Вклад российских ученых в теорию вероятностей реферат

Обновлено: 02.07.2024

Презентация на тему: " Вклад отечественных ученых в развитие теории вероятности." — Транскрипт:

1 Вклад отечественных ученых в развитие теории вероятности

2 Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений : случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

3 Андрей Николаевич Колмогоров (12 (25) апреля 1903, Тамбов - 20 октября 1987, Москва ) - выдающийся советский математик, доктор физико - математических наук, профессор Московского Государственного Университета (1931), академик Академии Наук СССР (1939). Колмогоров - один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений.

4 Первые публикации Колмогорова были посвящены проблемам дескриптивной и метрической теории функций. Наиболее ранняя из них появилась в 1923 году. Обсуждавшиеся в середине двадцатых годов повсюду, в том числе в Москве, вопросы оснований математического анализа и тесно с ними связанные исследования по математической логике привлекли внимание Колмогорова почти в самом начале его творчества. Он принял участие в дискуссиях между двумя основными противостоявшими тогда методологическими школами – формально - аксиоматической ( Д. Гильберт ) и интуиционистской ( Л. Э. Брауэр и Г. Вейль ). При этом он получил совершенно неожиданный первоклассный результат, доказав в 1925 г., что все известные предложения классической формальной логики при определённой интерпретации переходят в предложения интуиционистской логики. Глубокий интерес к философии математики Колмогоров сохранил навсегда.

5 толчок, который вызвал дополнительный интерес к предельным теоремам теории вероятностей, была статистическая физика, начала которой были построены в середине 19- го века. Первый общий результат в этом направлении был сформулирован в 1887 г. Чебышевым. Для доказательства этого предложения Чебышевым был разработан весьма сильный метод, получивший название метода моментов и являющийся одним из крупнейших достижений науки того времени. Однако, в формулировке теоремы и ее доказательстве был допущен ряд промахов, которые сразу же взялся исправлять ученик Чебышева А. А. Марков. Им была строго доказана несколько исправленная теорема Чебышева. Ляпунов на протяжении 1900–1901 гг. обобщил полученные результаты.

6 ЧЕБЫШЕВ ( произносится Чебышёв ) Пафнутий Львович ( ), математик, академик Петербургской АН Андрей Андреевич Марков - русский математик, академик, внёсший большой вклад в теорию вероятностей, математический анализ и теорию чисел. Александр Михайлович Ляпунов русский математик и механик, академик Петербургской Академии Наук (1901; член - корреспондент 1900). Ученик П. Л. Чебышева.

7 1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, Ежова Л. Н. Теория вероятностей и математическая статистика : Основы математики для экономистов. Вып. 9: Учеб. Пособие. - Иркутск : Изд - во ИГЭА, Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1991.

В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических процессов без использования методов, опирающихся на теорию вероятностей. При принятии решений в области бизнеса, финансов, менеджмента основой корректности и, в конечном счете, успеха является правильный учет и анализ больших объемов статистической информации, а также грамотная оценка вероятностей происхождения тех или иных событий. Теоретической основой существующих специальных приемов и методов решения задач экономики являются теория вероятностей и математическая статистика.

В данной работе мы осветим колоссальный вклад выдающегося русского математика Андрея Николаевича Колмогорова в развитие теории вероятностей.

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Яков Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П.Л. Чебышёв, А.А. Марков и А.М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Андрей Николаевич Колмогоров (12 (25) апреля 1903, Тамбов – 20 октября 1987, Москва) – выдающийся советский математик, доктор физико-математических наук, профессор Московского Государственного Университета (1931), академик Академии Наук СССР (1939). Колмогоров – один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений.

2.1 Ранние годы

В семь лет Колмогорова определили в частную гимназию. Она была организована кружком московской прогрессивной интеллигенции и всё время находилась под угрозой закрытия.

2.2 Университет

Когда в 1920 г. Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Влечёт его на математическое отделение университета, но есть и сомнение: здесь чистая наука, а техника – дело, пожалуй, более серьёзное. Вот, допустим, металлургический факультет Менделеевского института! Настоящее мужское дело, кроме того, перспективное. Андрей решает поступать и туда и сюда. Но вскоре ему становится ясно, что чистая наука тоже очень актуальна, и он делает выбор в её пользу.

Со временем отношение Колмогорова к Лузину поменялось. Под влиянием Павла Сергеевича Александрова, также бывшего ученика Лузина, он принял участие в политическом преследовании их общего учителя, так называемом деле Лузина, которое едва не закончилось репрессиями против Лузина. С самим Александровым Колмогоров был связан дружескими узами до конца жизни.

Первые публикации Колмогорова были посвящены проблемам дескриптивной и метрической теории функций. Наиболее ранняя из них появилась в 1923 году. Обсуждавшиеся в середине двадцатых годов повсюду, в том числе в Москве, вопросы оснований математического анализа и тесно с ними связанные исследования по математической логике привлекли внимание Колмогорова почти в самом начале его творчества. Он принял участие в дискуссиях между двумя основными противостоявшими тогда методологическими школами – формально-аксиоматической (Д. Гильберт) и интуиционистской (Л.Э. Брауэр и Г. Вейль). При этом он получил совершенно неожиданный первоклассный результат, доказав в 1925 г., что все известные предложения классической формальной логики при определённой интерпретации переходят в предложения интуиционистской логики. Глубокий интерес к философии математики Колмогоров сохранил навсегда.

Особое значение для приложения математических методов к естествознанию и практическим наукам имел закон больших чисел. Разыскать необходимые и достаточные условия, при которых он имеет место, – вот в чём заключался искомый результат. Крупнейшие математики многих стран на протяжении десятилетий безуспешно старались его получить. В 1926 году эти условия были получены аспирантом Колмогоровым.

2.3 Послевоенная работа

Круг жизненных интересов Андрея Николаевича не замыкался чистой математикой, объединению отдельных разделов которой в одно целое он посвятил свою жизнь. Его увлекали и философские проблемы (например, он сформулировал новый гносеологический принцип – Гносеологический принцип А.Н. Колмогорова), и история науки, и живопись, и литература, и музыка.

Академик Колмогоров – почётный член многих иностранных академий и научных обществ. В марте 1963 года учёный был удостоен международной премии Бальцана (этой премией он был награждён вместе с композитором Хиндемитом, биологом Фришем, историком Моррисоном и главой Римской католической церкви Папой Иоанном XXIII). В том же году Андрею Николаевичу было присвоено звание Героя Социалистического Труда. В 1965 году ему присуждена Ленинская премия (совместно с В.И. Арнольдом). В последние годы Колмогоров заведовал кафедрой математической логики.

Колмогоров скончался 20 октября 1987 г. в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977.

2. Ежова Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Основы математики для экономистов. Вып. 9: Учеб. Пособие. – Иркутск: Изд-во ИГЭА, 2000.

3. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.

Кристиан Гюйгенс узнал о переписке между Блезом Паскалем и Пьером Ферма, вызванной рыцарем Де Мере , поднял дискуссию об определении вероятности выигрыша в игре и опубликовал первую книгу о вероятности: De Ratiociniis in Ludo Aleae, трактат по азартным играм. Концепция равновероятности была принята как интуитивная, и было принято, что вероятность получения события равна частному между

С самого начала основная трудность в том, чтобы рассматривать вероятность как раздел математики, заключалась в разработке достаточно точной теории, чтобы ее можно было принять как форму математики. В начале 20 века русский математик Андрей Колмогоров аксиоматически определил и заложил основы современной теории вероятностей, которая сегодня является частью более широкой теории, такой как теория измерения. Необходимо более подробно рассмотреть значимость российских ученых в данном вопросе.

Целью данной работы является изучение вклада отечественных ученых в развитие теории вероятностей и математической статистики

Вклад отечественных ученых в развитие теории вероятностей и математической статистики

Андрей Николаевич Колмогоров — советский математик, один из известных ученых XX века, внесших значимый вклад в развитие науки. А.Н. Колмогоров являлся одним из основоположников современной теории вероятностей, которым были получены фундаментальные результаты во многих смежных областях — топология, теория информации, геометрия, математическая логика и прочее.

Андрей Николаевич считал именно теорию вероятностей главной своей специальностью. При этом в математике он занимался исследованиями в самых различных областях, число которых составляет около двадцати.

Элементарная теория вероятностей А.Н. Колмогорова — эта отдельная часть теории вероятностей, которая подразумевает в своей основе конечное число событий. Суть заключается в следующем: после того как будут обозначены наименования изучаемых объектов и определены их основные отношениям, а также аксиомы, которым данные отношения подчиняются, все дальнейшее изучение должно строиться исключительно лишь на этих аксиомах, не используя в качестве базы типичное значение этих объектов и их взаимоотношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть сточки зрения данного автора может быть проведена различными способами, что распространяется как на конечный выбор аксиом, так и на выбор ключевых понятий и соотношений. Как утверждает А.Н. Колмогоров, если выбирать в качестве цели простоту системы аксиом и построения теории, то следует делать выбор в пользу наиболее целесообразного варианта аксиоматизирование понятия случайного события и его вероятности.

Выдвинутая Пафнутием Львовичем Чебешевым теорема предполагает в своей основе следующие тезисы: в том случае, если дисперсии попарно независимых случайных величин не превосходят положительное число, тт шанс того, что абсолютное отклонение средней арифметической таких величин от средней арифметической их математических ожиданий меньше какого-нибудь рассматриваемого числа, с возрастанием количества случайных величин становится максимально близким к единице.

Согласно сохранившимся данным, исследования Чебышева по теории чисел в максимально короткий срок выдвинули молодого российского ученого в число первых светил науки Европы. Вторым направлением работы, прославившим Чебышева являются исследования, в основе которых лежали различные аспекты теории вероятности. П.Л. Чебышев предложил достаточно большое количество интересных с точки зрения развития науки результатов. Одной из самых знаменитых работ является неравенство Чебышева, которое дает возможность оценивать отклонение частоты появления положительного исхода в эксперименте от теоретической вероятности этого события (здесь предполагается замена аргумент x по формуле x = cos t).

Особый интерес представляет научная школа, которая была создана данным автором. При этом важно подчеркнуть, что П.Л.Чебышев продолжал обучать своих последователей и после окончании ими обучения в университете, поддерживая их стремления в научной сфере деятельности. Несколько позже (20-е – 30-е годы 19 века) в России была создана знаменитая Петербургская математическая школа, результатам многолетней работы стала разработка нескольких концепций теории вероятностей. Благодаря работам многочисленных ученых данное направление было поставлена на прочную логическую и математическую основу, приобретя черты и сделана эффективного и четкого метода познания.

Неравенство Чебышева описывает взаимосвязь меры и интеграла Лебега. Наряду с этим, в теории вероятности существуют неравенство Маркова. Разница заключается в том, что с точки зрения Чебышева для доказательства используется вложение пространства в слабое пространство. Иными словами, согласно концепции Чебышева, в теории вероятности случайная величина приобретает такое значение по своим характеристикам, которое приближено к среднему. Если рассматривать данный вопрос более подробно, то здесь дается оценка вероятности того, что случайная величина приобретет такое значение, которое по своим характеристикам степени отличается от средних показателей. Например, случайная величина дисперсии отклоняется более чем на два стандартных отклонения. Вероятность при этом составляет менее 25%. Если же случайная величина отклоняется от среднестатистических результатов на три стандартных отклонения, то эта же вероятность составляет уже менее 11%.

Данный автор продолжил работать над материалом своего учителя П.Л. Чебышева. Но есть важный момент, о котором необходимо упомянуть: именно А.А. Марков добавил новый объект исследования. Речь здесь идет о последовательности зависимых случайных величин, которое несколько позднее получили название марковских цепей. Данным термином принято обозначать последовательность случайных величин, для которых вероятность появления того или иного значения напрямую зависит лишь от того, какое именно значение эта величина приняла на этом шагу. При этом результат не зависит от значений величины на 1-м, 2-м, (k - 1)-м шагах.

Александр Михайлович Ляпунов — автор центральной предельной теоремы теории вероятностей. На его счету есть и ряд других исследований в таких научных областях, как математическая статистика и механика.

Главным направлением исследований А.М. Ляпунова являлась центральная предельная теорема. Разработанная данным автором концепция дает объяснение широкому распространению нормального закона распределения и поясняет логику механизм его формирования. Теорема дает возможность утверждать, что во всех случаях, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения данной случайной величины представляет собой практически нормальный закон.

Заключение

Разобрав влияние отечественных ученых на развитие теории вероятности и статистики, в заключение необходимо заметить, что вероятность и статистика отвечают за изучение случайностей с точки зрения математики:

1. Статистика предлагает методы и приемы, которые позволяют понимать данные из моделей.

2. Вероятность предлагает модели случайных явлений, то есть те, которые можно предсказать с уверенностью, и изучает их логические последствия.

Таким образом, исчисление вероятностей является математической теорией, а статистика - прикладной наукой, в которой понятию вероятности необходимо придать конкретное содержание.

Когда речь идет о статистике, обычно подразумевается набор числовых данных, представленных упорядоченным и систематическим образом. Эта идея возникла из-за влияния окружающей среды, поскольку в настоящее время практически невозможно игнорировать средства связи, газеты, радио, телевидение и т. Д. Они ежедневно обращаются за какой-либо статистической информацией.

Только когда речь заходит про что-то более конкретное, такое как область исследований социальных наук: медицина, биология, психология, становится ясно, что статистика - это не только что-то другое, но и что она становится единственным инструментом, который сегодня позволяет получить результаты и, следовательно, преимущества в любом типе исследования, чьи движения и отношения из-за их внутренней изменчивости не могут быть рассмотрены с точки зрения детерминированных законов.

Статистика имеет дело с методами и процедурами сбора, классификации, обобщения, поиска закономерностей и анализа данных (описательная статистика) , если изменчивость и неопределенность являются внутренней причиной того же самого; а также делать на их основе выводы, чтобы помочь в принятии решений и, при необходимости, формулировать прогнозы ( логическая статистика) .

Список литературы

1. Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979. — 256 с.

2. Григорьян А. Т., Ковалёв Б. Д. Даниил Бернулли, 1700—1782. — М.: Наука, 1981. — 320 с.

3. Гродзенский С. Я. Андрей Андреевич Марков, 1856—1922. — М.: Наука, 1987

4. История математики. Под редакцией Юшкевича А.П. в трёх томах. Том 3 Математика XVIII столетия. М.: Наука, 1972.

5. Нагорный Н. М., Шанин Н. А. Андрей Андреевич Марков (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. — 1964. — Т. 19, вып. 3 (117).

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Презентация по теме
Вклад отечественных ученых в развитие теории вероятности

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

А.Н.Колмогоров
Андрей Николаевич Колмогоров (12 (25) апреля 1903, Тамбов - 20 октября 1987, Москва) - выдающийся советский математик, доктор физико-математических наук, профессор Московского Государственного Университета (1931), академик Академии Наук СССР (1939). Колмогоров - один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений.

Вклад Колмогорова в теорию вероятностей
Первые публикации Колмогорова были посвящены проблемам дескриптивной и метрической теории функций. Наиболее ранняя из них появилась в 1923 году. Обсуждавшиеся в середине двадцатых годов повсюду, в том числе в Москве, вопросы оснований математического анализа и тесно с ними связанные исследования по математической логике привлекли внимание Колмогорова почти в самом начале его творчества. Он принял участие в дискуссиях между двумя основными противостоявшими тогда методологическими школами – формально-аксиоматической (Д. Гильберт) и интуиционистской (Л.Э. Брауэр и Г. Вейль). При этом он получил совершенно неожиданный первоклассный результат, доказав в 1925 г., что все известные предложения классической формальной логики при определённой интерпретации переходят в предложения интуиционистской логики. Глубокий интерес к философии математики Колмогоров сохранил навсегда.

Чебышев Марков Ляпунов
толчок, который вызвал дополнительный интерес к предельным теоремам теории вероятностей, была статистическая физика, начала которой были построены в середине 19-го века. Первый общий результат в этом направлении был сформулирован в 1887 г. Чебышевым. Для доказательства этого предложения Чебышевым был разработан весьма сильный метод, получивший название метода моментов и являющийся одним из крупнейших достижений науки того времени. Однако, в формулировке теоремы и ее доказательстве был допущен ряд промахов, которые сразу же взялся исправлять ученик Чебышева А.А. Марков. Им была строго доказана несколько исправленная теорема Чебышева. Ляпунов на протяжении 1900–1901 гг. обобщил полученные результаты.

ЧЕБЫШЕВ (произносится Чебышёв) Пафнутий Львович (1821-94), математик, академик Петербургской АН
Андре́й Андре́евич Ма́рков- русский математик, академик, внёсший большой вклад в теорию вероятностей, математический анализ и теорию чисел.
Александр Михайлович Ляпунов
русский математик и механик, академик Петербургской Академии Наук (1901; член-корреспондент 1900). Ученик П.Л.Чебышева.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1977.
2.Ежова Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Основы математики для экономистов. Вып. 9: Учеб. Пособие. - Иркутск: Изд-во ИГЭА, 2000.
3.Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1991.

Сейчас уже трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о возможности количественного измерения возможности появления случайного события. Мало-мальски удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал длительного времени и значительных усилий ряда поколений выдающихся исследователей.

Содержание

Введение 3
Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья 5
Исследования Галилео Галилея 6
Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей 7
Работа Х. Гюйгенса 10
Возникновение классического определения вероятности 12
Заключение 14
Список использованной литературы 15

Вложенные файлы: 1 файл

учёные теория вероятности.rtf

Министерство Образования Российской Федерации

ФГБОУ ВПО Великолукская Государственная Сельскохозяйственная Академия

"Учёные которые внесли вклад в развитие теории вероятности"

Студент 2 курса
группы ЭА21С

г.Великие Луки
2013

Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья 5

Исследования Галилео Галилея 6

Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей 7

Работа Х. Гюйгенса 10

Возникновение классического определения вероятности 12

Список использованной литературы 15

Введение

На первом этапе изучения случайных явлений внимание ученых было сосредоточено на трех задачах:

1) подсчет числа различных возможных исходов при бросании нескольких костей;

2) раздел ставки между игроками, когда игра прекращена где-то посередине;

3) определение числа бросаний двух или нескольких костей, при которых число случаев, благоприятствующих выпадению на всех костях одинаковых граней хотя бы при одном бросании, было большим, чем число случаев, когда это событие не появится ни разу.

Число различных исходов при бросании трех игральных костей было определено в 960 г. епископом Виболдомиз города Камбрэ. Он считал, что таких исходов 56. Позднее выяснится, что это не так.

Попытка подсчитать число исходов при бросании трех игральных костей, включая и перестановки, имеется в поэме Ричарда де Форниваль, написанной в промежутке от 1220 до 1250 г. В части поэмы, посвященной играм и спорту, имеются следующие рассуждения: «Одинаковое число очков на трех костях можно получить шестью способами. Если число очков на двух костях совпадает, а на третьей от него отлично, то мы имеем 30 способов, поскольку одна пара могла быть выбрана шестью способами, а третье число лишь пятью. Если очки на всех костях различны, то мы имеем 20 способов, поскольку 30 раз по 4 равно 120, но каждая возможность появляется шестью способами. Таким образом, существует всего 56 возможностей.

Хотя в тексте явно указано лишь число случаев по Виболду, но фактически Ричард де Форниваль подготовил подсчет общего числа равновероятных случаев при бросании трех костей: 6*1+30*3+20*6 = 216.

1) Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку в 22 дуката. В связи с некоторыми обстоятельствами игра прекращена до ее окончания, причем одна сторона в этот момент имеет 50, а другая - 30 очков. Спрашивается, какую долю общей ставки должна получить каждая сторона?

2) Трое соревнуются в стрельбе из арбалета. Кто первым достигнет 6 лучших попаданий, тот выигрывает. Ставка 10 дукатов. Когда первый получил 4, второй 3, а третий 2 лучших попадания, они не хотят продолжать и решают разделить приз справедливо. Спрашивается, какой должна быть доля каждого?

Пачоли предложил решение, которое позднее многократно оспаривалось, поскольку оно было признано ошибочным. А именно он предложил делить ставку пропорционально числу выигранных партий.

Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья

Исследования Галилео Галилея

Галилей, в сущности, повторил результаты, полученные значительно раньше рядом предшественников. Однако эта, теперь простая задача, в ту пору была серьезным испытанием и для мыслителя столь высокого ранга как Галилей.

Заметим, что у Галилея, как и у его предшественников, рассуждения ведутся не над вероятностями случайных событий, а над числами шансов, которые им благоприятствуют.

Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей

Обычно считают, что теория вероятностей зародилась в переписке двух великих ученых Б. Паскаля (1623-1662) и П. Ферма (1601-1665). От этой переписки сохранились лишь три письма Паскаля и четыре письмаФерма. В этой переписке еще отсутствует понятие вероятности, и оба ученых ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих событию шансов. У этих авторов впервые в истории имеется правильное решение задачи о разделе ставки, которая отняла много усилий у исследователей в течение длительного времени. Оба они исходили из одной и той же идеи: раздела ставки в отношении, пропорциональном вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и теорем о сложении и умножении вероятностей. Это был серьезный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретико-вероятностного характера. Второй шаг был сделан также Паскалем, когда он существенно продвинул развитие комбинаторики и указал на ее значение для зарождающейся теории вероятностей. Толчком к появлению интересов Паскаля к задачам, приведшим к теории вероятностей, послужили встречи и беседы с придворным французского королевского двора шевалье де Мере, который интересовался литературой, философией и одновременно был страстным игроком. В этой страсти были истоки тех задач, которые он предложил Паскалю.

1) Сколько раз нужно подбросить две кости, чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы раз двух шестерок, было больше, чем число случаев, когда ни при одном бросании не появляются две шестерки одновременно?

2) Как нужно разделить ставки между игроками, когда они прекратили игру, не набрав необходимого для выигрыша числа очков?

Основное содержание писем Паскаля и Ферма посвящено разделу ставки. Решение Паскаля подробно излагается в письме:

«Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля.

Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по две выигранных партии и, следовательно, если они намерены произвести раздел, то каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля.

Далее Паскаль рассмотрел другой случай, когда первый игрок выиграл две партии, а второй ни одной и третий, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй ни одной. В обоих случаях рассуждения те же, что были приведены выше.

Ферма предложил следующее решение этой задачи:

Пусть до выигрыша игроку А недостает двух партий, а игроку В трех. Тогда для завершения игры достаточно сыграть максимум четыре партии. Возможные исходы представлены в виде таблицы:

Читайте также: