Уравнения параболического типа реферат

Обновлено: 30.06.2024

1. Цель и задачи работы
Целью работы является формирование у студентов понимания некоторых аспектов построения численных моделей уравнений математической физики с использованием метода разностной аппроксимации, отработка навыков применения типовых алгоритмов для решения линейных уравнений параболического типа, формирование представления о достигаемой точности, необходимых ресурсах и областях применения изучаемых методов.
Задачи:
— изучение методов построения разностных моделей задач на основе уравнений параболического типа;
— изучение алгоритмов решения уравнений параболического типа на основе разностных моделей с использованием явных и неявных алгоритмов.
2. Теоретическая справка
В основу численных методов решения параболических уравнений положена идея аппроксимации исходной задачи (уравнения и дополнительных условий) совокупностью алгебраических соотношений относительно сеточных значений заданных и искомых функций, выделенных в рамках определённого пространственно-временного шаблона области определения задачи. При этом исходной областью определения D ставится в соответствие область дискретных значений независимых переменных, непрерывные функции заменяются сеточным функциями, оцениваемые по соответствующим нормам. Собственно разрешающие соотношения, принимающие форму явных или неявных выражений относительно значений искомых сеточных функций, могут быть сформированы посредством различных алгоритмов: явной разностной аппроксимации дифференциальных операторов, а также посредством формальных процедур, вытекающих из требований минимизации невязки приближённого выражения по интегральной или чебышевской норме. Существенным моментом этого этапа является выбор параметров приближающей модели в соответствие с заданной точностью решения: параметры дискретизации пространственно-временного континуума области определения, формы и количество точек шаблона -окрестности разностной модели. Кроме того, на этом этапе необходимо обеспечить согласование точности аппроксимации собственно исходного уравнения и дополнительных условий. На втором этапе главной задачей является выбор из всех возможных разностных моделей комплексов разрешающих соотношений, обладающих устойчивым характером поведения решений и минимальными требованиями к вычислительным ресурсам. Соответствующие требования устойчивости процесса вычислений обеспечиваются ограничениями на параметры сетки области определения в случае явных схем, а также искусственным введением вязкостных членов в структуру разрешающих соотношений.

численные методы решения уравнений математической физики и химии

Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Примеры трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа

В математических моделях физико-химических и химико-технологических процессов могут встречаться не только одномерные и двумерные дифференциальные уравнения, но и трёхмерные. В качестве примера рассмотрим уравнение теплопроводности для нестационарного трёхмерного температурного поля:

где Т — температура; х, у, г — пространственные координаты; С_т, р, X — теплоёмкость, плотность и теплопроводность материала; q — внутренний источник (сток) теплоты.

Данное уравнение является трехмерным дифференциальным уравнением параболического типа. Его трёхмерность обусловлена тем, что температура Т — функция четырёх переменных, три из которых являются пространственными координатами:

Уравнение вихря скорости, являющееся преобразованием уравнения Навье-Стокса, — ещё один пример трёхмерного дифференциального уравнения параболического типа:

Методы численного решения трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа во многом схожи с методами численного решения двумерных дифференциальных уравнений параболического типа. Однако между ними имеются отличия, обусловленные более высокой размерностью разностной сетки, что оказывает влияние и на условие устойчивости явной разностной схемы, и на методику расщепления шага по времени при использовании метода дробных шагов, и на увеличение сложности расчётных алгоритмов. Как и в случае двумерных задач, рассмотрим сначала методы численного решения трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа, не содержащих производных по координатам первого порядка; обобщённый подход к решению трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа, которые могут содержать первые производные по координатам, представлен в конце главы.

Реферат В курсовой работе рассматривается метод сеток решения параболических уравнений. Теоретическая часть включает описание общих принципов метода, его применение к решению параболических уравнений, исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. В практической части разрабатывается программа для численного решения поставленной задачи. В приложении представлен текст программы и результаты

выполнения тестовых расчетов. Объем курсовой работы: 33 с. Иллюстраций: 5. Графиков: 1. Источников: 4. Ключевые слова: параболическое уравнение, уравнение теплопроводности, метод сеток, краевая задача, конечные разности. Содержание Введение 1. Теоретическая часть 1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа 1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравнений параболического типа 1.3 Оценка погрешности и сходимость

метода сеток 1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы 2. Реализация метода 2.1 Разработка программного модуля 2.2 Описание логики программного модуля 2.3 Пример работы программы Заключение Список источников Приложение Введение К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи

теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов. Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка параболического типа,

когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция зависит от двух переменных. В общем случае такое уравнение записывается следующим образом: . Заметим, что численными методами приходится решать и нелинейные уравнения, но находить их решение много труднее, чем решение линейных уравнений. введем в рассмотрение величину . В том случае, когда уравнение называется параболическим. В случае, когда величина не сохраняет знак,

Простейшим примером ур-ния параболического типа является ур-ние теплопроводности

описывающее распространение тепла на прямой. Здесь температура, плотность тепловых источников. Рассмотрим ур-ние (1) при на отрезке с дополнительными условиями — начальным условием

и краевыми условиями 1,2 или 3-го рода

Для решения задач (1) — (3) используют конечноразностные методы позволяющие находить решение линейных и нелинейных ур-ний параболического типа с краевыми условиями 1, 2 или 3-го рода. Для этого введем равномерную сетку узлов по пространственной и временной координате с шагами соотв. :

Производные у заменим соотв. разностными выражениями

Поставим в соответствие ур-нию (1) разностное ур-ние

Здесь а — весовой множитель, аналог ф-ции Выбор параметра а определяет устойчивость (см. Устойчивость разностных схем) и вместе с правой частью точность схемы. Напр., схема (4) с однородными краевыми условиями при устойчива по начальным данным в сеточной норме при Схема (4) с краевым условием 1-го рода и начальным условием при имеет аппроксимацию и точность при при и соответствующем выборе ф-ции Краевые условия 3-го рода аппроксимируются следующими разностными ур-ниями:

Рассмотрим схемы для ур-ния теплопроводности с переменными и разрывными коэфф.

В точке разрыва коэфф. ставятся дополнительные условия сопряжения — условия непрерывности т-ры и теплового потока

Для решения ур-ния (5) с условиями (6) строятся однородные разностные схемы. Коэфф. схемы, являющиеся аналогами коэфф.

во всех узлах схемы вычисляются по одному и тому же правилу. Для ур-ния (5) рассматриваются схемы вида

Если точка разрыва коэфф. совпадает с узлом сетки , то полагают

Схема (7), (8) при соответствующем задании краевых и начальных условий имеет в сеточной норме С точность при точность при . Однородные схемы вида (7) получают из ур-ния теплового баланса. Для этого интегрируют, учитывая (6), ур-ние (5) от

и заменяют дифф. выражения разностными аналогами. Для уравнения теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах

вводят соотв. сетки

и рассматривают ур-ния

К.р.м. являются практически единственным методом решения квазилинейных ур-ний теплопроводности. Рассмотрим, напр., ур-ние

Для его решения используют схемы

где . Решение уравнения (9), как и всех предыдущих разностных ур-ний, осуществляется факторизации методом, ур-ния (10) — с помощью итерационного процесса (см. Итерационные методы)

где в качестве начальной итерации берется значение

В случае многомерных задач для ур-ния теплопроводности используют т. н. экономичные схемы, в которых к-во арифм. операций, необходимых для вычисления сеточной ф-ции на временном слое t. по значению ф-ции на слое — порядка к-ва узлов пространственной сетки.

Рассмотрим две экономичные двухслойные абсолютно устойчивые схемы для ур-ния теплопроводности

где — прямоугольник, на границе которого задано краевое условие 1-го рода

Введем в сетку узлов

и сетку по времени

Опустив индексы запишем схему переменных направлений

Показано, что схема (15) в сеточной норме имеет точность Для решения задачи (12—14) используют также локально-одномерную схему

Схема (16) имеет точность в сеточной норме С.

Уравнения (15) и (16) также решаются методом факторизации. Кроме рассмотренных, существует и много других схем для решения различных параболических задач.

Лит.: Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., 1971 [библиогр. с. 538—550].

Читайте также: