Уравнения и кинетическая энергия плоского движения твердого тела реферат
Обновлено: 04.07.2024
Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:
где - скорость центра масс тела, - скорость i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:
так как (суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).
Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.
В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает).
Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное энергии:
Здесь - длина наклонной плоскости, - момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения.
Поскольку скорость оси цилиндра то
Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим
откуда для линейного ускорения оси цилиндра будем иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).
Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения. Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его ось.
III. Движение аксиально симметричного твердого тела, закрепленного в центре масс.
Такое движение можно реализовать с помощью специального устройства, называемого кардановым подвесом (рис. 3.13). Положение тела в подвесе должно быть таким, чтобы оси AA', BB' и CC' пересекались в центре масс. В этом случае при любых возможных движениях тела его центр масс остается неподвижным. При этом ось AA' (в данном случае - ось симметрии тела) может занимать произвольную ориентацию в пространстве.
Задачей о движении твердого тела, закрепленного в точке, занимались многие ученые: Л. Эйлер, большая часть жизни которого была связана с Петербургской Академией Наук, выдающиеся русские ученые Н. Е. .Жуковские, С. В. Ковалевская, С. А. Чаплыгин, французские ученые Ж. Лагранж, С. Пуассон, Л. Пуансо. Оказалось, что в общем случае эта задача аналитически неразрешима. Даже в простейшем случае движения твердого тела только под действием силы тяжести точное решение существует лишь в особых частных случаях. Один из этих случаев, когда однородное тело вращения закреплено в центре масс, мы рассмотрим в этой лекции, другой, имеющий отношение к движению гироскопа, - в лекции 4.
Уравнения Эйлера.
Рассмотрим однородное аксиально симметричное тело вращения, закрепленное в центре масс О (рис. 3.14). Центральный эллипсоид инерции такого тела является эллипсоидом вращения с осью симметрии Oz.
Система координат x0y0z0 на рис. 3.14 - лабораторная, система xyz жестко связана с телом, причем оси Ox, Oy и Oz - главные центральные оси инерции тела. Поскольку это тело вращения, то главные осевые моменты инерции и равны между собой:
Суммарный момент сил тяжести относительно точки закрепления (центра масс) равен нулю, иных сил, кроме сил тяжести, нет, поэтому уравнение моментов (3.2) имеет вид
то есть момент импульса раскрученного и предоставленного самому себе тела остается постоянным по величине и направлению.
Замечание. Если исследуемое тело - шар, то и центральный эллипсоид инерции трансформируется в сферу. Это означает. что любая центральная ось вращения является главной осью инерции шара, то есть имеет место простое соотношение где - момент инерции относительно центральной оси, и при получаем Ось вращения совпадает по направлению с L и сохраняет свою ориентацию в пространстве.
Теперь допустим, что отлично от и как, например, на рис. 3.14. В этом случае чистое вращение имеет место только тогда, когда ось вращения либо совпадает с осью симметрии тела, либо перпендикулярна к ней.
Общий случай более сложен; обычно его рассматривают с помощью дифференциальных уравнений Эйлера . Дело заключается в том, что если в уравнении (3.42) вектор L спроектировать на оси лабораторной системы x0y0z0, то скалярные дифференциальные уравнения движения будут весьма сложными, поскольку моменты инерции относительно неподвижных осей будут функциями времени. Поэтому гораздо удобнее рассматривать L, в проекциях на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом.
Пусть i, j, k - единичные орты системы xyz, жестко связанной с твердым телом (рис. 3.14). Тогда (3.42) принимает вид
где не только проекции но и единичные орты i, j, k являются функциями времени. Поэтому из (3.44) следует
Здесь использован символ чтобы подчеркнуть, что рассматриваются изменения во времени проекций и относительно подвижной системы xyz - системы, которая, в свою очередь, поворачивается вместе с телом с мгновенной угловой скоростью
Что касается производных по времени от единичных ортов i, j, k , то их изменения во времени обусловлены только вращением системы xyz с угловой скоростью поэтому
(см. рис. 3.15). Подставляя эти выражения в (3.45), получим:
находится в полной аналогии с преобразованием скорости при переходе от неподвижной к вращающейся системе координат. Существенно, что наблюдатель, находящийся в системе xyz, фиксирует только относительное изменение L (член ).Для наблюдателя в лабораторной системе к относительному изменению L добавляется его "переносное" изменение, связанное с вращением системы xyz с мгновенной угловой скоростью
Кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. Плоское движение в данный момент можно рассматривать, как вращательное вокруг мгновенного центра скоростей (т. Р, рис. 26). Кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на его скорость… Читать ещё >
Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях движения ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Поступательное движение.
В этом случае скорости всех точек тела одинаковы. Тогда:
— кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на его скорость.
В этом случае. Тогда.
— кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
Плоское движение (10, "https://referat.bookap.info").
Плоское движение в данный момент можно рассматривать, как вращательное вокруг мгновенного центра скоростей (т. Р, рис. 26).
Тогда. Но по теореме Гюйгенса (36).
Из этой формулы видно, что кинетическая энергия при плоском движении состоит из двух слагаемых, первое из которых соответствует поступательному движению тела вместе с центром масс, а второе — вращательному движению вокруг оси, проходящей через центр масс.
Дифференциальные уравнения поступательного и вращательного движения твердого тела
При поступательном движении все точки тела двигаются одинаково, поэтому для описания поступательного движения твердого тела достаточно описать движение хотя бы одной его точки. Если в качестве этой точки выбрать центр масс тела (т. С), то для этого можно использовать теорему о движении центра масс (38) или в проекции на оси координат:
Для описания вращательного движения воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения системы (44) в проекции на ось z (ось вращения):. Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения найдем по формуле (45). В результате получим:. Поскольку момент инерции тела — величина постоянная: Jz = const, то, вынеся его за знак производной, получим или — это и есть дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела. Поскольку — угловое ускорение, то это уравнение можно записать в виде: или. Можно заметить, что это уравнение по своей структуре аналогично основному уравнению динамики (1). При его решении могут возникнуть две задачи динамики: прямая и обратная.
Плоским движением называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях.
Пример плоского движения: качение цилиндра (шара, диска) по горизонтальной и наклонной плоскостям.
Любое плоское движение всегда можно представить как совокупность поступательного и вращательного движения. Причем разбиение такого движения можно осуществить бесконечным количеством способов, как поступательное движение некоторой оси О и вращения вокруг нее с угловой скоростью . При этом при любом разбиении угловая скоростьбудет одна и та же. И скорость любой точки можно представить как сумму поступательного и вращательного движения
, где
Наглядный пример – качение цилиндра.
- скорость центра инерции
Т. А движется с двойной скоростью центра инерции.
Итак, скорость произвольной т.А при плоском движении есть . Продифференцировав скорость по времени, получим, где– ускорение оси О и-ускорение при вращательном движении вокруг оси О и ()
;.
При плоском движении всегда можно найти такую ось, скорость движения точек на которой равна нулю. И таким образом рассматривать движение всего тела как вращение вокруг мгновенной оси вращения (у цилиндра – это точка касания поверхности).
Наиболее удобным является разбиение плоского движения на поступательное, происходящее со скоростью центра инерции, и вращение вокруг оси, проходящей через центр инерции.
В этом случае скорость произвольной точки твёрдого тела А имеет вид:
; где
; гдепри этом,.
Можно показать, что кинетическая энергия при плоском движении равна сумме половины произведения массы тела на квадрат скорости его центра инерции и кинетической энергии вращения тела вокруг центра инерции:
, где.
Пример:Чему равна кинетическая энергия движения цилиндра массой, катящегося по горизонтальной плоскости со скоростью.
;
=>
Тема 4. Механические колебания
Колебаниями называется движение тела положения равновесия.
Колебания, при которых все физические параметры изменяются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.
§17. Свободные незатухающие колебания
Колебания груза на пружине.
Система, состоящая из горизонтально расположен-ного штыря, на который под действием пружины
жесткости kперемещается без трения груз массойm.
, - закон Гука.
Получим =>
– положительное число=> .
Это и есть дифференциальное уравнение, решением которого является гармонические функции. Уравнение содержит неизвестную функцию и её вторую производную по времени.
Уравнения, содержащие производные функций называются дифференциальными.
Способы их решения мы будем изучать в теории дифференциальных уравнений. Сейчас важно знать, что это дифференциальное уравнение второго порядка, линейное, с постоянными коэффициентами. Его решение имеет вид:
, где,,– суть некоторой константы.
– смещение тела от положения равновесия;– амплитуда колебаний;– фаза гармонического колебания;– начальная фаза ().
Время одного полного колебания – период колебания. (Т)
– число колебаний в единицу времени.
– частота колебания
[]=c -1 =Гц; []=c; []=рад/с
Как известно, период колебаний синуса и косинуса=>=>
– период колебаний груза на пружине.
– амплитуда скорости.
– амплитуда ускорения.
2) Малые колебания физического и математического маятников.
Под физическим маятником понимают твёрдое тело, которое способно колебаться вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.
Положение физического маятника будем характеризовать углом поворота , отсчитываемым против часовой стрелки по вертикали до отрезка, соединяющего осьzс центром инерции . Длина его . Если уголневелик, то момент силы тяжести относительно осиz
Равен(, так как он приводит к уменьшению угла поворота).
Момент силы относительно осиzравен нулю.
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения:
=>
Частным случаем физического маятника является математический маятник, под которым понимают тело в виде материальной точки, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити.
В этом случае ,.
– период колебаний математического маятника.
Для кинематического описания процесса вращения твердого тела нужно ввести такие понятия как угловое перемещение Δ φ , угловое ускорение ε и угловая скорость ω :
ω = ∆ φ ∆ t , ( ∆ t → 0 ) , ε = ∆ φ ∆ t , ( ∆ t → 0 ) .
Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.
Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.
Рисунок 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O .
Если угловое перемещение Δ φ мало, то модуль вектора линейного перемещения ∆ s → некоторого элемента массы Δ m вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:
в котором r – модуль радиус-вектора r → .
Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства
Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:
Векторы v → и a → = a τ → направлены по касательной к окружности радиуса r .
Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.
Модуль ускорения выражается формулой:
a n = v 2 r = ω 2 r .
Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты Δ m i , обозначить расстояние до оси вращения через r i , а модули линейных скоростей через v i , то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:
E k = ∑ i ν m v i 2 2 = ∑ i ∆ m ( r i ω ) 2 2 = ω 2 2 ∑ i ∆ m i r i 2 .
Физическая величина ∑ i ∆ m i r i 2 носит название момента инерции I тела относительно оси вращения. Она зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения:
I = ∑ i ∆ m i r i 2 .
В пределе при Δ m → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в С И – килограмм-метр в квадрате ( к г · м 2 ) . Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:
В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела m v 2 2 , вместо массы m в формулу входит момент инерции I . Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости v угловую скорость ω .
Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.
В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.
Положение x C , y C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m 1 и m 2 , расположенными в плоскости X Y в точках с координатами x 1 , y 1 и x 2 , y 2 определяется выражениями:
x C = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 , y C = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2 .
Рисунок 2. Центр масс C системы из двух частиц.
В векторной форме это соотношение принимает вид:
r C → = m 1 r 1 → + m 2 r 2 → m 1 + m 2 .
Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор r C → центра масс определяется выражением
r C → = ∑ m i r i → ∑ m i .
Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для r C → необходимо заменить интегралами.
Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.
Рисунок 3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A 1 , A 2 , A 3 точки подвеса.
На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.
Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.
Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.
Теорема о движении центра масс
Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:
E k = m v C 2 2 + I C ω 2 2 ,
где m – полная масса тела, I C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.
Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью v C → и вращения с угловой скоростью ω = v C R относительно оси O , проходящей через центр масс.
В механике используется теорема о движении центра масс.
Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.
На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.
Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.
Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения
Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции I C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.
Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.
Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С . Выберем систему координат Х У с началом координат 0 . Совместим центр масс и начало координат.
Одна из осей проходит через центр масс С . Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р , которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δ m i .
По определению момента инерции:
I C = ∑ ∆ m i ( x i 2 + y i 2 ) , I P = ∑ m i ( x i - a ) 2 + y i - b 2
Выражение для I P можно переписать в виде:
I P = ∑ ∆ m i ( x i 2 + y i 2 ) + ∑ ∆ m i ( a 2 + b 2 ) - 2 a ∑ ∆ m i x i - 2 b ∑ ∆ m i y i .
Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.
Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.
Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
I P = I C + m d 2 ,
где m – полная масса тела.
Рисунок 7. Модель момента инерции.
На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.
Рисунок 8. Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О . Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.
Δ m i – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть F i → . Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую F i τ → и радиальную F i r → . Радиальная составляющая F i r → создает центростремительное ускорение a n .
Рисунок 9. Касательная F i τ → и радиальная F i r → составляющие силы F i → действующей на элемент Δ m i твердого тела.
Касательная составляющая F i τ → вызывает тангенциальное ускорение a i τ → массы Δ m i . Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает
∆ m i a i τ = F i τ sin θ или ∆ m i r i ε = F i sin θ ,
где ε = a i τ r i – угловое ускорение всех точек твердого тела.
Если обе части написанного выше уравнения умножить на r i , то мы получим:
∆ m i r i 2 ε = F i r i sin θ = F i l i = M i .
Здесь l i – плечо силы, F i , → M i – момент силы.
Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δmi вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:
∑ ∆ m i r i 2 ε = ∑ M i .
Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.
∑ M = ∑ M i в н е ш н + ∑ M i в н у т р .
Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M . Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.
Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.
Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω → , ε → , M → определяются как векторы, направленные по оси вращения.
Закон сохранения момента импульса
В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p → . По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.
Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.
Для обозначения момента импульса используется латинская буква L .
Поскольку ε = ∆ ω ∆ t ; ∆ t → 0 , уравнение вращательного движения можно представить в виде:
M = I ε = I ∆ ω ∆ t или M ∆ t = I ∆ ω = ∆ L .
M = ∆ L ∆ t ; ( ∆ t → 0 ) .
Мы получили это уравнение для случая, когда I = c o n s t . Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.
Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = I ω относительно данной оси сохраняется: ∆ L = 0 , если M = 0 .
L = l ω = c o n s t .
Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.
В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.
Рисунок 10. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I 1 ω 1 = ( I 1 + I 2 ) ω .
Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.
Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.
Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.
Рисунок 11. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.
Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести m g → и силы реакции N → относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = F т р R .
Уравнение вращательного движения:
I C ε = I C a R = M = F т р R ,
где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, I C – момент инерции относительно оси O , проходящей через центр масс.
Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:
m a = m g sin α - F т р .
Исключая из этих уравнений F т р , получим окончательно:
α = m g sin θ I C R 2 + m .
Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара I C = 2 5 m R 2 , а у сплошного однородного цилиндра I C = 1 2 m R 2 . Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.
Читайте также: