Теория массового обслуживания реферат

Обновлено: 24.04.2024

Судьбу требований, которые при поступлении в систему обслуживания застают все приборы занятыми, определяют с помощью задания типа системы обслуживания. Один из типов систем является система с ожиданием.

Введение в теорию массового обслуживания с ожиданием_________________

1. Постановка задачи.____________________________________________________

2. Составление уравнений._______________________________________________ 4

3. Определение стационарного решения.__________________________________ 5

4. Некоторые подготовительные результаты.______________________________ 6

5. определение функции распределения длительности ожидания.___________ 7

Нужна помощь в написании реферата?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

6. Средняя длительность ожидания.______________________________________ 8

Заключение. Приложение теории к движению воздушного транспорта______ 10

Список используемой литературы_______________________________________ 13

Системы с ожиданием — возможно ожидание для любого числа требований, которые не могут быть обслужены сразу. Они составляют очередь, и с помощью некоторой дисциплины обслуживания определяются, в каком порядке ожидающие требования выбираются из очереди для обслуживания.[1]

Изобразим данную систему графически (рис. 1). Здесь кружочек 1 — обслуживающий прибор, треугольник — накопитель, кружочек О — источник требований. Требование, возникающее в источнике в момент окончания фиктивной операции “ожидания требований”, поступает в накопитель. Если в этот момент прибор 1 свободен, то требование немедленно поступает на обслуживание. Если же прибор занят, то требование остается в накопителе, становясь в конец имеющейся очереди.

Как только прибор 1 заканчивает производимую им операцию, немедленно принимается к обслуживанию требование из очереди т.е. из накопителя, и начинается новая операция обслуживания. Если требований в накопителе нет, то новая операция не начинается, стрелкой а показан поток требований от источника к накопителю, стрелкой b — поток обслуженных требований.[2]

Нужна помощь в написании реферата?

Система массового обслуживания с ожиданием

1. Постановка задачи.

Мы изучим здесь классическую задачу теории массового обслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена Эрлангом. На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l. Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования. Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x). Предполагается, что при

где m > 0 — постоянная.

Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле.

Выбор распределения (1) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение (1) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством:

Нужна помощь в написании реферата?

При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Действительно, пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a, продлится еще не менее чем t. В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e-mt. Далее ясно, что f0(a)= e-ma и f0(a+t)= e-m(a+1). А так как всегда f0(a+t)= f0(a)fa(t), то e-m(a+t) = e-ma f0(t) и, следовательно,

Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше чем, чем некоторая определенная величина. Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга, плотность распределения которого дается формулой

где, m > 0, а k — целое положительное число.

Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение (1).

Обозначим для случая распределения (1) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна

Нужна помощь в написании реферата?

Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна

2. Составление уравнений.

система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляют собой случайный процесс Маркова.

Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t

Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:

в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;

Нужна помощь в написании реферата?

в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.

Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена — имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.

Вероятность первого из указанных событий равна

вероятность второго события

Отсюда очевидным образом приходим к уравнению

Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 £ k t> вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk t> вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство

Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для P0. несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m=1

Нужна помощь в написании реферата?

Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна

Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид:

Напомним, что в формуле (19) r может принимать любое значение от 0 до m (включительно). Так что в формуле (20) r 0

Само собой разумеется, что при t

Читайте также: