Теорема гаусса для гравитационного поля реферат

Обновлено: 28.06.2024

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле, которое оказывает силовое действие на другие заряженные тела.

Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика - напряженность электрического поля.

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора Е совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.

Поток напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной форме

Пусть n – единичная нормаль к площадке dS (достаточно малой, чтобы пренебречь изменением электрической напряженности Е в пределах площадки). Поток dФ э электрической напряженности через эту площадку определяется как произведение нормальной компоненты Е и dS:

Знак потока dF э, очевидно, зависит от взаимной ориентации нормали и напряженности. Если эти два вектора образуют острый угол, поток положителен, если тупой – отрицателен.

Поток dF э через площадку, наклонную к силовой линии (т.е. к вектору Е), равен также потоку через проекцию этой площадки на плоскость, перпендикулярную силовой линии (см. рис. 1.1.2):

Это равенство (1.1.1) следует из определения (1.1.1) для dF э и теоремы об углах с взаимно перпендикулярными сторонами.

Поток F э электрической напряженности Е через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.3) определяется как сумма элементарных потоков через все площадки поверхности. В пределе, когда количество площадок N стремится к бесконечности, сумма потоков через площадки переходит в поверхностный интеграл от нормальной компоненты напряженности E n :

К. Гауссом в 1844 доказана теорема (теорема Гаусса в интегральной форме), устанавливающая связь источников поля и потока напряженности через произвольную поверхность, окружающую источники.

Для доказательства выведем вспомогательную формулу. Поток от точечного заряда через произвольную окружающую его сферу.

Силовые линии поля точечного заряда перпендикулярны поверхности концентрической сферы (см. рис 1.1.4). С учетом этого факта формула (1.1.4) выводится из выражения для поля точечного заряда. Как видно, в этом случае поток F э не зависит от радиуса сферы, а зависит только от Q .

Из (1.1.2) и (1.1.4) следует, что поток поля точечного заряда через любую поверхность, окружающую заряд, равен потоку через сферу произвольного радиуса, концентричную заряду. Действительно, поток поля точечного заряда через любую площадку dS, вырезанную телесным углом d из произвольной поверхности, получается таким же, как поток через площадку сферы, вырезанную тем же телесным углом. Поток поля F э через сферу, как уже отмечалось, не зависит от ее радиуса. Поэтому поток напряженности поля точечного заряда через поверхность S (см. рис. 1.3.5) задается формулой (1.3.4). Из формулы (1.3.4) и принципа суперпозиции следует теорема Гаусса в интегральной форме: полный поток F э напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится как угодно распределенный (объемный, поверхностный и т.д.) заряд Q, вычисляется по формуле

При применении теоремы Гаусса для решения задач, необходимо помнить, что в уравнении (1.1.5) Q – сумма всех зарядов внутри мысленной поверхности, через которую вычисляется поток, в том числе зарядов, принадлежащим атомам и молекулам среды (так называемых связанных зарядов).

Поток напряженности поля Е через любую замкнутую поверхность, внутри которой полный заряд равен нулю, также равен нулю.

Возникновение и развитие теории электромагнитного поля

В 17-18 веках электромагнитные процессы все глубже проникали в науку: в физику и химию. Наступала эпоха электромагнитной картины мира, сменившей механическую.

Максвелл ясно видел фундаментальное значение электромагнитных законов, осуществив грандиозный синтез оптики и электричества. Именно ему удалось свести оптику к электромагнетизму, создав электромагнитную теорию света и проложив тем самым новые пути не только в теоретической физике, но и в технике, подготовив почву для радиотехники.

Максвелл начал разрабатывать свою теорию в 1854 г.

где A - компонента вектора потенциала в направлении элемента кривой dl, Bn ~ нормальная компонента вектора индукции В в направлении нормали к элементу поверхности dS.

связывающее магнитную индукцию В с вектором напряженности магнитного поля Н.

которая ныне называется первым уравнением Максвелла в интегральной форме. Она отражает экспериментальный факт, открытый Эрстедом: ток окружен магнитным полем.

Четвертый закон — это закон Ома:

Для характеристики силовых взаимодействий токов Максвелл вводит величину, называемую им магнитным потенциалом. Эта величина подчиняется пятому закону: «Полный электромагнитный потенциал замкнутого тока измеряется произведением количества тока на полную электротоническую интенсивность вдоль цепи, считаемую в направлении тока:

Это второе уравнение Максвелла в интегральной форме. Заметим, что электродвижущей силой Максвелл называет циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Максвелл обобщает закон индукции фарадея — Ленца— Неймана, считая, что изменение во времени магнитного потока (электротонического состояния) порождает вихревое электрическое поле, существующее независимо от того, есть ли замкнутые проводники, в которых это поле возбуждает ток, или нет. Обобщения же закона Эрстеда Максвелл пока не дает.

Другой важной новостью является введение понятий смещения и токов смещения. Смещение, по Максвеллу,— это характеристика состояний диэлектрика в электрическом поле. Полный поток смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхности. Так вводится фундаментальное понятие тока смещения. Этот ток, так же как и ток проводимости, создает магнитное поле. Поэтому Максвелл обобщает то уравнение, которое ныне называется первым уравнением Максвелла, и вводит в первую часть ток смещения. В современных обозначениях это уравнение Максвелла имеет вид:

Далее Максвелл считает поле носителем энергии, которая распространяется по всему объему. Энергия электрического поля выражается следующей формулой:

И наконец, Максвелл находит, что в его упругой среде распространяются поперечные волны со скоростью света. Этот фундаментальный результат приводит его к важному выводу: «Скорость поперечных волновых колебаний в нашей гипотетической среде, вычисленная из электромагнитных опытов Кольрауша и Вебера, столь точно совпадает со скоростью света, вычисленной из оптических опытов физо, что мы едва ли можем отказаться от вывода, что свет состоит из поперечных колебаний той же самой среды, которая является причиной электрических и магнитных явлений. Таким образом, в начале 60-х годов XIX в. Максвелл уже нашел основы своей теории электричества и магнетизма и сделал важный вывод о том, что свет представляет собой электромагнитное явление.

Максвелл считает это выражение аналогичным выражению для силы инерции в механике:

- механический импульс, или количество движения. Эта аналогия объясняет термин, введенный Максвеллом для вектор-потенциала. Сами уравнения электромагнитного поля в теории Максвелла имеют вид, отличный от современного.

В современной форме система уравнений Максвелла имеет следующий вид:

Связь между вектором смещения D и напряженностью электрического поля E у Максвелла выражается уравнением:

Максвелл выписывает далее закон Ома в дифференциальной форме:

Затем выписывает уравнение divD = р и уравнение где

а также пограничное условие:

Такова система уравнений Максвелла. Важнейший вывод из этих уравнений заключается в существовании поперечных электромагнитных волн, распространяющихся в намагниченном диэлектрике со скоростью: где

Таким образом, показатель преломления n, по Максвеллу, определяется электрическими и магнитными свойствами среды. В немагнитном диэлектрике где

Это знаменитое соотношение Максвелла.

В.Томсон в 1853 г. исследовал разряд проводника заданной емкости через проводник данной формы и сопротивления. Применяя к процессу разряда закон сохранения энергии, он вывел уравнение разрядного процесса в следующем виде:

Таким образом, период колебаний можно представить формулой:

При малых значениях сопротивления получаем известную формулу Томсона:

Электрическое поле — особая форма поля, существующая вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также в свободном виде в электромагнитных волнах. Электрическое поле непосредственно невидимо, но может наблюдаться по его действию и с помощью приборов. Основным действием электрического поля является ускорение тел или частиц, обладающих электрическим зарядом.

Электрическое поле является одной из составляющих единого электромагнитного поля и проявлением электромагнитного взаимодействия.

Список использованной литературы

Дмитриева В.Ф., Прокофьев В. Л. Основы физики. - М.: Высшая школа, 2003

Калашников Н. П., Смондырев М. А. Основы физики. - М.: Дрофа, 2003

Макаров Е. Ф, Озеров Р. П. Физика. - М.: Научный мир, 2002

Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб. Пособие: для вузов. В 5 кн. Кн.2. Электричество и магнетизм - 4-е изд., перераб.- М.: Наука, Физматлит, 2003, сс. 9-30, 41-71

Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособие для вузов.- 2-е изд., испр. и доп.- М.: Высш. шк., 20049, сс. 182-190, 193-202

Иродов И. Е. Электромагнетизм. Основные законы.- 3-е изд., испр.-М.: Лаборатория базовых знаний, 2000, сс. 6-34

Электрическое поле (2)

. поля. Теорема Гаусса в интегральной форме 4. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса в дифференциальной форме Заключение Список . En: . (1.3.3.) К. Гауссом в 1844 доказана теорема (теорема Гаусса в интегральной форме), устанавливающая связь источников .

Исследование электростатического поля

. потенциальным. Другим фундаментальным соотношением является теорема Гаусса (в интегральной форме), утверждающая, что поток вектора . электростатического поля. 11. Дайте определение теоремы Гаусса в интегральной форме. 12. Дайте определение потенциала .

Механика. Молекулярная физика

. теорему Остроградского, можно сформулировать теорему Гаусса для в интегральной форме: поток вектора через любую . нулю: . – теорема Гаусса. Используя теорему Остроградского , получаем теорему Гаусса для вектора в дифференциальной форме: Теорема о циркуляции .

Поля и Волны (2)

. Интегральные уравнения Лекция 2 Интегральные уравнения электромагнитного поля. 2.1. Теорема Гаусса для электрического поля. 2.1.1. Теорема Гаусса . Закон электромагнитной индукции. Устанавливает в интегральной форме зависимость ЭДС, наведенной в контуре от .

Электричество и магнетизм. Колебания и волны

. с σ1 и σ2, считая σ1 = 2∙σ2 8. Сформулируйте теорему Гаусса. Найдите c помощью теоремы Гаусса напряженность поля внутри равномерно . теории Максвелла: напишите математическое выражение в интегральной форме и дайте формулировку. 2.Вихревое электрическое поле .

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Архангельский Государственный Технический Университет

Выполонил: студент СФ 1-10

Проверил: Махин В.Э.

Теорема Гаусса для электростатических полей в вакууме

Силовые линии поля

Любое силовое поле является векторным, поэтому для наглядности его изображают с помощью особых линий, называемыми силовыми. Тогда и электростатическое поле можно изображать с помощью силовых линий. Силовые линии имеют следующие свойства:

Силовые линии указывают направление вектора Е электрического поля. В любой точке напряженность поля направлена по касательной к силовой линии.

Силовые линии поводятся так, чтобы величина вектора Е была пропорциональна числу линий, проходящих через единичную площадь, перпендикулярную этим линиям.

Силовые линии электростатического поля начинаются только на положительных, а заканчиваются на отрицательных зарядах.

Число линий, выходящих или входящих в заряд пропорционально его величине.

Силовые линии никогда не пересекаются, т.к. это означало бы, что в одной точке пространства Е поля принимало 2 разных значения.

Поток вектора напряженности электрического поля

По сути, поток вектора Е (Ф_Е) можно рассматривать энергетическую характеристику электрического поля. Этот параметр имеет боле универсальное значение по сравнению с потенциалом. По определению поток вектора Е – величина скалярная.

Примечание: в физике под потоком некоторой физической величины понимается количество этой величины, проходящее в единицу времени через некоторую выбранную поверхность.

Если рассматривать однородное электрическое поле () поток вектора Е вычисляется следующим образом

Поток через всю площадь S определяется интегрированием данного выражения

Во многих случаях поток вектора Е рассматривается через замкнутую поверхность. В этом случае результирующий поток вектора Е определяется следующим образом

По теореме Гаусса

Из полученных выражений следует, что уменьшение радиуса r при неизменной линейной плотности заряда, т.е. при приближении к поверхности цилиндра, напряженность поля может достигать очень больших значений если рассматриваемый цилиндр очень тонкий. В этом случае вблизи цилиндра поле можно считать однородным. Покажем это прейдя от линейной плотности заряда к поверхностной.

Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.

Поток вектора напряженности

Зададим новую физическую величину, описывающую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Предположим, что в пространстве, содержащем заданное электрическое поле, имеется некая достаточно малая площадка Δ S .

Элементарный поток вектора напряженности (через площадку S ) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора E → , площади Δ S и косинуса угла α между вектором и нормалью к площадке:

Δ Φ = E Δ S cos α = E n Δ S.

В данной формуле E n является модулем нормальной составляющей поля E → .

Рисунок 1 . 3 . 1 . Иллюстрация элементарного потока Δ Φ .

Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность S . Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера Δ S i , рассчитаем элементарные потоки Δ Φ i поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1 . 3 . 2 ):

Φ = ∑ ∆ Φ i = ∑ E m ∆ S i

Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.

Рисунок 1 . 3 . 2 . Расчет потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S .

Теорема Гаусса. Доказательство

Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.

Поток вектора напряженности электростатического поля E → через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε 0 .

Уравнение Гаусса имеет вид:

Φ = 1 ε 0 ∑ q в н у т р

Докажем указанную теорию: для этого исследуем сферическую поверхность (или поверхность шара) S . В центре заданной поверхности расположен точечный заряд q . Любая точка сферы обладает электрическим полем, перпендикулярным поверхности сферы и равным по модулю:

E = E n = 1 4 π ε 0 · q R 2 ,

где R является радиусом сферы.

Поток Φ через поверхность шара запишется, как произведение E и площади сферы 4 π R 2 . Тогда: Φ = 1 ε 0 q .

Следующим нашим шагом будет окружение точечного заряда произвольной поверхностью S замкнутого типа; зададим также вспомогательную сферу R 0 (рис. 1 . 3 . 3 ).

Рисунок 1 . 3 . 3 . Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S , окружающую заряд.

Возьмем для рассмотрения конус с малым телесным углом Δ Ω при вершине. Рассматриваемый конус задаст на сфере малую площадку Δ S 0 , а на поверхности S – площадку Δ S . Элементарные потоки Δ Φ 0 и Δ Φ через эти площадки являются одинаковыми. В самом деле:

Δ Φ 0 = E 0 Δ S 0 , Δ Φ = E Δ S cos α = E Δ S ' ,

где выражением Δ S ' = Δ S cos α определяется площадка, которая задастся конусом с телесным углом Δ Ω на поверхности сферы радиуса n .

Поскольку ∆ S 0 ∆ S ' = R 0 2 r 2 , то ∆ Φ 0 = ∆ Φ . Из полученного следует вывод о том, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ 0 через поверхность вспомогательной сферы:

Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q , поток Φ равен нулю. Этот случай проиллюстрирован на рис. 1 . 3 . 2 . Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов является следствием из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов возможно записать в виде векторной суммы электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S сложится из потоков Φ i электрических полей отдельных зарядов. Когда заряд q i расположен внутри поверхности S , он дает вклад в поток, равный q i ε 0 . В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.

Так, мы доказали теорему Гаусса.

Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).

Применение теоремы Гаусса

В качестве примера можно рассмотреть задачу, в которой необходимо вычислить поле тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра с радиусом R . Такая задача имеет осевую симметрию, и из соображений симметрии электрическое поле должно иметь направление по радиусу. Таким образом, чтобы иметь возможность применить теорему Гаусса, оптимально выбрать поверхность замкнутого типа S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l , закрытого с обоих торцов (рис. 1 . 3 . 4 ).

Рисунок 1 . 3 . 4 . Иллюстрация поля однородно заряженного цилиндра. O O ' – ось симметрии.

Если r ≥ R , то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2 π r l . Применим закон Гаусса и получим:

Φ = E 2 π r l = τ l ε 0 .

В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:

Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.

Чтобы найти напряженность поля внутри заряженного цилиндра, необходимо создать замкнутую поверхность для случая r R . В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен Φ = E 2 π r l . Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.

Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.

К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).

При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.

Разберем еще пример распределения зарядов при наличии симметрии: нахождение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1 . 3 . 5 ).

Рисунок 1 . 3 . 5 . Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.

Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:

2 E ∆ S = σ ∆ S ε 0 или E = σ 2 ε 0 .

Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.

Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.

При факультативном и углублённом изучении физики в электростатике рассматривается теорема Гаусса. Из математической аналогии законов всемирного тяготения и Кулона сразу следует механический аналог теоремы Гаусса (табл. 1): (1)

Закон всемирного тяготения:

Поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную:

Механический аналог теоремы Гаусса

Поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен сумме масс, расположенных внутри этой поверхности, умноженной на 4πG:

Применим формулу (1) для нахождения напряжённости гравитационного поля, т.е. ускорения свободного падения на расстоянии r от центра однородного шара радиусом R и плотностью ρ (рис. 1). Имеем:

Формула (2) даёт очень плохое согласие с экспериментальными геофизическими данными (табл. 2). Причина этого очевидна: земной шар неоднороден, модель постоянной плотности – первое и достаточно грубое приближение.

В качестве второго приближения рассмотрим такую физическую модель Земли: пренебрегая тонкой корой, примем, что ядро радиусом R₁ = 3471 км имеет плотность ρ₁ = 11 500 кг/м 3 , а плотность мантии ρ₂ = 4353 кг/м 3 (рис. 2). При этом справедливо естественное равенство 4/3πR_{1 3} ρ₁+ 4/3π(R ₃ - R_{1 3} )ρ₂ = M, где M – масса Земли.

Формула (1) даёт аналогично:

для ядра

для мантии:

откуда

Результаты расчётов по формуле (3), приведённые в четвёртой графе табл. 2, гораздо лучше соответствуют фактическим значениям g внутри Земли. Отметим, что теорема Гаусса позволяет избежать применения интегрального исчисления. Это математически рационально.

Читайте также: