Вычисление тригонометрических неравенств реферат

Обновлено: 02.07.2024

Содержание проекта Цель. З адачи проекта. Актуальность выбранной темы. Тригонометрические неравенства и методы их решения. Алгоритм решения тригонометрических неравенств. Примеры решений тригонометрических неравенств. Итоги проекта.

Задачи Обобщить материал по данной теме. Систематизировать полученную информацию. Рассмотреть данную тему в ЕГЭ.

Тригонометрические неравенства Неравенство - это отношение, связывающее два числа или выражения посредством одного из знаков: (больше); ≥ ( больше или равно). Тригонометрическое неравенство – это неравенство, содержащее тригонометрические функции.

Тригонометрические неравенства Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида: sin x>a, sin xa, cos xa, tg xa, ctg x

Алгоритм решения тригонометрических неравенств На оси, соответствующей заданной тригонометрической функции, отметить данное числовое значение этой функции. Провести через отмеченную точку прямую, пересекающую единичную окружность. Выделить точки пересечения прямой и окружности с учетом строгого или нестрогого знака неравенства. Выделить дугу окружности, на которой расположены решения неравенства. Определить значения углов в начальной и конечной точках дуги окружности. Записать решение неравенства с учетом периодичности заданной тригонометрической функции.

Формулы решения тригонометрических неравенств sinx >a; x ( arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosx a; x ( arctg a + πn ; + πn ). tgx a; x ( πn ; arctg + πn ). ctgx

Графическое решение основных тригонометрическх неравенств sinx >a

Графическое решение основных тригонометрическх неравенств sinx

Графическое решение основных тригонометрическх неравенств cosx >a

Графическое решение основных тригонометрическх неравенств cosx

Графическое решение основных тригонометрическх неравенств tgx >a

Графическое решение основных тригонометрическх неравенств tgx

Графическое решение основных тригонометрическх неравенств ctgx >a

Графическое решение основных тригонометрическх неравенств ctgx

Способы решения тригонометрических неравенств Решение тригонометрических неравенств с помощью числовой окружности; Решение тригонометрических неравенств с помощью графика функции. :

Решение тригонометрических неравенств с помощью числовой окружности Пример 1: : Ответ:

Решение тригонометрических неравенств с помощью числовой окружности Пример 1: Ответ:

Решение тригонометрических неравенств с помощью графика функции Пример: Ответ:

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Ставропольский Государственный Университет

РЕФЕРАТ

работу выполнил:

IV курса, Физ-Мат Факультета,

отделения МИИТ, гр. ”Б”

Неботов Виталий Дмитриевич

Ставрополь 1997 г.

1. Вступительное слово. 3

2. Этапы “большого пути”. 3

3. Тригонометрические отношения. 3

4. Тригонометрические функции. 3

5. Тригонометрические уравнения. 3

6. Тригонометрические неравенства. 3

7. Способы решения тригонометрических неравенств. 4

8. В помощь начинающему . 5

10. Список использованной литературы. 6

Решение тригонометрических неравенств стоит в одном ряду с такими важными темами, как решение числовых неравенств и решение систем неравенств с одной переменной. Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки, на заре человечества, считали тригонометрию важнейшей из наук, ибо геометрия - царица математики, а тригонометрия - царица геометрии. Поэтому и мы, не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.

С чего же начинается обучение решению тригонометрических неравенств в школе? Естественно, с самих тригонометрических функций. Сначала даются сами отношения sin x, cos x, tg x и ctg x. Делается это на конкретных примерах рассматриваемых треугольников. Затем делается важный переход от синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике к этим же отношениям, но уже в произвольном угле. Sin и cos освобождаются от конкретной геометрической привязки и эти понятия становятся шире.

Следующим этапом введения понятий sin x, cos x, tg x и ctg x является рассмотрение функциональных зависимостей или попросту функций y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x соответственно. На этом этапе даются все основные свойства этих функций, рассматриваются области определения и значений, промежутки знакопостоянства, и главное - графики этих функций. Анализ функции нельзя считать полным, так как еще не усвоен и не применялся аппарат дифференцирования, но для решений тригонометрических неравенств почва уже подготовлена и ребята хорошо “вооружены” теоретическими знаниями.

Наконец последний подготовительный этап “большого пути” - решение тригонометрических уравнений. Здесь отрабатываются последние нюансы, ребенок учится оперировать сложными тригонометрическими конструкциями, но главное, именно сейчас даются основные тригонометрические тождества и производные от них. Помощь этого тригонометрического аппарата трудно переоценить. Знаниями полученными здесь и сейчас ученики смогут пользоваться всю оставшуюся жизнь. Мощь блока тригонометрических тождеств поистине потрясает, так как с его помощью управляться с громоздкими, “трехэтажными” тригонометрическими выражениями становится также просто, как и с алюминиевой вилкой.

И только теперь, хорошо освоив все предыдущие разделы ученики подходят к нашей теме, а именно решение тригонометрических неравенств. Естественно начинают решение таких неравенств с самых простейших: sin x > a, sin x a, cos x a, tg x 2 + ОУ 2 = R 2 . Таким образом, подставив синус и косинус получим: sin 2 x + cos 2 x = 1. Вот так мы и вышли на основное тригонометрическое тождество. Именно поэтому тригонометрический круг единичного радиуса.

Как я уже сказал, мы, с помощью тригонометрических тождеств, приводим неравенство к простейшему виду, а затем решаем его используя тригонометрический круг или график. Для успешного решения необходимо также знать следующее:

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Простейшие тригонометрические неравенства

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

где \vee – один из знаков ,\;\leq,\;\geq, a\in R.

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции

Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Чтобы решать тригометричечкие неравенства необходимо разбираться что такое тригометрический круг и хорошо в нем разбираться.

Тригонометрический круг — это просто единичная окружность с центром в начале координат

Давайте рассмотрим примеры решения простейших тригонометрических неравенств:

Решение неравенства при помощи графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

1.На координатной оси построить синусоиду y = sin x.

2.На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.

3.Отметить точки пересечения двух графиков.

4.Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — [ ]. Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства:

Рассмотрим способы решения неравенств с помощью окружности

1.Сначала стоит начертить единичную окружность.

2.Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.

3.Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).

4.После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.

5.Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Ознакомление с основными этапами решения тригонометрических неравенств. Рассмотрение и анализ процесса перехода от синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике. Исследование специфических особенностей схемы решения тригонометрических уравнений.

Рубрика	Математика
Вид	творческая работа
Язык	русский
Дата добавления	29.11.2016
Размер файла	15,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Как я уже сказала, мы, с помощью тригонометрических тождеств, приводим неравенство к простейшему виду, а затем решаем его используя тригонометрический круг или график. Для успешного решения необходимо также знать следующее:

О косинусе можно сказать следующее:

Схема решения тригонометрических уравнений. Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая: тригонометрический неравенство синус косинус

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения - преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип - не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага - замены переменных - превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Подобные документы

Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ материала по тригонометрии в различных учебниках. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.

дипломная работа [1,9 M], добавлен 06.05.2010

Элементарные тригонометрические уравнения и методы их решения. Введение вспомогательного аргумента. Схема решения тригонометрических уравнений. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений. Разложение на множители.

курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.12.2009

Углы и их измерение, тригонометрические функции острого угла. Свойства и знаки тригонометрических функций. Четные и нечетные функции. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств с помощью формул.

учебное пособие [876,9 K], добавлен 30.12.2009

История развития тригонометрии, характеристика ее основных понятий и формул. Общие вопросы, цели изучения и способы определения тригонометрических функций числового аргумента в школьном курсе. Рекомендации и методы решения тригонометрических уравнений.

курсовая работа [257,7 K], добавлен 19.10.2011

Частные случаи производной логарифмической функции. Производная показательной функции, экспоненты, степенной, тригонометрических функций. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Производные обратных тригонометрических функций.

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Ставропольский Государственный Университет

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

работу выполнил:

IV курса, Физ-Мат Факультета,

отделения МИИТ, гр. ”Б”

Неботов Виталий Дмитриевич

Ставрополь 1997 г.

СОДЕРЖАНИЕ :

1. Вступительное слово. 3

2. Этапы “большого пути”. 3

3. Тригонометрические отношения. 3

4. Тригонометрические функции. 3

5. Тригонометрические уравнения. 3

6. Тригонометрические неравенства. 3

7. Способы решения тригонометрических неравенств. 4

8. В помощь начинающему . 5

10. Список использованной литературы. 6 Решение тригонометрических неравенств стоит в одном ряду с такими важными темами, как решение числовых неравенств и решение систем неравенств с одной переменной. Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки, на заре человечества, считали тригонометрию важнейшей из наук, ибо геометрия - царица математики, а тригонометрия - царица геометрии. Поэтому и мы, не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.

Вычисление тригонометрических неравенств реферат

Подобные документы

Похожие работы