Теорема кронекера капелли реферат

Обновлено: 16.05.2024

Теорема 5.1 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: RgA = RgA * .

Следствие. Линейная система имеет единственное решение при условии, что ранг основной и расширенной матриц равен числу ее неизвестных: RgA = RgA * = n.

Теорема Кронекера-Капелли утверждает существование решения, но она не дает никакого практического способа для нахождения всех решений системы. Однако при помощи теоремы Кронекера-Капелли можно исследовать систему, не находя ее решений. Если найден какой-либо базисный минор основной матрицы системы, то можно указать какие уравнения будут базисными, тогда остальные уравнения можно просто отбросить, т.к. они являются линейной комбинацией базисных уравнений; можно также указать какие неизвестные будут основными, а какие свободными, т.е. указать от скольких параметров зависит общее решение системы.

Пример 5.4. Исследовать систему линейных уравнений:

Решение. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы:

Поскольку ранги основной и расширенной матриц равны, то исходная система совместна. Выберем какой-либо базисный минор. Пусть это будет минор, составленный из элементов 1-й и 2-й строки и 1-го и 2-го столбца. Тогда первые два уравнения будут базисными, а третье уравнение можно отбросить. Неизвестные x₁ и x₂, в соответствии с выбранным базисным минором, будут основными, а все остальные – свободными, которые мы перенесем в правую часть. В результате получаем следующую эквивалентную систему линейных уравнений:

Решая эту систему уравнений, получим

Эти равенства определяют общее решение системы, придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, можно получить все значения исходной системы. Это решение можно записать в более компактной форме. Пусть x₃=4a, x₄=4b, x₅=c. Тогда получим

Пример 5.5. Исследовать на совместность и найти общее решение системы в зависимости от значений параметра l:

Решение. Выпишем основную матрицу системы и найдем ее определитель

Если detA¹0, т.е. если l¹0 и l¹–3, то ранги основной и расширенной матриц равны 3 (почему?). В этом случае система будет иметь единственное решение, которое можно найти, например, при помощи правила Крамера:

Если detA=0, то система будет либо несовместной, либо неопределенной.

Пусть l=0, тогда расширенная матрица системы будет иметь вид

Видно, что ранги расширенной и основной матриц равны 1. В этом случае нужно оставить только одно уравнение

x + y + z = 1.

Тогда общее решение будет иметь вид

Видно, что ранг основной матрицы RgA=2, а ранг расширенной матрицы RgA*=3, следовательно, исходная система при l=–3 несовместна. à

Матрицы: основные понятия, действия над матрицами.

Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицыобозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

- множество всех матриц размера m на n;

- матрица A с элементами в позиции (i,j);

- матрица размера m на n.

Элементы , где i=j, называются диагональными, а элементы , где - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Матрица размера называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.

Определители: основные понятия, свойства определителей.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Основные свойства определителей

1°. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т.е.

2°. При перестановке двух строк (столбцов) его знак меняется на противоположный.

3°. Определитель равен нулю, если:

а) все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю;

б) элементы каких-либо двух строк (столбцов) пропорциональны;

в) элементы каких-либо двух строк (столбцов) равны.

4°. Общий множитель элементов какой-нибудь строки (столбца) можно выносить за знак определителя

6°. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на общий множитель , то величина определителя не изменится.

Кстати, значение определителя третьего порядка или его может вычисляться по следующему мнемоническому правилу:

Ранг матрицы.

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

Системы линейных уравнений: основные понятия, теорема Кронекера-Капелли.

Определение. Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Определение. Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1,k2, . kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2, . xn дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.

Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений.

Определение. Переменная xi называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной xi должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x1, x3 и x4. Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система — разрешенная относительно x1, x3 и x5. Достаточно переписать самое последнее уравнение в видеx5 = x4.

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которыхr являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k: r = k. Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x1 = b1, x2 = b2, . xk = bk;

Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k: r

© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.007)

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы "Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи". В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde$.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.

Исследовать СЛАУ $ \left \ & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde$, запишем их:

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков":

$$ \Delta A=\left| \begin -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end \right|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

$$ \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end \right) \begin \phantom\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\r_5-2r_1\end\rightarrow \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end \right) \begin \phantom\\\phantom\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) \begin \phantom\\\phantom\\\phantom\\ r_4-r_3\\\phantom\end\rightarrow \left( \begin 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $\rang\widetilde=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $\rang=2$.

Ответ: система несовместна.

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

$$ \left( \begin 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end \right) \overset> $$ $$ \rightarrow\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end \right) \begin \phantom\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end \rightarrow \left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end \right) \begin \phantom\\ \phantom\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end \right) \begin \phantom\\ \phantom\\\phantom \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end \rightarrow \left( \begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde=\rang\lt$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными:

Выпишем основную матрицу этой системы и расширенную матрицу :

СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы :

Причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных .

Ранг матрицы есть наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Правило вычисления ранга матрицы с помощью миноров

При нахождении ранга матрицы необходимо переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. При этом если найден минор -го порядка, определитель которого отличен от нуля, то требуется вычислить лишь миноры -го порядка окаймляющие этот минор -го порядка. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .

Примеры решения задач

Вычислим ранги этих матриц с помощью миноров. Выберем ненулевой минор второго порядка матрицы :

и вычислим их определители:

Таким образом, ранг основной матрицы . Для расширенной матрицы существует еще один окаймляющий минор

Его определитель не равен нулю, таким образом, ранг расширенной матрицы . По теореме Кронекера-Капелли, так как , то заданная система линейных алгебраических уравнений не совместна и решений не имеет.

Вычислим ранги этих матриц с помощью элементарных преобразований строк. Рассмотрим расширенную матрицу . Первую строку оставим без изменения, ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , получим:

Далее первую строку оставим без изменения, третью строку сократим на и переставим вторую и третью строки, получим:

Первые две строки оставим без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на 4:

Таким образом, матрицы и имеют по три линейно независимые строки, поэтому их ранги равны . По теореме Кронекера-Капелли, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрице и равен количеству неизвестных, то данная система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого, используя последнюю матрицу, перейдем к системе уравнений

Вычислим последовательно значения неизвестных. Из последнего уравнения получаем, что . Подставляя это значение неизвестной во второе уравнение, будем иметь:

Теперь подставим значения найденных неизвестных в первое уравнение:

Читайте также:

  
• Олимпийские игры в 2004 году реферат
  
• Реферат по психологии с презентацией
  
• Реферат на тему мой детский сад
  
• К маркс как идеолог политик экономист и роль философии в обосновании идеологии марксизма реферат
  
• Педагогика начального образования реферат