Возрастание и убывание функций реферат
Обновлено: 02.07.2024
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Процесс вычисления производной называют дифференцированием . Обратный процесс – интегрированием .
Термин "граница" и соответствующий символ lim впервые было введено английским математиком и механиком Исааком Ньютоном . Строгое определение предела и непрерывности функции сформулировал в 1823 г. французский математик Огюстен Луи Коши . Открытию походно и основ дифференциального исчисления предшествовали работы французского математика и юриста Пьера Ферма , который в 1629 году предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведение касательных к произвольным кривых, фактически опирались на применение производных. Этому способствовали также работы Рене Декарта ,
разработавший метод координат и основы аналитической геометрии. Лишь в 1666 году Ньютон и несколько позже Лейбниц независимо друг от одного построили теорию дифференциального исчисления. Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи о мгновенную скорость, а Лейбниц, - рассматривая геометрическую задачу о проведении касательной к кривой. Ньютон и Лейбниц исследовали проблему максимумов и минимумов функций. В частности, Лейбниц сформулировал теорему о достаточное условие роста и убывания функции на отрезке. Эйлер в работе "Дифференциальное исчисление"различал локальный экстремум и крупнейшие и самые маленькие значение функции на определенном отрезке. Обозначения производной у ' и f' (х) ввел французский математик Жозеф Луи Лагранж .
Область определения функции (ООФ) D ( f )— множество, на котором задаётся функция.
Область значений функции E ( f )— множество, которое получается в результате применения функции.
Нечётные и чётные функции — функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.
Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного ( y (- x )=- y ( x ) ) .
Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного ( y (- x )= y ( x ) ).
1 Четная функция 2 Нечетная функция 3 Ни четная, ни нечетная функция
Периодичность
Функции y = sin α , y = cos α – периодические с периодом 2 , а функции
y
Периодичность
Нули функции
= tg α , y = ctg α – с периодом π.
Нули функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума . Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума ( min ), а если максимум — точкой максимума ( max ) .
непрерывная функция разрывная функция
Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда отрицательное, либо всегда положительное.
возрастание убывание
Асимптота — прямая линия к которой неограниченно приближается график функции по мере удаления его от начала координат в бесконечность. График может иметь неограниченное количество асимптот.
Вертикальная асимптота — прямая вида x = a при условии существования предела
Горизонтальная асимптота — прямая вида y = a при условии
Наклонная асимптота — прямая вида y = kx + b при условии
существования пределов
вертикальная горизонтальная наклонная
Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.
Вогнутая функция — функция, у которой надграфик является вогнутым множеством.
Точка перегиба плоской кривой — это точка кривой, в которой ее кривизна меняет знак. Для графика функции, это эквивалентно тому, что знак меняет вторая производная функции.
Исследование функции y =
Область определения функции
Данная функция является многочленом, поэтому определена на всей числовой оси:
Область допустимых значений
Интервалы непрерывности, точки разрыва функции и их классификация.
Т.к. данная функция является многочленом, т.е. комбинацией элементарных функций, то она непрерывна на всей области своего определения , точек разрыва и вертикальных асимптот не имеет.
Нули функции (точки пересечения графика с осями координат)
Одна точка пересечения
Две точки пересечения
Поведение функции на бесконечности. Асимптоты графика функции
а) вертикальные асимптоты х=а
Т.к. данная функция определена на всей числовой оси и не имеет точек разрыва, график функции вертикальных асимптот не имеет.
б ) горизонтальные асимптоты у=в
в) наклонная асимптота y = kx + b
Четность, нечетность функции
Условия четности и нечетности не выполнено, следовательно функция является ни четной ни нечетной.
Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума
Производная y ’ является многочленом, поэтому определена на всей числовой оси
К ритическая точка разбивает область определения на интервалы
В каждом из которых производная y ’ сохраняет знак, а функция возрастает или убывает.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело с более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.
Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.
Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.
Возрастание и убывание функции
Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами.
Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа.
Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.).
Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.
Рассмотрим, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. Исходя из определения монотонно убывающей и возрастающей функции, можно сформулировать теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.
Теорема 1.1 . Если функция y = f ( x ) , дифференцируемая на интервале ( a , b ) , монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке
( x ) >0; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала ( x )
Доказательство. Пусть функция y = f ( x ) монотонно возрастает на ( a , b ) , значит, для любого достаточно малого > 0 выполняется неравенство:
f ( x - ) f ( x ) f ( x + ) (рис. 1.1).
Если > 0, то > 0, если
В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть ( x )>0 , что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.
Теорема 1.2 . Если функция y = f ( x ) , непрерывна на отрезке [ a , b ] и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того, ( x ) >0 для любого x ϵ ( a , b ) , то данная функция монотонно возрастает на ( a , b ) ; если
( x ) для любого xϵ ( a , b ), то данная функция монотонно убывает на ( a , b ) .
Доказательство. Возьмем ϵ ( a , b ) и ϵ ( a , b ) , причем . По теореме Лагранжа
( c ) = .
Но ( c )>0 и > 0, значит, ( > 0, то есть
( . Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Экстремумы функции
При исследовании поведения функции особую роль играют точки, которые отделяют друг от друга интервалы монотонного возрастания от интервалов ее монотонного убывания.
Определение 2.1 . Точка называется точкой максимума функции
y = f ( x ) , если для любого, сколь угодно малого , ( , а точка называется точкой минимума, если ( > 0.
Точки минимума и максимума имеют общее название точек экстремума. У кусочно-монотонной функции таких точек конечное число на конечном интервале (рис. 2.1).
Теорема 2.1 (необходимое условие существования экстремума) . Если дифференцируемая на интервале ( a , b ) функция имеет в точке из этого интервала максимум, то ее производная в этой точке равна нулю. То же самое можно сказать и о точке минимума .
Доказательство этой теоремы следует из теоремы Ролля, в которой было показано, что в точках минимума или максимума = 0, и касательная, проведенная к графику функции в этих точках, параллельна оси OX .
Из теоремы 2.1 вытекает, что если функция y = f ( x ) имеет производную во всех точках, то она может достигать экстремума в тех точках, где = 0.
Однако данное условие не является достаточным, так как существуют функции, у которых указанное условие выполняется, но экстремума нет. Например, у функции y = в точке x = 0 производная равна нулю, однако экстремума в этой точке нет. Кроме того, экстремум может быть в тех точках, где производная не существует. Например, у функции y = | x | есть минимум в точке x = 0 , хотя производная в этой точке не существует.
Определение 2.2 . Точки, в которых производная функции обращается в ноль или терпит разрыв, называются критическими точками данной функции .
Следовательно, теоремы 2.1 недостаточно для определения экстремальных точек.
Теорема 2.2 (достаточное условие существования экстремума) . Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на интервале ( a , b ) , который содержит ее критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, самой точки . Тогда, если при переходе этой точки слева направо знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума, и, наоборот, с минуса на плюс – точка минимума .
Доказательство. Если производная функции меняет свой знак при переходе точки слева направо с плюса на минус, то функция переходит от возрастания к убыванию, то есть достигает в точке своего максимума и наоборот.
Из вышесказанного следует схема исследования функции на экстремум:
1) находят область определения функции;
2) вычисляют производную;
3) находят критические точки;
4) по изменению знака первой производной определяют их характер.
Не следует путать задачу исследования функции на экстремум с задачей определения минимального и максимального значения функции на отрезке. Во втором случае необходимо найти не только экстремальные точки на отрезке, но и сравнить их со значением функции на его концах.
Интервалы выпуклости и вогнутости функции
Еще одной характеристикой графика функции, которую можно определять с помощью производной, является его выпуклость или вогнутость.
Определение 3.1 . Функция y = f ( x ) называется выпуклой на промежутке ( a , b ) , если ее график расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке, и наоборот, называется вогнутой, если ее график окажется выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке .
Докажем теорему, позволяющую определять интервалы выпуклости и вогнутости функции.
Теорема 3.1 . Если во всех точках интервала ( a , b ) вторая производная функции ( x ) непрерывна и отрицательна, то функция y = f ( x ) выпукла и наоборот, если вторая производная непрерывна и положительна, то функция вогнута .
Доказательство проведем для интервала выпуклости функции. Возьмем произвольную точку ϵ ( a , b ) и проведем в этой точке касательную к графику функции y = f ( x ) (рис. 3.1).
Теорема будет доказана, если будет показано, что все точки кривой на промежутке ( a , b ) лежат под этой касательной. Иначе говоря, необходимо доказать, что для одних и тех же значений x ординаты кривой y = f ( x ) меньше, чем ординаты касательной, проведенной к ней в точке .
Для определенности обозначим уравнение кривой: = f ( x ) , а уравнение касательной к ней в точке :
- f ( ) = ( )( x - )
= f ( ) + ( )( x - ) .
Составим разность и :
- = f(x) – f( ) - ( )(x- ).
Применим к разности f ( x ) – f ( ) теорему о среднем Лагранжа:
- = ( )( x - ) - ( )( x - ) = ( x - )[ ( ) - ( )] ,
где ϵ ( , x ).
Применим теперь теорему Лагранжа к выражению в квадратных скобках:
- = ( )( - )( x - ) , где ϵ ( , ).
Как видно из рисунка, x > , тогда x - > 0 и - > 0 . Кроме того, по условию теоремы, ( )
Перемножая эти три множителя, получим, что , что и требовалось доказать.
Определение 3.2 . Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба .
Из определения 3.1 следует, что в данной точке касательная пересекает кривую, то есть с одной стороны кривая расположена ниже касательной, а с другой – выше.
Теорема 3.2 . Если в точке вторая производная функции
y = f ( x ) равна нулю или не существует, а при переходе через точку знак второй производной меняется на противоположный, то данная точка является точкой перегиба .
Доказательство данной теоремы следует из того, что знаки ( x ) по разные стороны от точки различны. Значит, с одной стороны от точки функция выпукла, а с другой – вогнута. В этом случае, согласно определению 3.2, точка является точкой перегиба.
Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум.
4. Асимптоты функции
В предыдущих пунктах были рассмотрены методы исследования поведения функции с помощью производной. Однако среди вопросов, касающихся полного исследования функции, есть и такие, которые с производной не связаны.
Так, например, необходимо знать, как ведет себя функция при бесконечном удалении точки ее графика от начала координат. Такая проблема может возникнуть в двух случаях: когда аргумент функции уходит на бесконечность и когда при разрыве второго рода в конечной точке уходит на бесконечность сама функция. В обоих этих случаях может возникнуть ситуация, когда функция будет стремиться к некоторой прямой, называемой ее асимптотой.
Определение . Асимптотой графика функции y = f ( x ) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат .
Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные.
К вертикальным асимптотам относятся прямые линии x = , которые обладают тем свойством, что график функции в их окрестности уходит на бесконечность, то есть, выполняется условие: .
Очевидно, что здесь удовлетворяется требование указанного определения: расстояние от графика кривой до прямой x = стремится к нулю, а сама кривая при этом уходит на бесконечность. Итак, в точках разрыва второго рода функции имеют вертикальные асимптоты, например, y = в точке x = 0 . Следовательно, определение вертикальных асимптот функции совпадает с нахождением точек разрыва второго рода.
Наклонные асимптоты описываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть y = kx + b . Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа k и b .
Итак, пусть кривая = f ( x ) имеет наклонную асимптоту, то есть при x точки кривой сколь угодно близко подходят к прямой = kx + b (рис. 4.1). Пусть M ( x , y ) - точка, расположенная на кривой. Ее расстояние от асимптоты будет характеризоваться длиной перпендикуляра | MN | .
Но | MN | вычисляется довольно сложно, гораздо проще найти | MN |=| | .
Из треугольника MNP следует, что
| MN |=| MP | cos ,
так как PMN = .
Но выше было сказано, что
=| |=| f ( ) - ( kx + b ) |,
откуда следует, что
Вынесем x в данном выражении за скобки:
( x | – k – | )=0 .
Так как по условию 0, то | – k – | =0 .
Здесь 0 , следовательно, | – k | =0 , откуда получаем:
Зная k , рассмотрим снова предел: |( f ( x ) – kx )- b | =0 . Он выполняется лишь при условии, что b = [ f ( x ) – kx ].
Таким образом, найдены k и b , а с ними и уравнение наклонной асимптоты. Если k = 0 , то получаем частный случай горизонтальной асимптоты
y = b . При невозможности найти хотя бы один предел (при вычислении k или b ) делается вывод, что наклонной асимптоты нет.
Аналогично проводится исследование и при x .
5. Общая схема исследования функций
На основании приведенных результатов можно провести полное исследование функции с качественным построением ее графика. План этого исследования следующий:
1) находят область определения функции;
2) определяют точки разрывов функции и их характер;
3) находят корни функции;
4) определяют четность или нечетность функции;
5) проверяют функцию на периодичность;
6) вычисляют производную функции, находят ее критические точки, находят интервалы монотонности и экстремумы;
7) вычисляют вторую производную функции и по ней определяют интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;
8) находят асимптоты функции;
9) по полученным данным строят качественный график исследуемой функции.
Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.
Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.
Материал, связанный с построением графиков функций, в средней школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков не редко вызывают затруднение у поступающих. Основываясь на этом факте, эта тема является необходимой для подробного рассмотрения.
Основные условия возрастания функции на заданном отрезке. Теорема о достаточном условии убывания функции, ее геометрическая интерпретация. Порядок нахождения интервалов монотонности. Анализ взаимосвязи между значением аргумента и значением функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | презентация |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.09.2013 |
| Размер файла | 95,2 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Математическое представление, условия возрастания и убывания функции y=f(x); характеристика ее основных свойств - четности, монотонности, ограниченности и периодичности. Ознакомление с аналитическим, графическим и табличным способами задания функции.
презентация [108,2 K], добавлен 21.09.2013
Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015
Конечное или счетное множество как совокупность возможных значений дискретной случайной величины. Анализ закона распределения функции одного случайного аргумента. Характеристика условий, от которых зависит монотонное возрастание и убывание функции.
презентация [443,3 K], добавлен 24.04.2019
Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009
Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015
Основные свойства непрерывной функции. Теоремы о корне, промежуточном значении и об ограниченности непрерывной функции, их доказательство. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума. Графическое представление корней уравнения.
лекция [497,0 K], добавлен 13.02.2009
Расчет производной функции. Раскрытие неопределенности и поиск пределов. Проведение полного исследования функции и построение ее графика. Поиск интервалов возрастания, убывания и экстремумов. Решение дифференциальных уравнений. Расчет вероятности события.
ГОСТ
Экстремумы функции
Точки $x_0$ называются точками экстремума функции, если они являются точками максимума и минимума для функции $f(x)$.
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.
Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.
$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:
1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;
2) $f'\left(x_0\right)=0$ или не существует.
Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.
Необходимое условие экстремума
Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо $f'\left(x_0\right)=0$, либо производная в точке $x_0$ не существует.
Достаточное условие экстремума
Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:
1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f'\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f'\left(x\right)
2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f'\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.
3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f'\left(x\right) >0$ или производная $f'\left(x\right)
Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.
Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов
Примеры экстремумов (Рис. 2).
Рисунок 2. Примеры точек экстремумов
Готовые работы на аналогичную тему
Правило исследования функции на экстремум
2) Найти производную $f'(x)$;
3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f'\left(x\right)=0$;
4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.
Возрастание и убывание функции
Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.
Исследование функции на возрастание и убывание
Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.
Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:
1) Найти область определения функции $f(x)$;
2) Найти производную $f'(x)$;
3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f'\left(x\right)=0$;
4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать вывод: на промежутках, где $f'\left(x\right)0$ функция возрастает.
Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов
Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)=^3-15x^2+36x+1$
Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.
1) Область определения - все действительные числа;
4) $f'(x)$ существует во всех точках области определения;
5) Координатная прямая:
6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом промежутке:
\[f'\left(x\right) >0,\ при\ \left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )\] \[f'\left(x\right)7) Изобразим все на одном рисунке:
Функция возрастает, при $\left(-\infty ,2\right)\ (3,+\infty )$, функция убывает, при $\left(2,3\right)$.
Читайте также: