Вычитание и сложение дробей с разными знаменателями реферат
Обновлено: 06.07.2024
Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, - вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.
Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями
Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:
В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 - 2 8 = 3 8 .
Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b - c b = a - c b .
Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.
Возьмем конкретные примеры.
Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .
Решение
Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .
Наши подсчеты можно записать так: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15
Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.
Найдите разность 37 12 - 15 12 .
Решение
Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12
Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .
Как найти разность дробей с разными знаменателями
Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:
Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.
Рассмотрим на примере, как это делается.
Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .
Решение
Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .
Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45
У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45
Краткая запись решения выглядит так: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45 .
Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.
Найдите разность 19 9 - 7 36 .
Решение
Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .
Считаем ответ: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36
Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ - 1 11 12 .
Краткая запись всего решения - 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .
Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число
Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.
Найдите разность 83 21 – 3 .
Решение
3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 - 3 = 20 21 .
Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.
Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .
Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 - 3 = 20 21 .
Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа
Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.
Найдите разность: 7 - 5 3 .
Решение
Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 - 5 3 = 5 1 3 .
Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.
Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.
Вычислите разность 1 065 - 13 62 .
Решение
Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 - 13 62 = ( 1064 + 1 ) - 13 62
Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 - 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .
Получается, что 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 .
Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .
Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:
1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6
Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.
Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.
Вычислите разность 644 - 73 5 .
Решение
Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.
Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 - 3 5 = ( 629 + 1 ) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5
Свойства вычитания при работе с дробями
Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.
Найдите разность 24 4 - 3 2 - 5 6 .
Решение
Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 - 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог - 3 11 12 .
Краткая запись всего решения:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.
Н айдите разность 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .
Решение
Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Завершим расчеты: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4
ГОСТ
Сравнение дробей
Сравнение дробей с разными знаменателями сводится к нахождению их общего знаменателя и сравнения числителей.
Алгоритм сравнения дробей с разными знаменателями:
- Свести дроби к общему знаменателю.
- Выполнить сравнение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Сравнить дроби $\frac$ и $\frac$.
Воспользуемся алгоритмом сравнения дробей с разными знаменателями:
Сведем данные дроби к общему знаменателю, которым будет НОК:
$НОК(14, 22)=2\cdot 7\cdot 11=154$.
Найдем дополнительные множители данных дробей:
$154\div 14=11$ – дополнительный множитель для дроби $\frac$;
$154\div 22=7$ – дополнительный множитель для дроби $\frac$.
Сведем дроби $\frac$ и $\frac$ к общему знаменателю:
Сравним полученные дроби:
если выполняется условие $a\cdot d \frac$.
Сложение дробей
Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями.
Алгоритм сложения дробей с разными знаменателями:
- Свести данные дроби к общему знаменателю (принято сводить к наименьшему общему знаменателю).
- Сложить полученные дроби, которые имеют одинаковые знаменатели.
Сложить обыкновенные дроби $\frac$ и $\frac$.
У данных дробей разные знаменатели, поэтому приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Найдем $НОК(12, 18)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=36$.
Дополнительным множителем дроби $\frac$ является число $36\div 12=3$, а для дроби $\frac$ – число $36\div 18=2$. Получим дроби с одинаковыми знаменателями:
Запишем краткое решение:
Готовые работы на аналогичную тему
Если в результате сложения дробей получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.
Вычитание дробей
Алгоритм вычитания дробей с разными знаменателями:
- Свести дроби к общему знаменателю (принято приводить к наименьшему общему знаменателю).
- Выполнить вычитание полученных дробей, которые имеют одинаковые знаменатели.
У данных дробей разные знаменатели, поэтому приведем их к наименьшему общему знаменателю:
$НОК(7, 13)=7\cdot 13=91$.
Дополнительными множителями для дробей будут числа $13$ и $7$ соответственно:
Если в результате вычитания дробей получают сократимую дробь или неправильную дробь, необходимо сократить дробь или выделить целую часть.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08 06 2021
Ирина Алексеевна Антоненко
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
Работаем по будням с 10:00 до 20:00 по Мск
- Методические указания
- Блог для фрилансеров
- Статьи о заработке онлайн
- Справочник рефератов
- Магазин готовых работ
- Вопрос - Ответ
- Партнерская программа
- Работа для репетиторов
- Работа для преподавателей
- Калькуляторы
- Сервис помощи студентам
- Психологическая помощь
- Последние статьи
Читать статью можно без ограничений. Однако для копирования и использования текста нужно зарегистрироваться в экосистеме Автор24. Это бесплатно.
На этом уроке мы закрепим представления о рациональных выражениях. Продолжим формировать представления о преобразовании рациональных выражений. Выведем правило сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями"
Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями выполняется аналогично сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, но предварительно нужно дроби привести к общему знаменателю.
Аналогичным образом выполняют вычитание рациональных дробей с разными знаменателями.
Пример 1. Найти сумму дробей.
Пример 2. Найти разность дробей.
Мы рассмотрели простейшие случаи на сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Но чаще всего приходится сначала дроби приводить к общему знаменателю, а затем уже выполнять сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
Алгоритм приведения рациональных дробей к общему знаменателю:
1. Разложить знаменатели каждой из дробей на множители.
2. Найти общий знаменатель дробей.
3. Для каждой из дробей найти дополнительный множитель.
4. Числитель дроби умножить на её дополнительный множитель.
5. Записать каждую дробь с числителем и общим знаменателем.
Пример 3. Найти сумму дробей.
Пример 4: Найдите разность дробей.
Алгоритм сложения (вычитания) рациональных дробей с разными знаменателями.
Для того чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:
1. Найти общий знаменатель дробей.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
4. По возможности упростить полученную дробь.
Задание: нужно преобразовать выражение и представьте его в виде дроби.
Для того чтобы привести рациональные дроби к общему знаменателю, надо:
1. Разложить знаменатели каждой из дробей на множители.
2. Найти общий знаменатель дробей.
3. Для каждой из дробей найти дополнительный множитель.
4. Числитель дроби умножить на её дополнительный множитель.
5. Записать каждую дробь с числителем и общим знаменателем.
Для того чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:
1. Найти общий знаменатель дробей.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
4. По возможности упростить полученную дробь.
При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.
Запомните!
Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.
В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:
Вычитание правильной дроби из единицы
Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.
Знаменатель вычитаемой дроби равен 7 , значит, единицу представляют как неправильную дробь
| 7 |
| 7 |
Вычитание правильной дроби из целого числа
Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа.
Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.
В примере единицу мы заменили неправильной дробью
| 7 |
| 7 |
Вычитание смешанных чисел
При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.
При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.
Первый случай вычитания смешанных чисел
У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем).
Второй случай вычитания смешанных чисел
У дробных частей разные знаменатели.
В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.
Третий случай вычитания смешанных чисел
Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.
Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.
| 18 |
| 18 |
Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правил вычитания смешанных чисел.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ 24_4_1nm.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
2 10 2 5 + 5 4 10 2 5 + 5 Проследите, в какой последовательности производятся записи при сложении дробей с разными знаменателями:
В данном классе я работаю 6-й месяц. В классе 25 человек, из них 6 человек с низким уровнем мотивации к обучению. Это позволяет мне осознанно подойти к вопросу отбора содержания материала урока и дифференциации учебного процесса.
Тип урока: комбинированный.
Задачи урока через планируемые результаты.
ЛИЧНОСТНЫЕ. Формировать у обучающихся положительное отношение к школе и учебной деятельности, интерес к изучаемому материалу. Формировать объективную самооценку и взаимооценку. Воспитывать уважительное отношение к одноклассникам.
ПРЕДМЕТНЫЕ. Знать и уметь выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей; повторить сравнение дробей, приведение дробей к общему знаменателю. Развивать умение сравнивать, наблюдать, делать выводы.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ.
Регулятивные . Обучающиеся учатся принимать и сохранять учебную задачу, соответствующую этапу обучения; понимать выделенные учителем ориентиры действия в учебном материале; адекватно воспринимать оценку одноклассниками своей работы.
Коммуникативные. Обучающиеся учатся договариваться, приходить к общему решению, использовать в общении правила вежливости. Обучающиеся получат возможность научиться формулировать собственное мнение, строить понятные для окружающих высказывания, задавать вопросы, адекватно использовать средства устного общения для решения учебных задач.
Познавательные. Обучающиеся учатся осуществлять поиск нужной информации в учебном пособии; понимать знаки, символы, уметь их применять; понимать заданный вопрос, в соответствии с ним строить ответ в устной форме.
Учитель создал ситуацию разрыва, связанную с бытом. Данный метод повышает интерес обучающихся к работе. Далее ребятам предложена вычислительное задание и заполнение таблицы, в которой зашифровано ключевое слово темы урока. Тема сформулирована. Затем ученики ставят перед собой задачи на урок. Ребята не боятся высказывать предположения, совместными усилиями выдвинуты задачи . Обучающиеся показали умение организовать свою деятельность, мобилизовать себя на восприятие и обработку новой информации.
На этом этапе урока формируем личностные, регулятивные, познавательные УУД.
II этап. Организация деятельности по выполнению учебных задач.
Этап открытия детьми новых знаний. Преобладала продуктивная деятельность.
1)Знакомство с темой обучающиеся выполнили самостоятельно, изучая пункт учебника. Самостоятельная работа включает учащихся в активную деятельность. Далее ребята успешно ответили на вопросы учителя, благодаря умению анализировать, выделять из текста главное, обобщать полученные знания.
2)Работа в группах по решению второй учебной задачи. Такая форма работы включает учеников в продуктивную творческую деятельность, позволяет не только перерабатывать информацию для получения необходимого результата, но и учит договариваться с людьми, согласуя с ними свои интересы и взгляды для того, чтобы сделать что-то сообща
На этом этапе урока формируем все виды УУД.
III этап. Самооценка, взаимооценка. Рефлексия.
На это этапе ребятам предложено оценить свою работу по нескольким критериям и вывести общую оценку. Оценка не всех учащихся была объективной (есть над чем работать).
Урок заканчивается рефлексией. Учащиеся формулируют собственное мнение и определяют степень успешности выполнения своей работы и работы класса в целом. Самостоятельность учащихся в подведении итогов урока позволяет сделать вывод о раскрытии темы.
На этом этапе урока формируем личностные, регулятивные, коммуникативные УУД
На уроке (за исключением трех человек) учащиеся активно работали на всех этапах урока, не стеснялись высказывать свои мысли. Все задания урока позволии работать над формированием УУД. Учебное время на уроке использовалось эффективно, запланированный объем урока выполнен. Интенсивность урока была оптимальной. Для каждого ученика была создана ситуация успеха, что также способствовало повышению мотивации и поддержанию интереса к учению. Учебный материал урока соответствовал принципу научности, доступности, и был посилен для учеников 5 класса. Учебная информация была привлекательна для детей, за счет чего повысилась возможность учеников в достижении поставленных задач. Я считаю, что на данном уроке цели, поставленные мною, были полностью достигнуты.!
Читайте также: