены буквами: О – окружность, Э – эллипс. Эти линии проецируются в виде прямолинейных отрезков, тук Кук оси поверхностей параллельны плоскости проекций (в данном случае плоскости π2).

В результате нашего исследования мы:

Расширили свои представлении о взаимном расположении поверхностей в пространстве

Изучили возможные фигуры пересечения поверхностей в пространстве

Научились строить линии пересечения кривых поверхностей

Я считаю, что данная работа полезна ученикам, интересующимся математикой, и может быть использована на факультативных занятиях по геометрии.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Анисимов И. К. Конспекты лекций по начертательной геометрии. – Р. 1970.

Гильберт. Д. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.

Гордон В.О. Курс начертательной геометрии. – М.: Наука, 1988.

Фролов С. А. Начертательная геометрия: учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1983.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Взаимное пересечение поверхностей. Презентация на заданную тему содержит 32 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Взаимное пересечение поверхностей 1. Линия пересечения поверхностей в общем случае пространственная кривая, множество точек которой принадлежит обеим поверхностям. 2. Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии данной поверхности. 3. Чтобы точка принадлежала обеим заданным поверхностям, она должна быть точкой пересечения линий, принадлежащих поверхностям. 4. Линии пересекаются, если они принадлежат одной плоскости или поверхности.

Взаимное пересечение поверхностей Для определения общей точки двух поверхностей (Ω и ), необходимо ввести вспомогательную поверхность (Δ), пересекающую заданные поверхности по графически простым линиям (прямым и окружностям), которые проецируются также в виде графически простых линий.

Взаимное пересечение поверхностей Алгоритм решения задачи Проводят вспомогательную поверхность Δ. Строят линии пересечения (m и n) вспомогательной поверхности с заданными поверхностями Ω и Δ. Определяют точки пересечения M и N линий пересечения (m и n).

Взаимное пересечение поверхностей Порядок построения точек : Экстремальные точки (высшая, низшая, крайние левая и правая, ближайшая и наиболее удаленная). Очерковые, лежащие на линиях видимости. Промежуточные или случайные. Первые две группы точек обозначают на чертеже буквами, третью – цифрами. Полученные точки соединяют плавной линией с учетом видимости поверхностей.

Взаимное пересечение поверхностей В качестве вспомогательных секущих поверхностей используют плоскости (частного и общего положения) и сферы. Выбор посредника зависит от вида пересекающихся поверхностей, их взаимного положения, их положения относительно плоскостей проекций, поэтому решение задачи начинают с анализа вида и положения поверхностей.

Взаимное пересечение поверхностей Основные способы решения задач на взаимное пересечение поверхностей Способ вспомогательных секущих плоскостей (частного и общего положения). Способ вспомогательных сфер (концентрических и эксцентрических)

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих плоскостей) Способ вспомогательных секущих плоскостей применяют, если можно подобрать плоскость, пересекающую обе поверхности по графически простым линиям. Чаще всего в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают плоскости частного положения.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих плоскостей) Условие задачи: построить проекции линии пересечения двух поверхностей. Анализ: Обе поверхности (конус и тор) являются поверхностями вращения. Оси поверхностей - горизонтально проецирующие прямые, параллели лежат в горизонтальных плоскостях уровня. Вывод: в качестве поверхности посредника необходимо выбрать горизонтальную плоскость уровня.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих плоскостей) Решение задачи Определяют положение характерных точек. Главные (фронтальные) меридианы лежат в одной плоскости (фронтальной плоскости уровня) и пересекаются в точке А. Фронтальная проекция этой точки строится как точка пересечения фронтальных проекций меридианов, горизонтальная – по линии связи. Основания поверхностей лежат в одной горизонтальной плоскости уровня и пересекаются в точке В и точке, ей симметричной. Горизонтальные проекции этих точек строятся как точки пересечения горизонтальных проекций оснований, фронтальные – по линии связи.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих плоскостей) Решение задачи Для определения случайных точек 1. Проводят вспомогательную плоскость уровня Δ. 2. Строят линии пересечения (m и n) вспомогательной плоскости с заданными поверхностями (параллели). 3. Определяют точки пересечения 1 и 2 линий пересечения (параллелей m и n). 4. Для получения плавной кривой вводят несколько вспомогательных плоскостей.

Взаимное пересечение поверхностей Решение задачи Полученные точки соединяют плавной линией с учетом видимости поверхностей. Определяют взаимную видимость поверхностей.

Взаимное пересечение поверхностей Если какая-либо из поверхностей является проецирующей, то одна проекция линии пересечения определяется сразу (совпадает с проекцией поверхности), а вторая строится по принадлежности точки и линии поверхности.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих плоскостей) Одна из поверхностей – прямая призма

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Способ вспомогательных секущих сфер применяют, если обе поверхности являются поверхностями вращения и их оси пересекаются (способ концентрических сфер) ; если одна поверхность является поверхностью вращения, а вторая имеет параллельные между собой круговые сечения, центры которых лежат на одной линии, пересекающей ось поверхности вращения (способ эксцентрических сфер).

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Соосными поверхностями называют поверхности вращения, имеющих общую ось вращения. Соосные поверхности пересекаются по окружностям (параллелям), плоскости которых перпендикулярны оси вращения. Проекции этих окружностей на плоскость, параллельную оси вращения, будут прямыми линиями.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Любая прямая, проходящая через центр сферы, может быть принята за ее ось, поэтому сфера соосна любой поверхности вращения, если центр сферы лежит на оси этой поверхности.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Условия применения способа вспомогательных концентрических сфер 1. поверхности являются поверхностями вращения; 2. оси поверхностей i и j пересекаются; 3. поверхности имеют общую плоскость симметрии Г, параллельную одной из плоскостей проекций.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Условие задачи: построить проекции линии пересечения двух поверхностей. Анализ: Обе поверхности (конус и цилиндр) являются поверхностями вращения. Оси поверхностей пересекаются Оси поверхностей лежат во фронтальной плоскости уровня. Вывод: в качестве поверхности посредника необходимо выбрать сферу, центр которой лежит на пересечении осей поверхностей.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Решение задачи 1. Определяют проекцию центра концентрических сфер как точку пере-сечения проекций осей поверхностей вращения. Если одна поверхность – сфера, то проекцией центра концентрических сфер будет являться любая точка на оси второй поверхности.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Решение задачи 2. Определяют и обозначают буквами точки пересечения главных меридианов (характерные или опорные точки линии пересечения поверхностей)

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Решение задачи 3. Определяют радиусы максимальной и минимальной сфер: • радиус максимальной сферы Rmax равен расстоянию от проекции центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения главных меридианов.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Решение задачи 3. Определяют радиусы максимальной и минимальной сфер: • радиус минимальной сферы Rmin равен величине большего из перпендикуляров, опущенных из проекции центра сфер к очерковым образующим (главным меридианам) поверхностей. Сфера минимального радиуса касается одной поверхности (вписана в нее) и пересекает вторую.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Положение сферы минимального радиуса задает направление проекций линии пересечения поверхностей относительно проекций их осей. Ветви кривых располагаются по разные стороны от оси той поверхности, которой касается сфера минимального радиуса.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Сфера касается поверхности с осью j

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Решение задачи 4. Определяют и обозначают буквами точки пересечения линий m, n, q (параллелей), полученных при пересечении и касании сферой минимального радиуса заданных поверхностей.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Решение задачи 5. Проводят вспомогательные сферы радиусом R (Rmin

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Решение задачи 6. Определяют проекции точек пересечения линий, полученных при пересечении вспомогательных сфер с заданными поверхностями. Количество произвольных вспомогательных сфер должно быть достаточным для построения плавной кривой.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Решение задачи 7. Полученные проекции точек соединяют плавной линией с учетом видимости на фронтальной плоскости проекций.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Решение задачи 8. Строят горизонтальную проекцию линии пересечения поверхностей по условию принадлежности точки поверхности с учетом видимости.

Взаимное пересечение поверхностей (способ вспомогательных секущих сфер) Если одна из пересекающихся поверхностей – сфера, то центром концентрических сфер может быть любая точка, лежащая на оси второй поверхности.

Взаимное пересечение поверхностей (особый случай пересечения поверхностей) Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания этих поверхностей (теорема Монжа).

Читайте также: