Тождественные преобразования тригонометрических выражений реферат
Обновлено: 05.07.2024
Комментарий. Цель данного раздела — проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).
Основные формулы тригонометрии
Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.
Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы:
Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:
Формулы двойных и половинных углов.
Формулы преобразования суммы в произведение:
Формулы преобразования произведения в сумму:
Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.
Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.
Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции .
Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.
Воспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α ∙ ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α ∙ 0,2 = 1, откуда tg α = 5.
Данные задания — на применение формул сложения.
1) . Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что .
1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x , тогда .
2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: .
4) . Окончательно получаем, что .
5) Для вычисления значения cos 15° представим 15° как 15° = 45° - 30° (или 15° = 60° - 45°). Тогда . Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что . Cледовательно, .
Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.
Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:
2) sin 4 α + cos 4 α ;
3) sin 6 α + cos 6 α .
sin 2 α - 2sinα cosα + cos 2 α = 0,09.
Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:
1 - sin 2 α = 0,09, откуда:
sin 2 α = 1 - 0,09 = 0,91.
2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.
Для этого сумму sin 4 α + cos 4 α представим в специальном виде:
sin 4 α + cos 4 α = ( sin 4 α + 2 sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) — 2 sin 2 α cos 2 α = ( sin 2 α + cos 2 α ) 2 - 1/2 ∙ sin 2 2α = 1 - 1/2 ∙ 0,91 = 0,545.
3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin 6 α + cos 6 α можно представить в виде суммы кубов.
sin 6 α + cos 6 α = ( sin 2 α ) 3 + ( cos 2 α ) 3 = ( sin 2 α + cos 2 α )( sin 4 α - sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) = 1 ∙ (0,545 – 1/4 ∙ 0,91) = 0,3175.
Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби):
раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые:
3tgα + 4 = 5tgα - 10, 2tgα = 14, получаем, что tgα = 7.
Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и
Как известно, . Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим:
, то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α Ответ:
Комментарий. Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.
Найти значение выражения: .
Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.
Рассмотрим далее выражение . Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:
Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения: . Поэтому:
Вычислить sin10° sin30° sin50° sin70°.
Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10° sin50° = 1/2 (cos40° - cos60°) = 1/2 cos 40° - 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30° = 1/2, получаем:
Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.
Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.
Так как числитель заданной дроби имеем достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление :
Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:
Доказать тождество при
Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.
В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:
Вспомнив, что , получаем
Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:
sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому ;
Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части:
что и требовалось доказать.
Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если .
Выпишем формулы для вычисления искомых функций:
Из основного тригонометрического тождества вычислим:
Далее найдем значения искомых выражений:
Приведем левую часть к 1:
Вычислить значение выражения:
Обратим вниманием, что
Далее, используя формулы приведения, получим:
Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций:
Итак, значение выражения равно 0.
Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:
Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x ) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.
Вычислить cos(4arctg 5) .
Пусть α = arctg5 , тогда tg α = 5 . Требуется найти cos4α . Вычислим вначале cos2α , используя универсальную подстановку:
Тогда получаем, что:
Выразить через все обратные функции
Пусть . Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0.
Найдем все тригонометрические функции угла:
В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что .
Но , так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинуса cos (-α) = cos α, при этом , то есть , тогда .
Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, , следовательно, . Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.
Найти arcsin (sin 12) .
По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку . Заметим, что , поэтому .
Поскольку , угол 12 - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.
Ответ: arcsin (sin12) = 12 - 4π.
Введем два угла: Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны. Мы знаем, что . Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Кафедра математики и методики обучения математике
ПО ИЗБРАННЫМ ВОПРОСАМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Тригонометрические функции в школьном курсе математики
Студентка 2 курса группы МДМ-214 ______________________________М.В. Краснова
1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале……………………………………………………….4
2. Методика введения определений тригонометрических функций углов……7
Список использованной литературы…………………………………………. 25
Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория и развиваются логическое мышление и творческие способности, а особенно при решении тригонометрических задач.
Тригонометрические задачи одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях.
Все выше сказанное является актуальностью реферата
Цель реферата – тригонометрические функции в школьном курсе математики
Задачи реферата:
- Дать понятие тригонометрических функций
- Провести анализ тригонометрических функций в школьном курсе математики
Предмет реферата: математика
Объект реферата : тригонометрические функции
Реферат написан из введения, основных глав, заключения и списка использованной литературы
Основная часть
1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале
Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия , и острых углов треугольника вводится для углов от до , как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника.
Назовите катеты в ABC , APN . Назовите гипотенузы в LKM и EFA . Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB , KL , AP , AN , EF , FA в указанных треугольниках и почему?
Следующие выражения "прилежащий" и "противолежащий" отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL , PN , EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.
Первым вводится понятие угла и доказывается теорема: " Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника". Это определение уже " работает" при доказательстве теоремы Пифагора.
С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте " Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике". sin , tg
Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.
Для синуса это доказывается так:
так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.
Из определений , и получаем следующие правила:
· Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус ;
· Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус ;
· Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс .
По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.
Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP , LN = , LM = , гипотенуза MP = m . Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).
Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.
После введения понятий , и рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.
Задача №1. Дано: a , b . Требуется найти A , B , c .
Задача №2. Дано: a , c . Требуется найти A , B , b .
Задача №3. Дано: a , A . Требуется найти A , b , c .
Задача №4. Дано: a , B . Требуется найти A , b , c .
Задача №5. Дано: a , A . Требуется найти B , a , b .
По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол . Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Вводятся основные тригонометрические тождества:
В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:
Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла и возрастают, а - убывает; 2) для любого острого угла : , ; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:
тогда из равенства правых частей получаем:
Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:
Пусть и - острые углы, и , и она пересекает стороны углов и в точках и соответственно.
Так как , то точка лежит между точками и , тогда . А значит, по свойству наклонных, (через сравнение их проекций). Так как , , то косинус убывает. А так как , то синус возрастает.
Расширение области определения тригонометрических функций от до происходит в теме: "Декартовы координаты на плоскости".
Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R . Откладываем в полуплоскость угол . Пусть точка имеет координаты и . , , то из треугольника : , .
Определяются значения и этими формулами для любого угла α (для 0 -исключается).
Можно найти значения этих функций для углов 90 0 , 0 0 , 180 0 . Доказывается, что для любого угла α , 0 0 α 0 , .
повернем подвижный радиус на угол 180 0 - α =
по гипотенузе и острому углу: => OB 1 = OB ; A 1 B 1 = AB => x = - x 1 , y = y 1 =>
Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 0 0 до 180 0 ; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin , решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".
Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:
1) построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC ;
2) обозначить величину острого угла А буквой α ;
3) измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;
4) вычислить отношение
5) записать значение cos α (делается следующая запись cos α ≈ в которой для α не указывается его конкретное значение);
6) измерить транспортиром угол α , найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.
Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 37 0 . Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37 0 , они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37 0 , измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37 0 . Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37 0 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.
При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos , sin и tg α связывается еще две формулы:
Определение cos , sin , tg углов от 0 0 до 180 0 являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.
В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. "Справедливы ли эти тождества для углов от 0 0 до 180 0 . Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?"
Сравним доказательства основного тригонометрического тождества: для острых углов и для углов от 0 0 до 180 0 :
Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи. Основные виды тождественных преобразований мы рассмотрим в этой теме.
Тождественное преобразование выражения. Что это такое?
Впервые встречаемся с понятием тождественных преобразованный мы на уроках алгебры в 7 классе. Тогда же мы впервые знакомимся с понятием тождественно равных выражений. Давайте разберемся с понятиями и определениями, чтобы облегчить усвоение темы.
Тождественное преобразование выражения – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Проиллюстрируем данное определение примерами.
Если мы заменим выражение x + 3 − 2 на тождественно равное ему выражение x + 1 , то мы проведем при этом тождественное преобразование выражения x + 3 − 2 .
Замена выражения 2 · a 6 на выражение a 3 – это тождественное преобразование, тогда как замена выражения x на выражение x 2 не является тождественным преобразованием, так как выражения x и x 2 не являются тождественно равными.
Обращаем ваше внимание на форму записи выражений при проведении тождественных преобразований. Обычно мы записываем исходное и полученное в ходе преобразования выражения в виде равенства. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 означает, что выражение x + 1 + 2 было приведено к виду x + 3 .
Последовательное выполнение действий приводит нас к цепочке равенств, которая представляет собой несколько расположенных подряд тождественных преобразований. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x мы понимаем как последовательное проведение двух преобразований: сначала выражение x + 1 + 2 привели к виду x + 3 , а его – к виду 3 + x .
Тождественные преобразования и ОДЗ
Ряд выражений, которые мы начинаем изучать в 8 классе, имеют смысл не при любых значениях переменных. Проведение тождественных преобразований в этих случаях требует от нас внимания к области допустимых значений переменных (ОДЗ). Выполнение тождественных преобразований может оставлять ОДЗ неизменной или же сужать ее.
При выполнении перехода от выражения a + ( − b ) к выражению a − b область допустимых значений переменных a и b остается прежней.
Переход от выражения x к выражению x 2 x приводит к сужению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел до множества всех действительных чисел, из которого был исключен ноль.
Тождественное преобразование выражения x 2 x выражением х приводит к расширению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел за исключением нуля до множества всех действительных чисел.
Сужение или расширение области допустимых значений переменных при проведении тождественных преобразований имеет значение при решении задач, так как может повлиять на точность проведения вычислений и привести к появлению ошибок.
Основные тождественные преобразования
Давайте теперь посмотрим, какими бывают тождественные преобразования и как они выполняются. Выделим те виды тождественных преобразований, с которыми нам приходится иметь дело чаще всего, в группу основных.
Помимо основных тождественных преобразований существует ряд преобразований, которые относятся к выражениям конкретного вида. Для дробей это приемы сокращения и приведения к новому знаменателю. Для выражений с корнями и степенями все действия, которые выполняются на базе свойств корней и степеней. Для логарифмических выражений действия, которые проводятся на основе свойств логарифмов. Для тригонометрических выражений все действия с использованием тригонометрических формул. Все эти частные преобразования подробно разбираются в отдельных темах, которые можно найти на нашем ресурсе. В связи с этим в этой стстье мы на них останавливаться не будем.
Перейдем к рассмотрению основных тождественных преобразований.
Перестановка местами слагаемых, множителей
Начнем с перестановки слагаемых местами. С этим тождественным преобразованием мы имеем дело чаще всего. И основным правилом здесь можно считать следующее утверждение: в любой сумме перестановка слагаемых местами не отражается на результате.
Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах сложения. Эти свойства позволяют нам переставлять слагаемые местами и получать при этом выражения, которые тождественно равны исходным. Именно поэтому перестановка слагаемых местами в сумме является тождественным преобразованием.
У нас есть сумма трех слагаемых 3 + 5 + 7 . Если мы поменяем местами слагаемые 3 и 5 , то выражение примет вид 5 + 3 + 7 . Вариантов перестановки местами слагаемых в данном случае несколько. Все они приводят к получению выражений, тождественно равных исходному.
В качестве слагаемых в сумме могут выступать не только числа, но и выражения. Их точно так же, как и числа, можно переставлять местами, не влияя на конечный результат вычислений.
В сумме трех слагаемых 1 a + b , a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 и - 12 · a вида 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 + ( - 12 ) · a слагаемые можно переставить, например, так ( - 12 ) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . В свою очередь можно переставить местами слагаемые в знаменателе дроби 1 a + b , при этом дробь примет вид 1 b + a . А выражение под знаком корня a 2 + 2 · a + 5 тоже является суммой, в которой можно поменять местами слагаемые.
Точно так же, как и слагаемые, в исходных выражениях можно менять местами множители и получать тождественно верные уравнения. Проведение этого действия регулируется следующим правилом:
В произведении перестановка множителей местами не влияет на результат вычислений.
Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах умножения, которые подтверждают верность тождественного преобразования.
Произведение 3 · 5 · 7 перестановкой множителей можно представить в одном из следующих видов: 5 · 3 · 7 , 5 · 7 · 3 , 7 · 3 · 5 , 7 · 5 · 3 или 3 · 7 · 5 .
Перестановка множителей в произведении x + 1 · x 2 - x + 1 x даст x 2 - x + 1 x · x + 1
Раскрытие скобок
Скобки могут содержать записи числовых выражений и выражений с переменными. Эти выражения могут быть преобразованы в тождественно равные выражения, в которых скобок не будет вообще или их будет меньше, чем в исходных выражениях. Этот способ преобразования выражений называют раскрытием скобок.
Проведем действия со скобками в выражении вида 3 + x − 1 x для того, чтобы получить тождественно верное выражение 3 + x − 1 x .
Выражение 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x можно преобразовать в тождественно равное выражение без скобок 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .
Группировка слагаемых, множителей
В случаях, когда мы имеем дело с тремя и большим количеством слагаемых, мы можем прибегнуть к такому виду тождественных преобразований как группировка слагаемых. Под этим способом преобразований подразумевают объединение нескольких слагаемых в группу путем их перестановки и заключения в скобки.
При проведении группировки слагаемые меняются местами таким образом, чтобы группируемые слагаемые оказались в записи выражения рядом. После этого их можно заключить в скобки.
Возьмем выражение 5 + 7 + 1 . Если мы сгруппируем первое слагаемое с третьим, то получим ( 5 + 1 ) + 7 .
Группировка множителей проводится аналогично группировке слагаемых.
В произведении 2 · 3 · 4 · 5 можно сгруппировать первый множитель с третьим, а второй – с четвертым, при этом придем к выражению ( 2 · 4 ) · ( 3 · 5 ) . А если бы мы сгруппировали первый, второй и четвертый множители, то получили бы выражение ( 2 · 3 · 5 ) · 4 .
Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно
Замена разностей суммами стала возможна благодаря нашему знакомству с противоположными числами. Теперь вычитание из числа a числа b можно рассматривать как прибавление к числу a числа − b . Равенство a − b = a + ( − b ) можно считать справедливым и на его основе проводить замену разностей суммами.
Возьмем выражение 4 + 3 − 2 , в котором разность чисел 3 − 2 мы можем записать как сумму 3 + ( − 2 ) . Получим 4 + 3 + ( − 2 ) .
Все разности в выражении 5 + 2 · x − x 2 − 3 · x 3 − 0 , 2 можно заменить суммами как 5 + 2 · x + ( − x 2 ) + ( − 3 · x 3 ) + ( − 0 , 2 ) .
Мы можем переходить к суммам от любых разностей. Аналогично мы можем произвести обратную замену.
Замена деления на умножение на число, обратное делителю, становится возможным благодаря понятию взаимно обратных чисел. Это преобразование можно записать равенством a : b = a · ( b − 1 ) .
Это правило было положено в основу правила деления обыкновенных дробей.
Частное 1 2 : 3 5 можно заменить произведением вида 1 2 · 5 3 .
Точно также по аналогии деление может быть заменено умножением.
В случае с выражением 1 + 5 : x : ( x + 3 ) заменить деление на x можно на умножение на 1 x . Деление на x + 3 мы можем заменить умножением на 1 x + 3 . Преобразование позволяет нам получить выражение, тождественное исходному: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3 .
Замена умножения делением поводится по схеме a · b = a : ( b − 1 ) .
В выражении 5 · x x 2 + 1 - 3 умножение можно заменить делением как 5 : x 2 + 1 x - 3 .
Выполнение действий с числами
Выполнение действий с числами подчиняется правилу порядка выполнения действий. Сначала проводятся действия со степенями чисел и корнями из чисел. После этого мы заменяем логарифмы, тригонометрические и прочие функции на их значения. Затем выполняются действия в скобках. И затем уже можно проводить все остальные действия слева направо. Важно помнить, что умножение и деление проводят до сложения и вычитания.
Действия с числами позволяют преобразовать исходное выражение в тождественное равное ему.
Преобразуем выражение 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ,выполнив все возможные действия с числами.
Решение
Первым делом обратим внимание на степень 2 3 и корень 4 и вычислим их значения: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2 .
Подставим полученные значения в исходное выражение и получим: 3 · ( 8 - 1 ) · a + 2 · ( x 2 + 5 · x ) .
Теперь проведем действия в скобках: 8 − 1 = 7 . И перейдем к выражению 3 · 7 · a + 2 · ( x 2 + 5 · x ) .
Нам осталось выполнить умножение чисел 3 и 7 . Получаем: 21 · a + 2 · ( x 2 + 5 · x ) .
Ответ: 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x = 21 · a + 2 · ( x 2 + 5 · x )
Действиям с числами могут предшествовать другие виды тождественных преобразований, таких, например, как группировка чисел или раскрытие скобок.
Возьмем выражение 3 + 2 · ( 6 : 3 ) · x · ( y 3 · 4 ) − 2 + 11 .
Решение
Первым делом проведем замену частного в скобках 6 : 3 на его значение 2 . Получим: 3 + 2 · 2 · x · ( y 3 · 4 ) − 2 + 11 .
Раскроем скобки: 3 + 2 · 2 · x · ( y 3 · 4 ) − 2 + 11 = 3 + 2 · 2 · x · y 3 · 4 − 2 + 11 .
Сгруппируем числовые множители в произведении, а также слагаемые, являющиеся числами: ( 3 − 2 + 11 ) + ( 2 · 2 · 4 ) · x · y 3 .
Выполним действия в скобках: ( 3 − 2 + 11 ) + ( 2 · 2 · 4 ) · x · y 3 = 12 + 16 · x · y 3
Ответ: 3 + 2 · ( 6 : 3 ) · x · ( y 3 · 4 ) − 2 + 11 = 12 + 16 · x · y 3
Если мы работаем с числовыми выражениями, то целью нашей работы будет нахождение значения выражения. Если же мы преобразуем выражения с переменными, то целью наших действий будет упрощение выражения.
Вынесение за скобки общего множителя
В тех случаях, когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то мы можем вынести этот общий множитель за скобки. Для этого нам сначала необходимо представить исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое состоит из исходных слагаемых без общего множителя.
В числовом выражении 2 · 7 + 2 · 3 мы можем вынести общий множитель 2 за скобки и получить тождественно верное выражение вида 2 · ( 7 + 3 ) .
Освежить в памяти правил вынесения общего множителя за скобки вы можете в соответствующем разделе нашего ресурса. В материале подробно рассмотрены правила вынесения общего множителя за скобки и приведены многочисленные примеры.
Приведение подобных слагаемых
Теперь перейдем к суммам, которые содержат подобные слагаемые. Тут возможно два варианта: суммы, содержащие одинаковые слагаемые, и суммы, слагаемые которых отличаются числовым коэффициентом. Действия с суммами, содержащими подобные слагаемые, носит название приведения подобных слагаемых. Проводится оно следующим образом: мы выносим общую буквенную часть за скобки и проводим вычисление суммы числовых коэффициентов в скобках.
Рассмотрим выражение 1 + 4 · x − 2 · x . Мы можем вынести буквенную часть x за скобки и получить выражение 1 + x · ( 4 − 2 ) . Проведем вычисление значения выражения в скобках и получим сумму вида 1 + x · 2 .
Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями
Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.
Рассмотрим выражение 3 + x . Здесь число 3 может быть заменено суммой 1 + 2 . Так мы получим выражение ( 1 + 2 ) + x , тождественно равное исходному.
Рассмотрим выражение 1 + a 5 , в котором степень a 5 мы можем заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a · a 4 . Это нам даст выражение 1 + a · a 4 .
Выполненное преобразование искусственное. Оно имеет смысл лишь при подготовке к проведению других преобразований.
Рассмотрим преобразование суммы 4 · x 3 + 2 · x 2 . Здесь слагаемое 4 · x 3 мы можем представить как произведение 2 · x 2 · 2 · x . В результате исходное выражение принимает вид 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2 . Теперь мы можем выделить общий множитель 2 · x 2 и вынести его за скобки: 2 · x 2 · ( 2 · x + 1 ) .
Прибавление и вычитание одного и того же числа
Прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения являетс искусственным приемом преобразования выражений.
Рассмотрим выражение x 2 + 2 · x . Мы можем прибавить или отнять от него единицу, что позволит нам в последующем провести еще одно тождественное преобразование - выделить квадрат двучлена: x 2 + 2 · x = x 2 + 2 · x + 1 − 1 = ( x + 1 ) 2 − 1 .
Реферат на тему "Тождественные преобразования выражений". Поможет обучающимся систематизированить знания по данному разделу алгебры (например, при подготовке к итоговой аттестации), содержит примеры заданий для интерактивной доски, которые можно использовать на уроках математики в 6 классе и уроках алгебры в 7 классе.
Содержимое разработки
Порядок выполнения действий при тождественных преобразованиях
Основные тождественные преобразования
Перестановка местами слагаемых, множителей
Группировка слагаемых, множителей
Вынесение за скобки общего множителя
Приведение подобных слагаемых
Простейшие преобразования выражений и формул, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся в начальной школе и 5 и 6 классах. Формирование умений и навыков выполнения преобразований происходит в курсе алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования.
Понятие тождества.
Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных.
Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Тождественное преобразование выражения – это замена исходного выражения на выражение, тождественно равное ему.
Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.
При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.
Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:
- величина допустимых изменений буквенных величин;
- область допустимых значений каждой из буквенных величин.
Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.
Порядок выполнения действий при тождественных преобразованиях.
Порядок выполнения действий:
- действия с одночленами;
- действия в скобках;
- умножение или деление (в порядке появления);
- сложение или вычитание (в порядке появления).
Основные тождественные преобразования.
Существует ряд наиболее часто используемых тождественных преобразований, которые проводятся с выражениями различных видов.
Такие преобразования назовем основными:
Перестановка местами слагаемых, множителей
Справедливо правило: в любой сумме слагаемые или в любом произведении множители можно переставлять местами.
Это правило вытекает из переместительного и сочетательного свойств сложения и произведения. Из этих свойств следует, что все выражения, полученные после перестановки местами слагаемых (или множителей), тождественно равны исходному выражению. Поэтому, перестановка местами слагаемых в сумме (или множителей в произведении) является тождественным преобразованием.
Раскрытие скобок.
Числовые выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать скобки. Эти выражения можно заменить тождественно равными выражениями, в которых будет меньшее количество скобок или их не будет вовсе.
Правило раскрытия скобок, в которые заключены одиночные положительные числа: пусть a – положительное число, тогда (a) заменяется на a, +(a) заменяется на +a и −(a) заменяется на −a.
Правило раскрытия скобок, в которых содержатся одиночные отрицательные числа: +(−a) заменяется на −a, а −(−a) заменяется на +a, если же выражение начинается с отрицательного числа (−a), записанного в скобках, то скобки, содержащие это число, просто опускаются, и вместо (−a) остается −a.
Правило раскрытия скобок в произведении двух чисел.
Пусть a и b – положительные числа. Тогда произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) заменяется на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменяются на (−a·b).
Иными словами, умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.
Аналогичное правило справедливо и для частного двух чисел, так как деление можно рассматривать как умножение на обратное число.
Читайте также: